1.9. Свойства корреляционного отношения

1. .

2. Если , то признак с признаком корреляционной зависимостью не связан.

3. Если , то признак с признаком связан функциональной зависимостью.

4. Выборочное корреляционное отношение не менее абсолютной величины выборочного коэффициента корреляции: .

5. Если выборочное корреляционное отношение равно абсолютной величине выборочного коэффициента корреляции, то имеет место точная линейная корреляционная зависимость.

1.10. Проверка однородности нескольких дисперсий, найденных по выборкам одинаковых объемов

Для проверки гипотезы об однородности нескольких дисперсий при равных объемах всех рассматриваемых выборок,может быть использован– критерий Кочрена.

Пусть – количество выборочных дисперсий, однородность которых проверяется. Обозначим эти дисперсии.

Вычисляется расчетное – отклонение по формуле:

. (16)

В числителе этой формулы стоит наибольшая из рассматриваемых дисперсий, а в знаменателе – сумма всех дисперсий. Далее обращаются к таблицам распределения Кочрена.

По выбранному уровню значимостью , числу степеней свободы каждой выборкии по количеству выборок, из этой таблицы отыскиваем величину. Если, то можно принять гипотезу об однородности дисперсии, в противном случае гипотеза отвергается.

1.11. Проверка однородности нескольких дисперсий, найденных по выборкам различного объема

Пусть проверяется однородность некоторого числа дисперсий. Но эти дисперсии найдены по выборкам различного объема. В этом случае используется критерий Бартлетта.

Предварительно вычисляют дисперсию воспроизводимости , представляющую собой среднее взвешенное значение дисперсий, взятое с учетом числа степеней свободы:

, (17)

где – число степеней свободы соответствующих дисперсий, – сумма всех степеней свободы: .

Рассчитываем величину

, , . (18)

Затем по таблице «Критерий » при уровне значимости и числе степеней свободы, отыскивают значение.

Гипотеза об однородности дисперсий принимается, если .

Замечание. В данной проверке требуется, чтобы объем каждой выборки был не менее четырех.

Замечание. Критерий Бартлетта чувствителен к отклонениям от нормального распределения.

1.12. Проверка адекватности регрессионной модели

Регрессионная модель , построенная по результатам эксперимента, позволяет рассчитать значения отклика в разных точках области варьирования факторов.

Проверка адекватности математической модели дает возможность экспериментатору ответить на вопрос, будет ли построенная модель предсказывать значения выходной величины с той же точностью, что и результаты эксперимента.

Пусть – число опытов экспериментального плана или число серий параллельных опытов, если опыты дублируются,– число оцениваемых коэффициентов регрессии математической модели.

Проверка адекватности возможна только при , т.е. если план эксперимента является ненасыщенным.

Для проверки адекватности модели необходимо знать оценку дисперсии воспроизводимости , которую можно вычислить, в зависимости от методики дублирования опыта (см. 1.11).

1.13. Порядок проверки адекватности модели

1. Определяют сумму квадратов, характеризующую адекватность модели . При равномерном дублировании опытов

,

где – число дублированных опытов в каждой серии,– среднее значение результатов в-той серии дублированных результатов,– теоретическое значение, вычисленное с помощью полученной регрессионной модели.

В случае неравномерного дублирования

,

–число дублированных опытов в -той серии.

2. Вычисляют число степеней свободы дисперсии адекватности. При любой методике дублировании.

3.Вычисляют дисперсию адекватности

(19)

С помощью -критерия Фишера проверяют однородность дисперсии адекватности (18) и дисперсии воспроизводимости (19). При этом вычисляют

, (20)

которое сравнивается с табличным значением , найденным при выбранном уровне значимости для чисел степеней свободы , в числителе ив знаменателе ().

Если , то модель считается адекватной и может быть использована для описания объекта. В противном случае модель не адекватна.

Рассмотренный метод проверки адекватности играет простой физический смысл.

В основе этой процедуры лежит проверка гипотезы об однородности дисперсии адекватности и дисперсии, характеризующей ошибку эксперимента. Заметим, что дисперсия адекватности характеризует расхождение между результатами эксперимента и значениями выходной величины, вычисленными по уравнению регрессии. Очевидно, что модель удовлетворительно описывает объект исследования, т.е. является адекватной, если указанное расхождение вызвано только экспериментальными ошибками, а не связано, например, с неудачным выбором вида математической модели.

Проверка гипотезы об однородности рассматриваемых дисперсий и выясняет общность происхождения экспериментальных ошибок и расхождения между и.