55 Лабораторная работа № 39

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ КОЛЕБАНИЙ

В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ RLC-КОНТУРЕ

Цель работы

1. Проверить формулу Томсона для расчёта периода колебаний Т в колебателъном LC-контуре.

2. Определить коэффициент затухания δ при различных значениях сопротивления R контура.

3. Проверить применимость формулы Томсона к контуру с потерями.

Краткие теоретические сведения

Колебательный контур – это цепь, состоящая из катушки индуктивности L, конденсатора С и резистора R. Если конденсатор зарядить, то в контуре возникают электромагнитные колебания, при которых электрические величины (заряды, напряжения и токи) периодически изменяются.

Если сопротивление контура пренебрежимо мало (R≈0), то возникающие колебания являются гармоническими (незатухающими) и сопровождаются взаимным превращением энергии электрического и магнитного полей. Такой контур называется идеальным (рис. 1а).

Всякий реальный контур (рис. 1б) обладает активным сопротивлением (R≠0), поэтому первоначально запасённая в контуре энергия, расходуется на нагревание этого сопротивления, и возникающие колебания являются затухающими.

Затухающие колебания – это колебания, амплитуда которых уменьшается с течением времени из-за потерь энергии в реальной колебательной системе.

Закон затухания колебаний определяется параметрами колебательной системы.

Амплитуда U_З затухающих колебаний уменьшается с течением времени по экспоненте (пунктирная кривая на графиках колебаний таблицы 1).

Промежуток времени τ, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации.

Величина, обратная времени релаксации и определяемая параметрами колебательного контура, называется коэффициентом затухания δ:

. (1)

Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колебания не являются периодическими и, строго говоря, к ним неприменимо понятие периода или частоты. Однако, если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами (или минимумами) колеблющейся величины. Период затухающих колебаний T_з зависит от параметров колебательного контура (индуктивности L, ёмкости C и коэффициента затухания δ) и определяется по формуле:

. (2)

При отсутствии потерь энергии (R=0  δ=0) формула для расчёта периода колебаний принимает вид (формула Томсона):

. (3)

Формула Томсона также применима и в том случае, когда циклическая частота собственных незатухающих колебаний ω₀ во много раз больше коэффициента затухания δ .

Если U(t) и U(t+T) – амплитуды двух последующих колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение

(4)

называется декрементом затухания, а логарифм отношения

ln= æ (5)

– логарифмическим декрементом затухания.

Связь между коэффициентом затухания δ и логарифмическим декрементом затухания æ устанавливается следующим образом:

Амплитуды двух последующих колебаний можно представить в виде:

; (6)

Тогда отношение двух последующих амплитуд:

; (7)

а логарифм их отношения

ln= æ. (8)

В таблице 1 приведены сравнительные характеристики незатухающих и затухающих колебаний применительно к колебательному контуру.

Таблица 1. Сравнительные характеристики гармонических (незатухающих) и затухающих колебаний.

Характеристика	Колебания
	Незатухающие (R=0)	Затухающие (R≠0)
Уравнение колебаний	UС=U0∙sin(ω0t + φ0); где U0 – амплитуда колебаний; ω0 – собственная частота колебаний; φ0 – начальная фаза колебаний (t=0)	UС=UЗ∙sin(ωЗt + φ0); где UЗ –амплитуда колебаний; ωЗ –частота затухающих колебаний; φ0 – начальная фаза колебаний (t=0)
Амплитуда U	U0 = const	U3 = U0∙e-δt
Циклическая частота ω
Коэффициент затухания δ	δ = 0
Период колебаний Т
График колебаний

Описание установки.

Установка для исследования затухающих колебаний (см. рис. 2) содержит блок ударного возбуждения контура, собственно колебательный контур и электронный осциллограф С1-17 с калиброванной разверткой. Блок ударного возбуждения содержит понижающий трансформатор Тр, выпрямляющий диод VD1, превращающий синусоидальный сигнал в выпрямленный, стабилитрон VD2, служащий для уменьшения времени ударного возбуждения и ограничительное сопротивление R_огр, предотвращающее выход блока из строя при случайном замыкании выхода блока. Блок вырабатывает кратковременные импульсы, следующие с частотой сети (50 Гц) и напряжением порядка 10 В. В момент подачи импульса происходит зарядка конденсатора, а в промежуток времени между импульсами в контуре возникают затухающие колебания, период которых определяется по формулам (2) или (3).

Колебательный контур состоит из магазина емкостей, магазина сопротивлений и катушки индуктивности. Меняя ёмкость С магазина, изменяют период колебаний T контура, а изменяя сопротивление R магазина, изменяют вносимое в контур затухание.

Р исунок 2. Схема установки для исследования затухающих колебаний.

(ЭО – электронный осциллограф, Y – вход канала вертикального усиления)

Данная установка позволяет:

• изменять сопротивление R магазина в диапазоне от 0 до 3000 Ом; при этом изменяется коэффициент затухания δ от начального δ_o, определяемого собственным сопротивлением R_L катушки индуктивности, до максимального, при котором происходит превращение затухающих колебаний в апериодические;

• изменять ёмкость C контура в диапазоне от 0,05 до 0,5 мкФ; при этом изменяется период Т затухающих колебаний.

