1.2. Рух точки по колу. Кутова швидкість і кутове прискорення

Довільний криволінійний рухможна подати як рух по дугах кіл. Тому зупинимося на кінематиці обертального руху, або руху точки вздовж колової траєкторії. У даному випадку зручно користуватись полярною системою координат, координатами якої є радіус кола R і кут повороту радіуса відносно вибраного напрямку. В цьому випадку R – відстань від центра кола до точки на коловій траєкторії, а- полярний кут (кут обертання)

Рис.1.3

З рис. 1.3 видно , що - кутове переміщення – векторна величина, модуль якої дорівнює куту повороту радіуса вектораза час dt. Напрям цього вектора збігається з напрямком поступального руху правого гвинта.

Кутова швидкість– векторна величина, яка дорівнює зміні кута повороту радіуса - вектораз часом, тобто

. (1.2.1)

Напрям вектора збігається з напрямком. Одиницею вимірювання кутової швидкості єрад/с.

Кутове прискорення– векторна величина, яка дорівнює зміні кутової швидкості з часом, тобто

. (1.2.2)

Напрям вектора кутового прискорення направлений по осі обертання (рис. 1.3). Вектор кутового прискорення руху точки по колу збігається з напрямком. Для сповільненого обертання вектормає протилежний напрям до вектора. Вимірюється кутове прискорення урад/с² .

Модуль вектора лінійної швидкості точки , напрям якої збігається з дотичною до кола, зв’язаний з модулем вектора кутової швидкостіспіввідношенням:

. (1.2.3)

У векторній формі вектор швидкості дорівнює векторному добутку векторіві

. (1.2.4)

З визначення векторного добутку модуль вектора швидкості визначається співвідношенням

=R sin, (1.2.5)

де - кут між векторамиі, як це показано на рис. 1.4.

Для рівномірного обертання матеріальної точки по коловій траєкторії модуль кутової швидкості дорівнює

. (1.2.6)

Рис.1.4

Рівномірний рух по колу можна характеризувати також періодом обертанняТ, тобто часом, за який точка здійснює один повний оберт, 2=Т. Звідки

. (1.2.7)

Частота обертаннявизначається числом повних обертів, які здійснює точка при русі по колу, за одиницю часу:

. (1.2.8)

При рівноприскореному обертальному русі = const. Тому формули кінематики обертального руху точки матимуть вигляд:

. (1.2.9)

Рівноприскорений обертальний рух характеризується дотичнимйнормальнимабодоцентровимприскореннями:

;

у векторній формі ,

. (1.2.10)

Зв’язок пройденого шляху по дузі кола з кутом повороту визначається так:

. (1.2.11)

1.3. Тангенціальне й нормальне прискорення. Зв’язок між кінематичними величинами криволінійного руху

Розглянемо нерівномірний криволінійнийрух матеріальної точки. За малий проміжок часуt лінійна швидкість точки змінюється віддоу відповідності з рисунком.

Рис.1.4

Вектори лінійної швидкості ізмінюється як за величиною, так і за напрямком. З рис.1.4. видно, що

. (1.3.1)

У цьому випадку миттєве прискорення точки буде дорівнювати

. (1.3.2)

В граничному випадку при t0,, де

і

. (1.3.3)

У випадку, коли вектори змінюються з часом, зв’язок між кінематичними величинами знаходять шляхом диференціювання за часом векторного добутку, тобто

. (1.3.4)

З цього співвідношення отримуємо:

і

. (1.3.5)

Напрямки векторів а такожіє взаємно перпендикулярними.

Із цих міркувань можна зробити такі висновки:

- нормальне й тангенціальне прискорення точки зростають лінійно із зростанням відстані точки до осі обертання;

• вектор дотичного або тангенціального прискорення завжди збігається з дотичною до колової траєкторії;

• вектор нормального прискорення направлений від точки на коловій траєкторії в стророну центра кола.