57

Лабораторная работа №7 Определение моментов инерции тел методом крутильных колебаний

Цель работы:

1. Изучение динамики вращательного движения тел.

2. Определение моментов инерции тела относительно различных осей враще­ния методом крутильных колебаний

Теоретическое введение

Уравнение динамики вращательного движения тел вокруг неподвижной оси выражается формулой

, (1)

где М – момент действующих на тело сил, взятых относительно оси вращения; I – момент инерции тела относительно той же оси; - угловое ускорение тела.

Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси назы­вается величина, равная произведению массы точки на квадрат ее расстояния от оси:

. (2)

Для протяженных тел момент инерции определяется как сумма моментов инерции отдельных материальных точек (элементарных масс Δm_i), на которые можно разбить тело

. (3)

В предельном случае, когда число элементарных масс стремится к беско­нечности, сумма переходит в интеграл

, (4)

где ρ – плотность, V – объем тела; ρdV – масса бесконечно малого элемента объ­ема dV твердого тела.

Как видно из определения, момент инерции тела есть величина аддитивная; момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей; момент инерции системы тел равен сумме моментов отдельных тел.

Используя формулу (4), можно вывести формулы для моментов инерции часто встречающихся твердых тел правильной геометрической формы массой m.

Момент инерции тонкостенногого цилиндра (обруча) радиуса R относительно оси симметрии:

. (5)

Момент инерции сплошного цилиндра (диска) относительно оси симмет­рии:

. (6)

Момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр шара:

. (7)

Момент инерции однородного стержня относительно оси, перпендикуляр­ной к стержню и проходящей через его середину:

. (8)

Одно и то же тело относительно различных осей обладает различными мо­ментами инерции. Если известен момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, то момент инерции относительно любой другой оси, параллель­ной данной, вычисляется по формуле (теорема Штейнера):

, (9)

где I₀ – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс; а – расстояние между осями.

Имеется много способов экспериментального определения моментов инер­ции тел. В настоящей работе используется метод крутильных (вращательных) ко­лебаний.

Описание установки и метода

Установка (рисунок 1) представляет собой крутильный маятник и состоит из рамки 1, подвешенной на упругих нитях подвеса 2. В рамку зажимают тело 3, момент инерции которого относительно оси, проходящей через нити подвеса, не­обходимо определить.

Маятник способен совершать крутильные колебания, число и полное время которых регистрируются автоматически. Для маятника можно записать основное уравнение динамики вращательного движения тела вокруг неподвижной оси:

, (10)

где - момент инерции маятника, равный сумме моментов инерции рамкиI_P и исследуемого тела I_T; φ – угол поворота рамки; r, L - радиус и длина нити подвеса; G – модуль сдвига материала нити подвеса.

Введя постоянную, характеризующую жесткость растяжек данной установки при кручении, уравнение (10) можно записать в виде:

. (11)

Это уравнение является дифференциальным уравнением гармонических ко­лебаний с циклической частотой и периодом

. (12)

На измерении периода крутильных колебаний маятника основан метод оп­ределения момента инерции исследуемого тела. Вначале определяют период ко­лебаний маятника без исследуемого тела (то есть пустой рамки):

. (13)

Затем закрепляют в рамке маятника исследуемое тело и находят вновь пе­риод колебаний:

. (14)

Решая систему уравнений (13) и (14) относительно I_T, получают

. (15)

В работе непосредственно измеряют время t определенного числа n полных колебаний маятника. Период колебаний равен:

. (16)

Для того, чтобы пользоваться формулой (15), необходимо знать коэффици­ент k жесткости нитей подвеса при кручении. Он может быть задан преподавате­лем, либо найден экспериментально.

Для экспериментального определения коэффициента k пользуются телом, момент инерции которого можно рассчитать по известной формуле, например, телом цилиндрической формы, для которого

, (17)

где М – масса цилиндра; R – его радиус.

Подставляя (17) в формулу (15), получим, что коэффициент k равен:

(18)

где T, T₀ – период колебаний маятника без цилиндра и с ним.

Для исследуемого тела моменты инерции I_x, I_y, I_z, I_u будут определяться относительно осей ОХ, ОY, ОZ и относительно диагональной оси Ou (рисунок 2).

Момент инерции I_u , определенный экспериментально, необходимо сравнить с его значением, рассчитанным теоретически.

Момент инерции прямоугольного параллелепипеда относительно диагональной оси Ou связан с моментами инерции тела относительно главных осей ОХ, ОY, ОZ соотношением

, (19)

где I_x, I_y, I_z – моменты инерции тела относительно главных осей ОХ, ОY, ОZ; I_u – момент инерции тела относительно диагональной оси, проходящей через центр масс; cos α, cos β, cosγ – направляющие косинусы (косинусы углов между главными осями ОХ, ОY, ОZ и осью Ou)

; ;. (20)

Здесь a, b и c – линейные размеры тела.