§8. Умножение векторов

Векторы можно умножать скалярно и векторно. Скалярным произведением двух ненулевых векторов иназывается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

(8.1).

Эту формулу можно записать в виде

.

Скалярное произведение имеет следующие свойства:

1. - переместительный закон.

2. - распределительный закон

3. 

4. , отсюда

5. Если , то- условие перпендикулярности векторови

6. ,- вектор силы,- вектор перемещения,- работа силы.

Если изаданы в прямоугольной системе координат, то(8.2).

Упорядоченная тройка векторов называется правой, если кратчайший поворот от векторак векторуиз конца векторавиден совершающимся против часовой стрелки. Рис.7.

Рис. 7.

Векторным произведением вектора на векторназывается третий вектор, длина которого равна, он перпендикулярен векторамии направлен в ту сторону, что векторыиобразуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается .

Векторное произведение имеет следующие свойства:

1. 

2. 

3. 

4. Если , то

5. , где- площадь параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.

Если векторы изаданы в прямоугольной системе координат:и, то:

(8.3).

Если вектор силы, приложенной в точке, арадиус-вектор точки, то момент силы, относительно начала координатравен:

.

Смешанным произведением трех векторов иназывается их векторно-скалярное произведение. Обозначается.

Если заданы координаты векторов в прямоугольной системе координат, то их смешанное произведение вычисляется по формуле:

(8.4).

Свойствасмешанного произведения векторов:

1. - условие компланарности векторов;

2. - объем параллелепипеда, построенного на векторах, как на сторонах;

3. - циклическая перестановка сомножителей не меняет величины смешанного произведения;

4. 

Пример 11.Даны вершины пирамиды. Найти 1) угол между реброми гранью; 2) площадь грани; 3) объем пирамиды; 4) длину высоты, опущенной из вершинына грань.

Решение. Вычислим координаты вектора :

.

Угол между реброми граньюявляется дополнительным углом для угла, образованного перпендикуляром, проведенным к плоскости треугольникаи ребром.. Для нахождениявычислим координаты векторного произведения векторови:

;

.

.

;

.

1. Площадь грани равна половине площади параллелограмма, построенного на сторонахи, т.е.

.

2. Объем пирамиды равен одной трети от объема параллелепипеда,

построенного на ребрах и. Следовательно

.

3. Длина высоты определяется из формулы:

;.

Ответ: ;;;.

§9. Комплексные числа

Комплексным числом называется выражение

(9.1),

где и- действительные числа;- мнимая единица, определяемая равенством

или(9.2).

Число называют действительной частью комплексного числаи обозначают;- мнимая часть комплексного числа. Ее обозначают. Если, то числоназывают чисто мнимым, если, то число, есть действительное число.

Два комплексных числа иназывают комплексно сопряженными числами.

Два комплексных числа исчитаются равными, еслии. Комплексное число, еслии. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

Иногда комплексное число удобнее изображать в виде вектора, соединяющего точкус точкой. Длина этого вектора называется модулем комплексного числаи обозначается.

.

Угол между осьюи вектором, отсчитанный против часовой стрелки, называется аргументом комплексного числаи обозначается.

Аргумент числа определяется с точностью до слагаемого, где- целое число. Главное значение аргумента числа- значение аргумента, удовлетворяющее неравенству. Главное значение аргумента комплексного числаобозначается через:.

Запись числа в виденазывают алгебраической формой записи комплексного числа.

Сумма, разность комплексных чисел и умножение определяется так же, как действия над соответствующими векторами.

Суммой комплексных чисел иназывается комплексное число

(9.3).

Разностью комплексных чисел иназывается комплексное число

(9.4).

Произведение комплексного числа на действительное числоназывается комплексное число.

Произведение двух комплексных чисел и, записанных в алгебраической форме определяется как произведение двучленов:

(9.5).

Произведением двух комплексно сопряженных чисел служит действительное число

(9.6).

Деление комплексных чисел определяется, как действие обратное умножению. Частное двух комплексных чисел иопределяется следующим образом:

(9.7).

Наряду с прямоугольной системой координат введем полярную систему, начало которой совпадает с началом прямоугольной системы, а полярная ось – с положительным направлением оси. Рис. 8.

Рис. 8.

Из Рис.8 следует, что:

.

Подставляя ив алгебраическую форму комплексного числа, получим

(9.8).

Выражение (9.8) называют тригонометрической формой записи комплексного числа , где.

Пусть даны два комплексных числа и. Записанные в тригонометрической форме:

.

Тогда .

(9.9).

Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются; при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Если - целое положительное число, то из (9.9) следует:

(9.10).

Корнем -й степени из комплексного числаназывается такое комплексное число,-я степень которого равна, т.е..

Корень -й степени изобозначается.

Если , торавен:

(9.11).

Подставляя в (9.11) значения получим ровноразличных корней-й степени из.

Пример 12.Дано комплексное число.

Записать число в алгебраической и тригонометрической формах. Найти все корни уравнения.

Решение. Запишем число в алгебраической форме:

.

Найдем :.

Вычислим . Тригонометрическая форма записи комплексного числаимеет вид:

.

Вычислим :

при

при

при

Кроме алгебраической и тригонометрической форм записи комплексного числа , применяется более короткая, так называемая показательная форма комплексного числа, согласно которой

.

Пусть и, тогда:

.