1.14. Коэффициент детерминации

В качестве меры того, насколько хорошо регрессия описывает данную систему наблюдений, служит коэффициент детерминации.

Коэффициент детерминации интегрально характеризует точностные свойства уравнения регрессии. Он показывает, какая доля из общего рассеяния экспериментальных значений относительно своего среднего, обусловлена регрессионной зависимостью:

, (21)

где – теоретическое значение результативного признака, вычисленное с помощью полученной регрессионной модели,– среднее значение,– среднее групповое, т.е. фактические значения результативного признака.

.

Если , то вариацияполностью определяется случайными возмущениями, а влияние факторане обнаруживается.

Если , регрессионная кривая проходит через все экспериментальные точки. Можно указать некоторую нижнюю границу коэффициента детерминации, имея ввиду, что лишь в случае, когдауравнение регрессии представляет достаточный практический интерес:. Если, то регрессионная модель вряд ли работоспособна.

2. Пример выполнения расчетно-графической работы

Данные для статистической обработки

Столбец 1		Столбец 2		Столбец 3		Столбец 4		Столбец 5
8,91 7,36 9,10 9,80 8,43 10,10 7,45 9,01 8,07 8,86	560,47 395,40 583,13 668,37 506,74 706,87 404,02 571,92 467,60 554,50	10,19 10,71 9,68 9,33 8,93 9,03 10,11 7,46 9,30 8,62	718,20 788,63 653,88 610,69 562,38 574,46 708,69 405,15 606,14 526,98	8,92 7,33 8,63 9,24 8,66 8,44 9,54 8,02 8,62 8,12	561,67 392,71 528,04 599,47 532,26 507,66 636,39 462,43 527,94 472,49	9,73 8,43 7,95 9,89 9,93 8,49 6,75 8,38 8,72 9,57	659,48 506,18 454,53 680,49 684,68 512,47 338,21 501,19 539,20 639,34	9,96 9,42 9,24 9,56 8,29 7,13 9,42 9,84 8,06 8,67	689,24 621,28 598,93 638,56 491,13 373,06 621,16 673,62 466,31 532,75
Столбец 6		Столбец 7		Столбец 8		Столбец 9		Столбец 10
8,98 8,43 9,04 10,60 9,63 10,97 8,77 9,07 8,91 10,38	568,23 506,65 575,46 773,63 646,83 824,15 543,87 579,56 560,95 743,22	9,31 9,29 9,04 10,13 9,68 8,66 8,88 9,43 8,81 8,20	608,14 605,72 576,15 710,49 653,68 531,79 557,32 622,92 548,98 480,97	10,43 8,97 9,18 10,33 10,04 9,14 10,22 9,10 8,25 8,66	750,59 567,78 592,59 736,87 699,34 587,48 723,08 583,02 486,95 531,98	9,68 10,50 9,51 9,88 8,16 8,98 8,13 7,21 9,33 10,60	653,25 759,24 631,76 679,17 476,74 568,97 474,10 381,13 610,68 774,19	8,99 9,13 9,14 10,25 6,84 8,72 10,35 8,12 9,94 7,41	570,25 586,56 587,68 726,99 346,08 538,49 739,89 472,21 686,47 400,57

2.1. Определение основных параметров случайных величин и

Возьмем некоторые данные для случайной величины из расчетно-графической работы №1. Интервальный ряд для СВ :

№ п/п	Интервалы	Середина интервала	Частота
1	[6,75; 7,18)	6,97	3
2	[7,18; 7,61)	7,40	6
3	[7,61; 8,04)	7,83	2
4	[8,04; 8,47)	8,26	14
5	[8,47; 8,9)	8,69	14
6	[8,9; 9,33)	9,12	24
7	[9,33; 9,76)	9,55	14
8	[9,76; 10,19)	9,98	12
9	[10,19; 10,62)	10,41	9
10	[10,62; 11,05)	10,84	2

Среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины X: 9,0548. Дисперсия0,7988. Среднеквадратическое отклонение:0,89.

Используя критерий Пирсона, получаем, что случайная величина распределена по нормальному закону.

Построим интервальный ряд для случайной величины . Весь диапазон измерений признака , гдеи– соответственно максимальное и минимальное значение признака , разбивают на интервалов, где. Найдем оптимальную длину интервалов:

. y_max=824,15, y_min=338,21, h=(824,15–338,21)/10=48,6.

Получаем интервальный статистический ряд следующего вида:

№ п/п	Интервалы	Середины интервала	Частоты
1	[338,21; 386,81)	362,51	4
2	[386,81; 435,41)	411,11	6
3	[435,41; 484,01)	459,71	8
4	[484,01; 532,61)	508,31	14
5	[532,61; 581,21)	556,91	20
6	[581,21; 629,81)	605,51	16
7	[629,81; 678,41)	654,11	11
8	[678,41; 727,01)	702,71	12
9	[727,01; 775,61)	751,31	7
10	[775,61;824,21)	799,91	2

Среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины Y:

=58023,80/100=580,238.

Дисперсия: =D*(Y)==1112388,68/100=11123,8868. Среднеквадратическое отклонение:=105,4698.

Проверим нулевую гипотезу о нормальном виде распределения :, где. Проверку гипотезы о виде нормального распределения можно провести с помощью критерия Пирсона. Для чего нам потребуется следующая таблица:

yi	ni	yi–		(ti)	(ti)
362,51		–217,73	–2,06	0,0478	2,2997
411,11		–169,13	–1,60	0,1109	5,3354
459,71	8	–120,53	–1,14	0,2083	10,0214	10
508,31	14	–71,93	–0,68	0,3166	15,2317	15
556,91	20	–23,33	–0,22	0,3894	18,7341	19
605,51	16	25,27	0,24	0,3876	18,6476	19
654,11	11	73,87	0,70	0,3123	15,0248	15
702,71	12	122,47	1,16	0,2036	9,7953	10
751,31		171,07	1,62	0,1074	5,1670
799,91		219,67	2,08	0,0459	2,2083

=

Найдем ,  – уровень значимости (=0.05),  –число степеней свободы =l–r–1. Так как l=8–2–1=5, то (0.05,5)=11.1.

Сравним и : <, следовательно, нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении случайной величины Y.