Параметры затухающих колебаний определяются с помощью электронного осциллографа:

• период колебаний Т находится с помощью калиброванной развертки осциллографа;

• коэффициент затухания δ находится по степени относительного уменьшения амплитуд двух соседних колебаний U_i и U_i+1.

Индуктивность катушки L и ее активное сопротивление R_L определяются в данной работе расчётным путём через период колебаний Т и коэффициент затухания колебаний δ.

Порядок выполнения работы

1. Собрать цепь по схеме в соответствии с рисунком 2. После проверки схемы преподавателем включить блок питания и осциллограф в сеть 220В.

2. Установить на магазине сопротивлений значение R = 0, а на магазине ёмкостей одно из значений ёмкости С в диапазоне (0,1÷0,5) мкФ (по указанию преподавателя).

3. Получить на экране осциллографа устойчивое изображение затухающих колебаний (должно наблюдаться не менее пяти периодов).

Примечание:

На передней панели осциллографа переключатель «ДЛИТЕЛЬНОСТЬ» необходимо установить в положение «200 μs/см»; переключатель «МНОЖИТЕЛЬ» – в положение «×5»; переключатель «ЗАПУСК» – в положение «+».

Ручками «УСИЛЕНИЕ» канала Y (дискретно и плавно) установить максимальную амплитуду колебаний порядка 40÷50 мм. Устойчивость изображения достигается вращением ручек «СИНХРОНИЗАЦИЯ» и «ПОДСТРОЙКА СИНХРОНИЗАЦИИ», а четкость изображения – вращением ручек «ФОКУС» и «АСТИГМАТИЗМ».

Перемещение изображения вдоль осей Х и Y производится соответственно ручками «Х↔» и «Y↨».

1. Проверка зависимости периода колебаний Т от емкости контура С.

   1. Установить на магазине сопротивлений значение R = 0 Ом.

   2. Установить на магазине ёмкостей начальное значение С в диапазоне 0,05÷0,25 мкФ (по указанию преподавателя).

   3. Совместить максимальное значение амплитуды колебания, принятого за начальное, с левой вертикальной линией сетки шкалы (см. рис. 3). Подсчитать число периодов N, умещающихся на сетке экрана и занимаемую ими длину экрана l_N в сантиметрах. Результаты измерений занести в таблицу 2.

Указание. При счете числа периодов по числу максимумов начальная амплитуда в расчет не принимается.

4. Изменяя значение емкости С магазина ёмкостей с шагом, заданным преподавателем, провести необходимое количество измерений по п.1.3.

Таблица 2 Зависимость периода затухающих колебаний от ёмкости контура.

Параметры: R = 0 Ом; «ДЛИТЕЛЬНОСТЬ» = 200 μs/см; «МНОЖИТЕЛЬ» ×5
Экспериментальные данные				Расчетные данные
№	С, мкФ	N	lN, см	lТ, см	Т, мс
1
2
3
4
5

2. Исследование зависимости коэффициента затухания δ от активного сопротивления R контура.

   1. Установить на магазине ёмкостей значение С в диапазоне 0,1÷0,5 мкФ (по указанию преподавателя).

   2. Установить на магазине сопротивлений начальное значение R = 0 Ом.

   3. Выбрать одну из горизонтальных осей сетки экрана в качестве оси Х. Установить изображение колебаний симметрично относительно выбранной оси.

   4. С помощью ручек «УСИЛЕНИЕ» Y (дискретно и плавно) установить максимальную амплитуду колебания порядка 40÷50 мм (см. рис.4).

   5. Измерить (в миллиметрах) амплитуду первых четырёх колебаний, каждый раз совмещая измеряемую амплитуду с вертикальной осью, имеющей миллиметровые деления; результаты измерений занести в таблицу 4.

   6. Изменяя сопротивление R магазина сопротивлений с шагом, заданным преподавателем, провести необходимое количество измерений по п.3.4. При этом максимальную амплитуду колебания необходимо поддерживать на уровне 40÷50 мм с помощью ручек «УСИЛЕНИЕ» Y (дискретно и плавно).

Таблица 3 Зависимость коэффициента затухания колебаний δ от сопротивления R контура.

Параметры: С = ___ мкФ

Экспериментальные данные

Расчетные данные

№

R, Ом

Амплитуда U, мм

Логарифмический декремент æ

δ,с-1

U1

U2

U3

U4

U5

æ1

æ2

æ3

æ4

<æ>

1

2

3

4

5

3. Проверка применимости формулы Томсона к контуру с потерями.

   1. Установить на магазине ёмкостей значение С в диапазоне 0,1÷0,5 мкФ (по указанию преподавателя).

   2. Установить на магазине сопротивлений начальное значение R = 0 Ом.

   3. Произвести измерения периода затухающих колебаний Т по пункту 1.3; результаты измерений занести в таблицу 3.

   4. Изменяя сопротивление R магазина сопротивлений с шагом, заданным преподавателем, провести необходимое количество измерений по п.1.3.

Таблица 4 Зависимость периода затухающих колебаний от сопротивления R контура.

Параметры: С = ___ мкФ; «ДЛИТЕЛЬНОСТЬ» = 200 μs/см; «МНОЖИТЕЛЬ» ×5
Экспериментальные данные					Расчетные данные
№	R, Ом	N	lN, см	lТ, см		Т, мс	<Т>, мс	∆Т, мс