5.2 Перетин прямої з площиною

Результатом перетину прямої з площиною є точка. Розглянемо випадки перетину прямої з площиною, а саме, коли, в залежності від положення заданої площини та прямої, проекції точок визначаються безпосередньо або за рахунок допоміжних побудов.

5.2.1 Окремі випадки перетину прямої з площиною

1. Проекціювальна пряма l перетинає площину σ окремого положення (рис. 23, а, б).

σ (σ₂) ∩ l = К

а) аксонометричне зображення б) епюр

Рисунок 23 – Визначення проекцій точок перетину горизонтально-проекціювальної прямої l з фронтально-проекціювальною площиною σ

Фронтальна проекція точки К знаходиться на перетині фронтального сліду-проекції з проекцією прямої l₂ : l₂ ∩ σ₂ = К₂.

Горизонтальна проекція точки К збігається з виродженою проекцією прямої l : l₁ ≡ К₁.

Висновок: дві проекції точки перетину К визначаються безпосередньо в тому разі, якщо пряма займає проекціювальне положення, а площина – проекціювальне або положення рівня.

2. Пряма загального положення або рівня перетинає площину окремого положення (рис. 24, а, б).

Вихідна проекція точки перетину К – горизонтальна (перетин горизонтальної проекції l₁ зі слідом-проекцією σ₁), тобто: l₁ ∩ σ₁ = К₁ знаходиться в точці перетину l₂ з вертикальною лінією зв’язку (К₂ l₂).

а) аксонометричне зображення б) епюр

Рисунок 24 – Визначення проекцій точок перетину прямої l з горизонтально-проекціювальною площиною σ

3. Проекціювальна пряма перетинає площину загального положення (рис. 25, а, б).

а)аксонометрія зображення б) епюр

Рисунок 25 – Визначення проекцій точок перетину горизонтально- проекціювальної прямої з площиною загального положення

Вихідна проекція точки перетину К – горизонтальна проекція К₁, вона збігається з виродженою проекцією l₁ заданої горизонтально-проекціювальної прямої l. Відсутня проекція знайдена з умови належності точки К площині σ (К а, а σ), проекціяК₂ фіксується на перетині проекції l₂ з а₂, тобто: l₂ ∩ а₂ = К₂. Прямі l і n площини мимобіжні, відповідно, т. 3 та 4 цих прямих конкурують на П₂, т. 3 належить видимій стороні п площини σ (у₃ > у₄). Тому частина проекції l₂, яка виділена дугою, в межах точок К₂, 3₂ є невидимою.

Висновки:

1. Якщо пряма загального положення або рівня перетинає площину окремого положення, то одна із проекцій шуканої точки перетину К знаходиться на перетині сліду-проекції площини з проекцією прямої. Відсутня проекція визначається за лінією зв’язку до перетину з другою проекцією прямої.

2. Якщо проекціювальна пряма перетинає площину загального положення, то одна із проекцій шуканої точки перетину К збігається з виродженою проекцією цієї прямої. Відсутня проекція точки перетину визначається як точка, яка належить площині.

5.2.2 Загальні випадки перетину прямої з площиною

В цьому випадку площину загального положення σ може перетинати пряма l, яка займає загальне положення або положення рівня.

Приклад. Побудуйте проекції точок перетину прямої з площиною. Визначте видимість прямої l (рис. 26).

Дано:

σ (а || в),

l ∩ σ = К.

Побудуйте: К₁, К₂

Визначте видимість l.

Рисунок 26 – загальний випадок перетину прямої з площиною

Для визначення проекцій точки перетину слід знати алгоритм розв’язання задачі.