§15. Поверхности второго порядка.

Поверхностью второго порядка называют совокупность точек пространства, координаты которых x,y,zудовлетворяют уравнению

Коэффициенты могут принимать любые действительные значения и удовлетворяют условию.

Для определения вида поверхности второго порядка необходимо ее уравнение привести к виду, не содержащему произведений координат. Этого можно достичь соответствующим выбором системы координат.

называют квадратичной формой. Матрицу

,

где , называют матрицей квадратичной формы. Вектор, удовлетворяющий условиюназывают собственным вектором матрицы А,- собственным значением.

Каждая матрица квадратичной формы имеет три взаимно ортогональных собственных вектора. Если единичные векторы собственных векторов матрицы А принять за единичные векторы новой системы координат, то в выражении квадратичной формы коэффициенты при произведениях обратятся в ноль и форма примет вид:

.

Присоединяя к ней линейную часть общего уравнения поверхности второго порядка и выделяя полные квадраты, получим каноническое уравнение поверхности второго порядка.

Пример 24.Привести к каноническому виду уравнение поверхности:

3x²+5y²+3z²– 2xy+ 2xz– 2yz-12x– 10 = 0.

Решение.

Составим матрицу А:

.

Найдем собственные векторы:

Полученная система имеет ненулевые решения, если ее определитель равен нулю, т.е.

Раскрывая определитель, получим:

.

Отсюда находим: .

При получим систему уравнений:

Решив систему, получим первый собственный вектор . Единичный векторсобственного векторабудет:.

При получим

При получим.

Записывая координаты единичных векторов в соответствующие столбцы, получим матрицу преобразования S:

Отсюда получим формулы преобразования координат:

Подставим значения ,ив уравнение поверхности:

или

Перепишем уравнение в виде:

Дополнив выражение в каждой скобке до полного квадрата, получим:

Совершив параллельный перенос осей координат и разделив на 24 обе части уравнения, получим

Это уравнение описывает поверхность, называемую эллипсоидом.

Классификация поверхностей второго порядка.

Применяя преобразование координат, уравнение поверхности второго порядка всегда можно привести к виду:

.

В зависимости от величины и знаков коэффициентов ,,,,,имогут представиться следующие частные случаи уравнений поверхностей второго порядка.

Таблица 1.

1. Эллипсоиды:

трехосный эллипсоид,

мнимый эллипсоид

точка

2. Гиперболоиды:

1)однополостные гиперболоиды

2)двуполостные гиперболоиды

3. Конусы:

4. Параболоиды:

1)эллиптические параболоиды

2)гиперболические параболоиды

5. Цилиндры

1)эллиптические цилиндры

2)гиперболические цилиндры

3)- параболические цилиндры

6. Пары плоскостей:

1)- пары пересекающихся плоскостей

2)- пары параллельных плоскостей

3)- пары совпадающих плоскостей

§16. Преобразование декартовых координат.

Известно, что положение точки М некоторого пространства Vможно однозначно определить, задав координатыx,yиzэтой точки относительно некоторой системы координатOXYZ. Выбор системы координат – произвольный. Очевидно, что в одной системе координатXOYZточка М будет иметь координаты М(x;y;z), а в другой системеX’O’Y’Z’ точка М будет иметь другие координаты М(x’;y’;z’). Естественно возникает задача: зная координаты точки М в одной системе координат, выразить через них координаты той же точки М относительно другой системы.

Задача сводится к нахождению трех функций:

позволяющих однозначно определить координаты точки М относительно одной системы координат, зная их относительно другой системы. Если системы XOYZиX’O’Y’Z’ - прямоугольные декартовы системы координат, то формулы перехода от одной системы координат к другой системе имеют вид:

где точка - начало координат новой системыX’O’Y’Z’;- направляющие косинусы углов, составленных единичными векторами новой и старой систем координат. Если система координат определена на плоскости, то формулы преобразования имеют вид:

.

Если , то есть начало новой системы координат совпадает с началом старой системы, то формулы преобразования имеют вид:

и определяют поворот системы.

Если единичные векторы старой и новой систем коллинеарны, то получим преобразование параллельного переноса:

На плоскости преобразования поворота и параллельного переноса имеют вид:

Общее преобразование можно рассматривать как суперпозицию параллельного переноса и поворота системы координат. Справедливо фундаментальное утверждение: каковы бы ни были две произвольные прямоугольные декартовы системы координат, координаты x,y,zлюбой точки пространства относительно одной системы являются линейными функциями координатx’,y’,z’ той же точки относительно другой системы.