184

Часть IV. Развитие физических концепций. Квантовая физика

9. Основы квантовой механики

9.1. Корпускулярно-волновой дуализм материи.

Соотношение неопределенностей. Предмет квантовой механики

В первой трети 20-го века в физике произошла революция, оказавшая огромное влияние на последующее развитие всего естествознания. Одним из основных результатов этой революции явилось создание теории относительности (см. раздел 3), вторым - создание квантовой физики и ее ядра - квантовой механики. Важнейший вклад в разработку квантовой механики внесли М. Планк (нем.), А. Эйнштейн (Германия - Швейцария - США), Н. Бор (дат.), Л. де Бройль (фр.), Э. Шрёдингер (австр.), В. Гейзенберг (нем.), В. Паули (Австрия - Германия - США - Швейцария), П. Дирак (англ.) и др.

Впервые квантовые представления были введены в 1900 г. М. Планком в работе, посвященной тепловому излучению тел (Нобелевская премия 1918 г.). Существовавшая к тому времени теория теплового излучения, основанная на классической электродинамике и статистической физике, не могла объяснить свойства и установленные на опыте законы этого излучения. Планк разрешил эту проблему и получил прекрасно согласующиеся с опытом результаты, предположив, что свет испускается не непрерывно, как это предполагается в классической теории излучения, а дискретными порциями энергии - квантами. Отметим, что здесь и далее в этом разделе под термином «свет» нужно понимать не только видимый свет, но и любое другое электромагнитное излучение. Величина кванта энергии зависит от частоты света и рассчитывается по формуле Планка

, (9.1)

где h=6.63·10^-34 Дж·с - постоянная Планка, иногда называемая квантом действия.

Квантовая гипотеза Планка получила развитие в работе А. Эйнштейна 1905 года (Нобелевская премия 1921 г.), в которой была дана теория фотоэффекта, то есть выбивания электронов из вещества под действием света. Развивая идею Планка, Эйнштейн предположил, что свет не только испускается и поглощается, но и распространяется квантами, то есть что дискретность присуща не процессу излучения и поглощения, а самому свету. По Эйнштейну свет состоит из отдельных квазичастиц («как бы частиц»), названных фотонами. Энергия фотона определяется формулой Планка (9.1).

Экспериментальное подтверждение квантовой природы света получил в 1922 г. А. Комптон (амер., Нобелевская премия 1927 г.) в опытах по рассеянию рентгеновского излучения веществом, содержащем слабо связанные (почти свободные) электроны. Комптон обнаружил, что длина волны излучения при рассеянии увеличивается, что не могла объяснить классическая теория рассеяния волн. Однако этот эффект (эффект Комптона) вполне объясним, если рассматривать рассеяние света как результат абсолютно упругого соударения двух частиц: фотона и электрона. При таком соударении должны выполняться законы сохранения энергии и импульса, то есть фотон, наряду с энергией, обладает и импульсом.

Поскольку фотон движется со скоростью света, то его движение должно описываться специальной теорией относительности (см. подраздел 3.2). Как отмечалось в 3.2, двигаться со скоростью света могут только частицы с нулевой массой покоя. Следовательно, масса покоя фотона , и существует он, лишь двигаясь со скоростью света. Замедлить свое движение или, тем более, остановиться он не может. Но фотон обладает релятивистской массой (массой движения), равной согласно формуле (3.13)

, (9.2)

и релятивистским импульсом, равным в соответствии с (3.12), (9.2), (8.2) и (8.5)

. (9.3)

Используя формулы (9.1)-(9.3) в законах сохранения энергии и импульса применительно к упругому соударению фотона и электрона, Комптон смог объяснить закономерности наблюдавшегося им эффекта.

Этот эксперимент и ряд других доказали, что свет наряду с волновыми свойствами, проявляющимися, например, в явлениях интерференции и дифракции, обладает и корпускулярными свойствами: он как бы состоит из частиц - фотонов. Такая двойственность природы света получила название корпускулярно-волнового дуализма света. Дуализм содержится уже в формулах (9.1) и (9.3): и , не позволяющих выбрать одну из двух концепций (корпускулярную или волновую, то есть континуальную) для описания свойств света. Энергияи импульсp - характеристики частицы, частота и длина волны- характеристики волны. Возникло формальное противоречие: для объяснения одних явлений нужно было считать, что свет имеет волновую природу, а для объяснения других - корпускулярную. Разрешение этого противоречия и привело к созданию физических основ квантовой механики.

В 1924 г. Л. де Бройль (Нобелевская премия 1929 г.) выдвинул гипотезу о том, что корпускулярно-волновой дуализм присущ не только свету (электромагнитному излучению), но и вообще всей материи. Согласно де Бройлю, каждой частице независимо от ее природы следует поставить в соответствие волну, длина которой связана с импульсомp частицы соотношением, аналогичным соотношению (9.3):

. (9.4)

Эта формула была названа формулой де Бройля, а волны, соответствующие частицам, - волнами де Бройля.

