§ 3. Матрицы и определители

Матрицей порядка называют таблицу чисел, состоящую из- строк и- столбцов.

Числа, входящие в состав матрицы, называют элементами матрицы. Для обозначения матрицы используют заглавные буквы латинского алфавита . Элементы матрицыобозначают, гдеиназывают индексами элемента. Первый индексопределяет номер строки, индекс- определяет номер столбца матрицы. Если число строк матрицыравно числу столбцов, то матрицу называют квадратной. Если матрица состоит из одной строки, ее называют матрица-строка, если матрица состоит из одного столбца, то ее называют матрицей-столбцом. Если у квадратной матрицы элементыпри, то матрицу называют диагональной. Если у диагональной матрицы все элементы, то матрицу называют единичной матрицей. Единичную матрицу обозначают буквой. Например:

.

Матрицы одинакового порядка можно складывать и вычитать.

Суммой двух матриц иодинакового порядка называют матрицутого же порядка, элементы которой вычисляют по правилу

(3.1).

Аналогично определяют разность матриц.

Пример 5.Найти сумму и разность матрици.

.

.

.

Произведением матрицы на числоназывают матрицу, элементы которой вычисляют по формуле

(3.2).

Пример 6.Матрицуумножить на.

Решение. .

Произведением двух матриц порядкаипорядканазывают матрицупорядка, элементы которой определяют по формуле:

(3.3).

Замечание 1. Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором. В частности, умножение всегда выполнимо, если оба сомножителя — квадратные матрицы одного и того же порядка.

Пример 7.Найти произведение матрици, если

.

Решение.

Квадратная матрица порядканазывается обратной матрицей матрицыпорядка, если.

Замечание 2.Произведение матриц не обладает свойством коммутативности, то есть в общем случае:

.

Если , то матрицы называют коммутативными.

Замечание 3.Для обратных матриц справедливо равенство.

Обратную матрицу принято обозначать .

§ 4. Определители произвольного порядка

Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие определенное число, называемое ее определителем и обозначаемое символомили в развернутом виде:

.

Числа называют элементами определителя.

Минором элемента называется определитель, полученный из исходного, путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент. Минор элементаобозначается.

Определителем порядка называют сумму произведений элементов первой строки на их соответствующие миноры

(4.1).

Величину называют алгебраическим дополнением элемента. Справедливо равенство

(4.2).

Равенство (4.2) называют разложением определителя по -ому столбцу или по-ой строке.

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю. В противном случае матрица называется вырожденной.

Справедливо утверждение: всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу.

Обратную матрицу находят по формуле: , где- алгебраические дополнения элементовматрицы, причем алгебраические дополнения элементов строки матрицызаписываются в соответствующий столбец матрицы.

Пример 8.Найти обратную матрицуматрицыи сделать проверку.

Решение. Вычислим определитель матрицы :

.

Найдем алгебраические дополнения:

Запишем обратную матрицу:

.

Сделаем проверку. Найдем .