Диференціювання оригіналу
Якщо
і функції
є оригіналами, то
(17.1.11)
(17.1.12)
(17.1.13)
……………………………………….
(17.1.14)
По означенню зображення знаходимо
Отже,
Користаючись отриманим результатом,
знайдемо зображення другої похідної
Аналогічно знайдемо зображення третьої похідної
Застосовуючи формулу (17.1.11) (n - 1) раз, одержимо формулу (17.1.14).
Зауваження.
Формули (17.1.11)-(17.1.14) просто виглядять
при нульових початкових умовах: якщо
то
,
якщо
то
,
і нарешті , якщо
,
то
,
тобто диференціюванню оригіналу
відповідає множення його зображення
на
.
Розглянута властивість диференціювання оригіналу разом із властивістю лінійності широко використовується при розв'язуванні лінійних диференціальних рівнянь.
Приклад
17.1.3.
Знайти зображення виразу
якщо
○ Нехай
Тоді, відповідно до формул (17.1.11)-(17.1.13),
маємо:
,
,
,
.
Отже,
●
Диференціювання зображення
Якщо
, то
,
,
тобто
диференціюванню зображення відповідає
множення його оригіналу на
.
Відповідно
до теореми 17.1.1 існування зображення,
є аналітичною функцією в півплощині
.
Отже, у неї існує похідна будь-якого
порядку. Диференціюючи інтеграл (17.1.1)
по параметру
(обґрунтування законності цієї операції
опускаємо), одержимо
,
тобто
.
Тоді
,
і взагалі
Приклад
17.1.10.
Знайти зображення функцій
,
○ Так
як
, то, в силу властивості диференціювання
зображення, маємо
,тобто
Далі
знаходимо
Продовжуючи диференціювання, отримаємо
З урахуванням властивості зсуву отримаємо
.
Відповідно
до формули (17.1.5),
.
Отже,
,
тобто
,
чи
. (17.1.15)
Аналогічно, використовуючи формули (17.1.6), (17.1.7) і (17.1.8), знаходимо
.
(17.1.16)
.
З урахуванням властивостей зсуву і формул (17.1.15) і (17.1.16), отримаємо
,
.●
Інтегрування оригіналу
Якщо
те
,
тобто інтегруванню оригіналу від 0 до
відповідає ділення його зображення на
.
Функція
є оригіналом (можна перевірити). Нехай
.
Тоді по властивості диференціювання
оригіналу маємо
(так
як
).
А тому що
те
Звідси
тобто
.
Інтегрування зображення
Якщо
і інтеграл
сходиться, то
тобто інтегруванню зображення від
до
відповідає розподіл його оригіналу на
.
Використовуючи формулу (17.1.1) і змінюючи порядок інтегрування (o6підстава законності цієї операції упускаємо), отримаємо
.
Приклад
17.1.11.
Знайти зображення функції
;
знайти зображення
інтегрального синуса
○ Так
як
, то
,
тобто
.
Застосовуючи властивість інтегрування
оригіналу, отримаємо
.
Множення зображень
Якщо
,
то
.
(17.1.17)
Можна
показати , що функція
є оригіналом.
Використовуючи
перетворення Лапласа (17.1.1), можна
Область
D інтегрування отриманого дворазового
інтеграла визначається умовами
(див. рис. 21).Змінюючи порядок інтегрування
і думаючи
одержимо
Рис. 21
Інтеграл
у правій частині формули (17.1.17) називається
згорткою функції
й
і позначається символом
,
тобто
Можна
переконатися (поклавши
),
що згортання має властивість перестановки,
тобто
Отже, множення оригіналів рівносильне їхньому згортанню, тобто
●
Приклад 17.1.12. Знайти оригінал функцій
і
○ Так
як
,
і
,
тобто
Аналогічно
отримаємо 
Наслідок
17.1.2.
Якщо
і
також є оригіналом, то
(17.1.18)
□ Запишемо
добуток 
у вигляді
чи
Перший
доданок у правій частині є добуток
зображень, що відповідають оригіналам
і
Тому на підставі властивості множення
зображень і лінійності можна записати
чи
■
Формула (17.1.18) називається формулою Дюамеля.
На
підставі властивості перестановки
згортки формулу Дюамеля можна записати
у вигляді
Формулу Дюамеля можна застосовувати для визначення оригіналів по відомих зображеннях.
Приклад
17.1.13.
Знайти оригінал, що відповідає зображенню
○ Так
як
і
,
,
де на підставі формули Дюамеля (17.1.18) маємо
●
Рис. 22
Множення оригіналів
Якщо
і
,
то
де
шлях інтегрування — вертикальна пряма
(див. рис. 22) (приймемо без доведення).
Резюме
Розглянуті властивості перетворення Лапласа являють собою основні правила (апарат) операційного числення. Для зручності користування перелічимо ці властивості.
Лінійність:
Подібність:
Зсув:
.Запізнювання:
Диференціювання оригіналу:
…………………………………………...
Диференціювання зображення
………………………………………......
Інтегрування оригіналу:
.Інтегрування зображення:
.Множення зображень:
Множення оригіналів:
