1.2. Задачи регрессионного анализа

Регрессионный анализ – анализ функции регрессии. С его помощью решаются следующие задачи:

1. Находят точечные и интервальные оценки параметров элементарной функции регрессии.

2. Производят точечные и интервальные оценки, необходимые для предсказания средних значений одной случайной величины, соответствующие функциональной зависимости от другой величины.

3. Производят согласование найденной элементарной функции с экспериментальными данными.

1.3. Корреляционная таблица

При большом количестве наблюдений одного и того же значения, значение может встретитьсяраз, одно и то же значение – раз. Одна и та же пара чисел может встретитьсяраз. Поэтому данные наблюдений группируются, то есть подсчитываются частоты, , .

Все сгруппированные данные записываются в виде таблицы, которую называют корреляционной. Интервалы одной случайной величины записывают в первый столбец корреляционной таблицы, а интервалы другой случайной величины – в первую строку.

По каждой паре значений решают в какую строку и в какой столбец они попадают. В клетку, стоящую на пересечении соответствующих строки и столбца, ставят точку. Так поступают со всеми парами чисел. Затем подсчитывают точки во всех клетках и записывают соответствующим числом.

Далее суммируют числа по строкам и столбцам и находими .

Замечание. .

Для каждого столбца необходимо найти условное среднее , а для каждой строки .

1.4. Выборочное уравнение прямой линии регрессии по сгруппированным данным. Выборочный коэффициент корреляции

Для отыскания параметров прямой линии регрессии по несгруппированным данным по методу наименьших квадратов получена система:

(1)

где – коэффициент регрессии.

Пусть получено большое число данных (для удовлетворительной оценки искомых параметров количество наблюдений должно быть не менее 50). Среди них есть повторяющиеся, и они сгруппированы в виде корреляционной таблицы. Запишем соотношение (1) так, чтобы оно отражало данные корреляционной таблицы.

; ; ; ; ;

; .

Учтено, что пара чисел наблюдалась раз. Поставив все это в систему (1) будем иметь

(2)

Решив эту систему, найдем параметры ии тем самым найдем уравнение регрессии .

Однако целесообразно, введя новую величину – коэффициент корреляции, найти уравнение регрессии в ином виде.

Из 2-го уравнения системы выразим : . Подставив правую часть этого уравнения в уравнение получим

;

. (3)

Найдем из системы (2) коэффициент корреляции :

, (4)

где – среднее квадратическое отклонение СВ .

Умножая обе части равенства на дробь , получим выборочный коэффициент корреляции

(5)

Выборочный коэффициент корреляции служит для оценки тесноты линейной корреляционной зависимости.

Отсюда выборочное уравнение прямой линии регрессии наимеет вид

. (6)

Аналогично находят второе уравнение прямой линии регрессии

. (7)

1.5. Свойства выборочного коэффициента корреляции

1. Абсолютная величина выборочного коэффициента корреляции не превосходит 1 ().

2. Если выборочный коэффициент корреляции равен 0 и выборочные линии регрессии – прямые линии, то и не связаны линейной корреляционной зависимостью и , .

В этом случае прямые линии регрессии параллельны соответственно координатным осям.

Замечание. Если выборочный коэффициент корреляции , то признакии могут быть связаны нелинейной корреляционной или даже функциональной зависимостью.

3. Если абсолютная величина , то наблюдаемые значения признаков связаны линейной функциональной зависимостью.

4. С возрастанием абсолютной величины выборочного коэффициента корреляции линейная корреляционная зависимость становится более тесной и при переходит в функциональную.

Величина коэффициента корреляции характеризует силу линейной связи между признаками ():

если – связь слабая;

если – связь умеренная;

если – связь заметная;

если – связь высокая;

если – связь весьма высокая;

если – связь функциональная.

5. Знак выборочного коэффициента корреляции совпадает со знаком выборочного коэффициента регрессии: , и определяет направление связи. Если – связь прямая,– связь обратная.

Перемножим первое и второе равенства ; .

Знак при радикале должен совпадать со знаком коэффициента регрессии, т.е. , если;, если.

Выборочный коэффициент корреляции равен среднему геометрическому выборочных коэффициентов регрессий.