Значение коэффициента Стьюдента tαnзависят от заданной доверительной вероятности α и числа измеренийnи определяются по таблицам Стьюдента-Фишера.

Таблица 3.1

Значения коэффициентов Стьюдента для α = 0,95

n	2	3	4	5	6	7	8	9	10
tαn	12,7	4,30	3,18	2,78	2,57	2,45	2,36	2,31	2,26

3.3. Доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата измерения в соответствии с ГОСТ-8.207-76

Неисключенная систематическая погрешность результата образуется в общем случае из составляющих, в качестве которых могут быть неисключенные систематические погрешности: метода, средств измерений. В качестве границ неисключенной систематической погрешности в работах лабораторного практикума принимают пределы погрешностей средств измерений. Погрешность прибора указывают в паспорте прибора или ее можно вычислить, исходя из класса точности прибора.

Все электроизмерительные приборы разделяются на несколько классов точности:

0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0 и др.

Принадлежность прибора к данному классу точности характеризуется наибольшим допустимым значением приведенной погрешности γ, которая определяется по формуле

, (3.12)

где γ- приведенная погрешность в процентах,

а_max– максимальное значение показаний прибора (предел измерения),

Δа_n– максимальная допустимая абсолютная погрешность прибора.

Абсолютная погрешность Δа_n считается одинаковой для всей шкалы измерительного прибора, величину ее можно определить по формуле (3.12), зная предел измерения прибора и класс точности. Чем меньше отклонение стрелки прибора, тем выше относительная погрешность измеренной величины.

Пример: Миллиамперметром на 75мА измерен ток 3мА.Класс точности прибора 0,2, т.е. приведенная погрешность 0,2%.Это значит, что при измерении любого тока в пределах 0-75мА максимальная абсолютная погрешность равна:

(3.13)

Следовательно, относительная погрешность измерения

(3.14)

I - значение измеряемой величины.

Граница неисключенной систематической погрешности θ вычисляется по формуле :

(3.15)

где k-коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью. При доверительной вероятности α=0,95 коэффициент k принимают равным 1,1.

Для приборов, измеряющих механические величины, за неисключенную систематическую погрешность принимается половина цены деления шкалы. Например, шкала нониуса штангенциркуля имеет цену деления 0,05 мм. Следовательно, неисключенная систематическая погрешность определения линейных размеров будет составлять Δа = 0,025 мм

4. Границы погрешности результата измерения

В случае, если , неисключенными систематическими погрешностями по сравнению со случайными пренебрегают и принимают, что граница погрешности результата

(3.16)

Если, то случайной погрешностью по сравнению с систематической пренебрегают и принимают, что граница погрешности результата

Δ = θ. (3.17)

В том случае, если приведенные выше неравенства не выполняются, т.е. необходимо учитывать вклады случайной и систематической погрешностей и границы погрешности результата измерения Δ вычисляют по формуле:

Δ = КS_Σ (3.18)

где К – коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешностей и определяемый по формуле:

(3.19)

S_Σ – оценка суммарного среднего квадратичного отклонения результата измерения, вычисляемая по формуле:

. (3.20)

3.5. Форма записи результата измерения

Результат измерения следует представить в форме:

А = А̃ ± Δа при α = 0,95 (3.21)

При этом численное значение доверительного интервала не должно содержать больше двух значащих цифр, а числовое значение результата измерения должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности Δа.

3.6. Порядок операций при выполнении прямых измерений

При обработке результатов прямых измерений предлагается следующий порядок операций:

1. Результат каждого измерения записать в таблицу.

2. Вычислить среднее арифметическое значение из n измерений

. (3.22)

3. Найти погрешности отдельных измерений

∆a_i = a_i - Ã (3.23)

4. Вычислить среднюю квадратическую ошибку отдельного измерения

_(3.24)

5. Вычислить среднюю квадратическую погрешность серии измерений

(3.25)

6. Произвести оценку наличия промахов в приведенной серии измерений, для чего среднюю квадратическую ошибку отдельного измерения умножить на коэффициент v_i, значение которого зависит от заданной доверительной вероятности и числа измерений.

Таблица 3.2

Значения коэффициента v_i в зависимости от числа опытов n

при доверительной вероятности α = 0,95

n	3	4	5	6	7	8	9	10
vi	1,41	1,69	1,87	2,00	2,09	2,17	2,24	2,29

Величина отдельного результата измерений a_i, лежащая за пределами интервала (А̃ ±v_i ·S_n) считается промахом и исключается. После этого необходимо уточнить значение среднего арифметического А̃ (п. 2) и повторить расчеты по пунктам 3, 4.

7. Задается значение доверительной вероятности α и при данном числе nизмерений по таблице определить коэффициент Стьюдентаt_α,n.

8. Найти границы доверительного интервала по формуле (3.11); это и есть случайная погрешность серии измерений

Δа = t_α,n· S(Ã). (3.26)

9. Произвести учет погрешности прибора:

а) найти абсолютную погрешность прибора

- для электроизмерительных приборов:

(3.27)

• для штангенциркуля, микрометра и аналитических весов:

, (3.28)

где ЦД – цена деления шкалы прибора.

б) найти границы неисключенной систематической погрешности прибора

θ = кΔа_n, к = 1,1 (3.29)

в) если , то неисключенными систематическими погрешностями по сравнению со случайными пренебрегаем и граница погрешности результата определяется как

Δа = t_α,n · S(Ã) (3.30)

г) если , то случайной погрешностью по сравнению с систематической пренебрегают, что граница погрешности результата

Δа= к·Δа_n(3.31)

д) если приведенные в п.п. в) и г) неравенства не выполняются, учитывают вклады случайной и систематической погрешностей, и границы погрешности результата измерения вычисляют по формуле:

Δа= К·S_Σ (3.32)

где (3.33)

(3.34)

10. При определении массы взвешивание произвести 1 раз и за погрешность массы Δm взять произведение 0,5 массы наименьшего разновеса m_min на к (к = 1,1),

(3.35)

11 Окончательный результат записывается в виде: а = А̃ ± Δа с доверительной вероятностью α = 0,95.

12 Оценить относительную погрешность результата измерений

. (3.36)

4. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

4.1. Теория метода

При косвенном измерении искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям, поэтому само косвенное измерение не сопровождается появлением погрешностей. Величина погрешности косвенного измерения обусловлена «переносом» погрешностей результатов прямых измерений.