Почему мы не замечаем наличия волновых свойств у окружающих нас макроскопических предметов? Для ответа на этот вопрос рассмотрим очень маленький макрообъект - пылинку массой m=1нг=10^-12 кг, движущуюся с малой скоростью 0.001 мм/с=10^-6 м/с. Её импульс 10^-18 кг·м/с, а длина волны де Бройля, как следует из формулы (9.4), равна 6.63·10^-16 м, что намного меньше размеров атома (~10^-10 м). Увеличение массы или скорости тела ведет к дальнейшему уменьшению длины волны де Бройля. Итак, для макрообъектов длина волны де Бройля чрезвычайно мала, обнаружить волновые свойства таких объектов практически невозможно, и их можно не учитывать. Рассмотрим теперь микрообъект, например электрон массой m=9.1·10^-31 кг, движущийся с обычной для электрона скоростью 10⁶ м/с. Для него длина волны де Бройля 7·10^-10 м, что соизмеримо с размерами атома или межатомным расстоянием в молекуле или в кристаллической решетке. Поэтому при изучении движения микрообъектов – элементарных частиц в атомах, атомных ядрах, молекулах, в кристаллической решетке волновые свойства учитывать необходимо.

То, что не только фотоны, но и все «обыкновенные» частицы (электроны, протоны и др.) обладают волновыми свойствами, должно, в частности, проявляться в дифракции частиц. В 1927 г. К. Дэвиссон и Л. Джермер (амер., Нобелевская премия 1937 г.) впервые наблюдали дифракцию электронов, использовав в качестве дифракционной решетки кристаллическую решетку металла (никеля). Позднее волновые свойства были обнаружены и у других частиц. Справедливость гипотезы де Бройля и формулы (9.4) была убедительно подтверждена множеством экспериментов.

Наличие у микрочастиц волновых свойств делает невозможным применение в микромире многих понятий классической физики. Так, в классической механике состояние частицы характеризуют ее координаты и ее импульс или скорость (см. подраздел 5.2). При этом считается очевидным, что координаты частицы и ее импульс могут быть в принципе определены одновременно сколь угодно точно. Оказывается, что для микрочастиц это неверно: координаты частицы и соответствующие проекции ее импульсане могут одновременно иметь определенные значения. Чтобы понять это парадоксальное утверждение, рассмотрим мысленный эксперимент Гейзенберга, схема которого представлена на рисунке 9.1.

Рисунок 9.1 - Схема мысленного эксперимента к выводу соотношения неопределенностей.

Пусть поток частиц с импульсами движется перпендикулярно осиOX. Тогда проекция на ось OX импульса каждой частицы вполне определена: 0, но координатаx отдельно взятой частицы может иметь произвольное значение: (полная неопределенность координаты). Совместим с осьюOX экран с щелью шириной (щель перпендикулярна плоскости рисунка 9.1). При прохождении частицы сквозь щель неопределенность координатыx частицы уменьшается от бесконечности до , но вследствие дифракции (огибания краев препятствия частицами из-за наличия у них волновых свойств) направление движения отдельно взятой частицы становится неопределенным и возникает неопределенность проекции импульса. Найдя по формуле (9.4) длину волны, соответствующей частице, с помощью теории волн можно определить угол дифракциии показать, что неопределенности координатыи проекции импульсачастицы связаны соотношением

.

Более строгий расчет приводит к соотношению

, (9.5)

где =1.05·10^-34 Дж·с - постоянная Планка, деленная на .

Соотношение (9.5) было получено в 1927 г. В. Гейзенбергом (Нобелевская премия 1932 г.) и называется соотношением неопределенностей Гейзенберга.

Из (9.5) следует, что повышение точности определения координаты x частицы, то есть уменьшение неопределенности координаты , с неизбежностью ведет к увеличению неопределенности проекции импульса, то есть уменьшению точности определения проекции импульсаи наоборот. Одновременно точно определитьx и нельзя, так как при этом и, и, и неравенство (9.5) нарушается.

Аналогичное (9.5) соотношение существует для координат y и z и соответствующих проекций импульса и. Кроме того, оказывается, что нельзя точно определить энергиюE частицы в каком-либо состоянии и при этом точно знать время пребывания частицы в этом состоянии. Неопределенности этих величин также связаны соотношением неопределенностей

. (9.6)

Вышеописанный мысленный эксперимент и соотношение (9.5) убеждают нас в том, что принятый в классической механике способ описания состояния частицы путем задания ее координат и импульса принципиально неприменим к микрочастицам.

