91

Лабораторная работа №10 Изучение закона нормального распределения на механической модели

Цель работы:

1. Ознакомиться с нормальным (гауссовским) и максвелловским распределением случайных величин.

2. Ознакомиться с нормальным распределением на механической модели и определить его дисперсию и меру точности.

Теоретическое введение

Случайные явления описываются с помощью теории вероятностей и подчиняются статистическим законам, позволяющим найти вероятность осуществления того или иного события в серии случайных событий, среднее значение случайной величины, наиболее вероятное отклонение от среднего и т.д. Все эти характеристики определяются законом распределения случайной величины – то есть зависимостью вероятности появления того или иного значения случайной величины от самого значения величины.

Пусть х – некоторая дискретная случайная величина, которая может принимать s значений: х₁, х₂, … х_n, … х_s. Этим значениям соответствуют вероятности: р₁, р₂, … р_m, …, р_s. Например, р_m есть вероятность того, что рассматриваемая величина примет значение х_m. Сумма всех вероятностей (р₁ + р₂ + … +р_s) есть вероятность того, что в испытании будет реализовано какое-либо (безразлично какое именно) из значений х₁, х₂, …, х_s. Эта вероятность равна единице.

Таким образом,

.

Набор вероятностей р₁, р₂, … , р_s содержит исчерпывающую информацию о случайной величине.

Однако во многих случаях на практике знание вероятностей необязательно. Достаточно знать две наиболее важные характеристики случайной величины – ее математическое ожидание и дисперсию.

Математическое ожидание есть среднее значение случайной величины. Усреднение производится по большому числу испытаний. Для обозначения таких средних будем использовать угловые скобки .

Среднее значение случайной величины х есть сумма произведений значений этой величины на соответствующее вероятности:

(1)

или, если использовать знак суммирования,

. (2)

Кроме среднего значения, важно также знать, насколько сильно значения рассматриваемой величины отклоняются от ее среднего значения или, иначе говоря, насколько широк разброс значений случайной величины.

Среднее значение отклонения от среднего (среднее значение разности ) здесь не подходит, поскольку оно равно нулю. Действительно,

.

Поэтому рассматривают среднее значение не самого отклонения от среднего, а квадрата отклонения, то есть:

. (3)

Это и есть дисперсия случайной величины, которая обозначается через .

Квадратный корень из дисперсии называютсредним квадратичным отклонением или стандартом случайной величины. Нетрудно убедиться, что:

. (4)

Действительно,

Итак, характеристики случайной величины – математическое ожидание и дисперсия – выражаются для дискретных величин через суммы по распределению вероятностей (формулы (2) – (4)).

Для непрерывных случайных величин вместо сумм используют интегралы, а вместо распределения вероятностей распределение плотности вероятности:

(5)

(6)

где f(x) – плотность вероятности случайной величины.

Поясним, что подразумевается под плотностью вероятности. Пусть имеется набор из очень большого числа N значений случайной величины. Пример – набор результатов N измерений некоторой физической величины, при определении которой допускались случайные погрешности. Пример из молекулярной физики - набор значений проекций на какую-либо ось скоростей частиц газа. Пусть dN значений случайной величины лежат в интервале от x до x + dx. Величина dN пропорциональна ширине интервала dx и числу N. Законом (функцией) распределения или плотностью вероятности случайной величины называется функция:

. (7)

Чтобы выяснить физический смысл функции распределения, положим dx = 1, то есть рассмотрим единичный интервал значений случайной величины от x до x + 1. При этом формула (7) упрощается и принимает вид:

. (8)

Следовательно, функция распределения показывает, какая доля от общего количества значений случайной величины лежит в единичном интервале от x до x + 1.

Иными словами, функция распределения показывает, какова вероятность того, что взятое наугад значение случайной величины попадет в единичный интервал от x до x + 1.

Во многих случаях для описания случайных величин справедлив так называемый закон нормального распределения (распределения Гаусса). Это распределение имеет место, если случайная величина зависит от большого числа факторов, могущих вносить с равной вероятностью положительные и отрицательные отклонения. Примером может служить распределение случайных ошибок при измерении любой физической величины или распределение проекций на координатную ось скоростей движения частиц газа. Можно показать, что закон нормального распределения (закон Гаусса) имеет вид:

, (9)

где х – произвольное значение случайной величины; - ее среднее значение (математическое ожидание);σ² – дисперсия (средний квадрат отклонения случайной величины от среднего значения). На рисунке 1 показаны графики распределения Гаусса при различных значениях иσ².

f(x)

f_max

f_max

Рисунок 1 - График распределения Гаусса.

1 - = 0; 2 -, значенияσ² для кривых 1 и 2 одинаковы; 3 - = 0, значениеσ² больше, чем для кривых 1 и 2.

Нормальное распределение характеризуется также мерой точности . Прих = функция распределения максимальна:

.

Величина , обратная мере точностиh, равна такому отклонению x от , при которомf(x) меньше f_max в раза (рисунок1).

Итак, нормальным распределением описывается плотность вероятности всех непрерывных случайных величин, разброс значений которых обусловлен множеством разнообразных факторов, действующих примерно в одинаковой степени и независимо друг от друга. Максимум распределения (рисунок 1) достигается при значении х, равном математическому ожиданию . Кривая, описывающая рассматриваемое распределение (кривая Гаусса), имеет колоколообразный вид, она симметрична относительно вертикали. Площадь под кривой, рассматриваемая для всего бесконечного промежутка, равна интегралу. Подставляя сюда функцию (9), можно убедиться, что эта площадь равна единице. Это согласуется с тем, что вероятность достоверного события равна единице.

Разобьем площадь под кривой Гаусса (рисунок 2) вертикальными прямыми на отдельные участки. Сначала рассмотрим участок, соответствующий промежутку .

Можно убедиться, что . Это означает, что вероятность попадания х в промежуток значений отдоравна 0,683. Далее можно показать, что вероятность попадания в промежуток отдоравна 0,954, а в промежуток отдоравна 0,997.

Таким образом, значения непрерывной случайной величины, подчиняющейся нормальному распределению, попадает в интервалс вероятностью 0,997. Такая вероятность практически равна единице. Поэтому на практике можно полагать, что фактически все значения рассматриваемой случайной величины находятся в пределах промежутка, простирающегося на 3σ вправо и на 3σ влево от. Это и есть«правило трех сигм».

Рисунок 2 – Правило «трех сигм»

Как сказано выше, проекция v_x скорости частицы газа на ось х есть случайная величина с гауссовским законом распределения, принимающим в данном случае вид:

, (10)

где m – масса частицы; k – постоянная Больцмана; Т – абсолютная температура. Из сравнения (9) и (10) следует, что среднее значение проекции скорости , а дисперсия распределения.

В отличие от проекции скорости, принимающей как отрицательные, так и положительные значения, численное значение (модуль) скорости частицы не может быть отрицательным. Модуль скорости частицы газа – также случайная величина, но она описывается не гауссовской, а так называемой максвелловской функцией распределения частиц газа по скоростям F(v), связанной с гауссовским распределением проекций скорости формулой:

(11)

Из графика функции F(v) (рисунок 3) видно, что основная доля частиц газа имеет скорости, близкие к так называемой наиболее вероятной скорости v_в. Доля частиц, имеющих очень маленькую (v → 0) или очень большую скорость (v → ∞), мала.

Рисунок 3 - Графики максвелловского распределения частиц газа по скоростям при различных значениях температуры