1.6. Точечная и интервальная оценки коэффициентов корреляции нормально распределенной генеральной совокупности

Если выборка имеет достаточно большой объем и хорошо представляет генеральную совокупность, то заключение о тесноте линейной зависимости между признаками, полученное по данным выборки, в известной степени может быть распространено на генеральную совокупность. В качестве точечной оценки коэффициента корреляции генеральной совокупности берут.

Для интервальной оценки коэффициента корреляции нормально распределенной генеральной совокупности () имеем:

. (8)

1.7. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции

Пусть двумерная генеральная совокупность , распределена нормально. Из этой совокупности извлечена выборка объема и по ней найден выборочный коэффициент корреляции, который оказался отличным от 0.

Так как выборка отобрана случайно, то еще нельзя заключить, что коэффициент корреляции генеральной совокупности также отличен от 0.

Нас интересует именно этот коэффициент . Поэтому возникает необходимость при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе.

Если гипотеза будет опровергнута, то это означает, что выборочный коэффициент корреляции значительно отличается от 0, а и связаны линейной зависимостью.

Если нулевая гипотеза будет принята, то выборочный коэффициент корреляции не значим, а и не связаны линейной зависимостью.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину , где– объем выборки.

Величина при справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Стьюдента сстепенями свободы. Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений черези сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.

Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезуо равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины, при конкурирующей гипотезенадо вычислить наблюдаемое значение критерияи по таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному уровню значимостии числу степеней свободынайти критическую точкудлядвусторонней критической области.

Если – нет основания отвергнуть нулевую гипотезу. Если– нулевую гипотезу отвергают и, следовательно, выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от 0 , то естьи линейно корреляционны.

1.8. Корреляционное отношение

Ранее рассматривалась теснота линейной корреляционной связи. Вопрос: как оценить тесноту любой корреляционной связи?

Так как все значения признака разбиты на группы, можно представить общую дисперсию признака в виде суммы внутригрупповой и межгрупповой дисперсии.

. (9)

Определение. Групповой дисперсией называют дисперсию значений признака, принадлежащих группе, относительно групповой средней.

, (10)

где – частота значенийпри, – номер группы, , –групповая средняя группы , – объем группы .

Определение. Внутригрупповой дисперсией называют среднюю арифметическую групповых дисперсий, взвешенную по объемам групп.

, (11)

–объем всей совокупности.

Определение. Межгрупповой дисперсией называют дисперсию групповых средних относительно общeй средней.

, (12)

где – общая средняя.

Определение. Общей дисперсией называют дисперсию значений признака всей совокупности относительно общей признака.

. (13)

Для оценки тесноты нелинейной корреляционной связи вводят корреляционные характеристики:

1. –выборочное корреляционное отношение к .

(14)

2. –выборочное корреляционное отношение к .

(15)