Соотношения неопределенностей Гейзенберга (9.5), (9.6) являются математическими выражениями одного из принципиальных положений квантовой механики - принципа дополнительности, сформулированного Н. Бором. Согласно этому принципу, получение экспериментальных данных об одних физических величинах, описывающих микрообъект (элементарную частицу, атом, молекулу), неизбежно связано с потерей информации о некоторых других величинах, дополнительных к первым. Такими взаимно дополнительными величинами, как следует из соотношений неопределенностей, являются, например, координаты частицы и ее импульс (или скорость), энергия некоторого состояния и время пребывания в этом состоянии. Другими парами взаимно дополнительных величин являются кинетическая и потенциальная энергии, напряженность электрического поля и число фотонов и др.

Принцип дополнительности пытались объяснить влиянием измерительного прибора, являющегося макроскопическим объектом, на состояние микрообъекта. Так, в вышеописанном мысленном эксперименте появление у частиц неопределенности импульса вызывалось помещением на их пути экрана с щелью. Отсюда следовал вывод, что неизбежное влияние наблюдателя и измерительных инструментов на исследуемый объект делает принципиально невозможным получение объективной информации об объекте.

Однако современная квантовая теория измерений считает принцип дополнительности не выражением невозможности получения полной информации об объекте, а отражением объективных свойств самих квантовых систем. То есть принцип дополнительности говорит не о технической невозможности одновременного измерения взаимно дополнительных величин, а о том, что у этих величин на самом деле нет одновременно определенных значений.

Где проходит граница между классической механикой и механикой, учитывающей волновые свойства частиц? Волновые свойства частиц необходимо учитывать, если длина волны, соответствующей частице, соизмерима с размерами системы, структуры, в которой находится данная частица. Учет волновых свойств совершенно необходим при изучении движения электронов в атомах, молекулах и в кристаллической решетке, движения протонов и нейтронов в ядрах, при решении других задач, относящихся к физике микромира. В то же время, при изучении движения микрочастиц в макроскопических системах зачастую, как, например, при изучении движения электронов в электронно-лучевой трубке (кинескопе), волновые свойства частиц роли не играют, и они могут рассматриваться как материальные точки.

Раздел физики, изучающий движение и взаимодействие частиц с учетом их волновых свойств, называется квантовой механикой. Квантовая механика – механика микромира.

Квантовая механика подразделяется на нерелятивистскую, изучающую движения частиц со скоростями, много меньшими скорости света, и релятивистскую, изучающую движения с околосветовыми скоростями.

Квантовая механика не отрицает классическую механику, но ограничивает область ее применения. Как требует принцип соответствия (см. подраздел 3.2), эта новая теория включает в себя старую как предельный случай. Результаты квантовой механики совпадают с классическими, если длина волны де Бройля, соответствующей рассматриваемому телу, пренебрежимо мала (). Объектом изучения классической механики остались движения макроскопических тел со сравнительно малыми скоростями.

2. . Вероятностный характер движения микрочастиц.

Волновая функция и ее статистический смысл.

Принцип суперпозиции в квантовой механике

Важнейшим для понимания сути квантовой механики является вопрос об описании состояния микрочастиц. Способ описания состояния частицы, принятый в классической механике и заключающийся в задании координат и импульса (или скорости) частицы, в данном случае не годится, поскольку не учитывает волновые свойства микрочастицы. Решение данной проблемы связано с выяснением физического смысла волн де Бройля.

Рассмотрим мысленный эксперимент по распространению света (рисунок 9.2), то есть потока фотонов - частиц, сочетающих в себе корпускулярные и волновые свойства. Пусть на пути светового пучка находится полупрозрачная пластинка, отражающая, например, 30% и пропускающая 70% световой энергии.

Рисунок 9.2 - Прохождение света через полупрозрачную пластинку.

Что происходит с фотонами при попадании на пластинку? Отдельный фотон не может отразиться на 30%, а на 70% пройти сквозь пластинку. Не может он и разделиться на два фотона: «отраженный», забирающий 30% энергии, и «прошедший», обладающий 70% энергии падающего фотона. Разделение фотона невозможно, так как энергии и«отраженного» и «прошедшего» фотонов, а, стало быть, частоты и длины волн отраженного и прошедшего света будут иными, чем у падающего, чего в действительности нет. Итак, фотон либо полностью отражается, либо полностью проходит. Зная коэффициент отражения пластинки, приходим к заключению, что 30% падающих фотонов отражаются, а 70% проходят сквозь пластинку. Получается парадоксальный с точки зрения классической механики результат: совершенно одинаковые частицы в одинаковых условиях ведут себя по-разному: либо отражаются, либо проходят сквозь пластинку. Мы приходим к важнейшему для понимания сути квантовой механики выводу: движение микрочастиц не имеет строго предопределенного, детерминированного характера, оно, напротив, имеет вероятностный характер. Так, в рассмотренном примере, если говорить об одном отдельно взятом фотоне, то заранее предсказать, отразится он от пластинки или пройдет сквозь нее, невозможно. Однако можно сказать, что вероятность отражения составляет 30%, а прохождения - 70%.

Анализ вышеописанного мысленного эксперимента и других, в том

числе реальных, экспериментов по дифракции, интерференции микрочастиц ведет к следующему статистическому (вероятностному) истолкованию физической природы волн де Бройля. Волна де Бройля является «волной вероятности» в том смысле, что ее интенсивность в каждой точке пространства является мерой вероятности обнаружения частицы в данной точке. Интенсивность же волны, как известно из теории волн, пропорциональна квадрату ее амплитуды.

В квантовой механике для описания состояния частицы используется так называемая волновая функция или-функция («пси-функция»). При этом определение дается не самой волновой функции, а квадрату ее модуля. Это делается следующим образом. Обозначим черезdP вероятность того, что частица в момент времени t находится в бесконечно малом (элементарном) объеме dV пространства, окружающем точку с координатами . Квадрат модуля-функции по определению есть отношение вероятности к объему, то есть плотность вероятностинахождения частицы в объемеdV:

. (9.7)

Из (9.7) следует, что вероятность равна произведению объемаdV на квадрат модуля волновой функции:

. (9.8)

Такое статистическое толкование волновой функции, предложенное в 1926 г. М. Борном (Германия - Англия, Нобелевская премия 1954 г.) лежит в основе квантовомеханического описания состояния микрочастиц.

Итак, дать квантовомеханическое описание состояния частицы означает определить ее волновую функцию, описывающую с помощью соотношения (9.8) вероятность нахождения частицы в каждом элементарном объеме пространства. Такое описание принципиально отличается от классического своим вероятностным характером.

В силу этого теряет смысл классическое определение траектории как совокупности точек пространства, проходимых частицей при ее движении. В квантовой механике под траекторией понимают совокупность точек, в которых вероятность нахождения частицы максимальна.

Принцип механического детерминизма и вообще механистическая парадигма в квантовой механике неприменимы. Представление о мире, как огромном механизме, каждая «деталь» которого движется по строго предопределенной траектории, в котором нет места случайностям, флуктуациям, явлениям вероятностного характера, было поколеблено статистической физикой и окончательно отвергнуто квантовой механикой. Движение (развитие) в системах из большого числа частиц, изучаемое статистической физикой, и движение в микромире, изучаемое квантовой механикой, имеют вероятностный характер, но подчиняются статистическим закономерностям.

Выражением этих закономерностей является открытое в 1926 г. Э. Шрёдингером (Нобелевская премия 1933 г.) уравнение для расчета волновой функции микрочастицы, движущейся во внешнем силовом поле:

, (9.9)

где - мнимая единица,m - масса частицы, - традиционное для квантовой физики обозначение потенциальной энергии частицы в точке с координатамив моментt, - оператор Лапласа.

Уравнение Шрёдингера (9.9) применимо для расчета волновых функций частиц, движущихся гораздо медленнее света, поэтому является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики. В 1928 г. П. Дирак (Нобелевская премия 1933 г.) предложил другое уравнение, описывающее движение микрочастиц с околосветовыми скоростями и являющееся основным уравнением релятивистской квантовой механики.

Подчеркнем, что уравнения Шрёдингера и Дирака, подобно законам Ньютона, отражают базовые, основные закономерности природы, не сводящиеся к каким-то еще более основным. Поэтому уравнения Шредингера и Дирака, как и законы Ньютона, были именно открыты, а не выведены из других уравнений и законов. Справедливость этих уравнений доказывается проверкой на опыте выводов и результатов, следующих из этих уравнений.

Если известна волновая функция частицы, то по несложным правилам, установленным в квантовой механике, могут быть найдены основные механические характеристики ее движения: импульс, момент импульса, кинетическая и потенциальная энергия.

Во многих случаях уравнение (9.9) имеет не единственное решение, а несколько или даже бесконечно много решений, то есть имеется несколько (бесконечно много) различных -функций, удовлетворяющих уравнению (9.9). Это означает, что частица может находиться не в одном, а в различных состояниях, каждому из которых соответствует своя волновая функция, гдеn - номер состояния.

В квантовой механике важную роль играет принцип суперпозиции (см. подраздел 5.2). Но если в классической физике принцип суперпозиции выполняется только при определенных условиях, то в квантовой физике - это фундаментальный принцип, один из основных постулатов, определяющих вместе с принципом неопределенности всю структуру теории. Принцип суперпозиции в квантовой физике гласит: если квантовомеханическая система может находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями , то она может также находиться и в состоянии, описываемом волновой функцией

, (9.10)

где - не зависящие от координат числа, квадрат модуля каждого из которых равен вероятности обнаружить в эксперименте частицу в состоянии с номером 1, 2 и так далее, соответственно.