Вопрос 3

Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Абсолютной величиной или модулем называется сама величина независимо от ее знака =а.

1 Бесконечно малой величиной α называется переменная величина, которая при своем изменении становится и остается по абсолютному значению меньше любого наперед заданного числа ɛ, как бы мало оно не было. = ɛ.

2. Пределом переменной величины х называется постоянная величина а, к которой в процессе изменения величина х приближается так, что разность между ними α=х-а по абсолютному значению становится и остается величиной бесконечно малой, т.е. < ɛ . Предел

Теорема о единственности предела.Числовая последовательность может иметь только один предел. Если последовательность сходится, то она имеет только один предел.Доказательство. Предположим противное, т.е. что сходящаяся последовательность {x_n} имеет два предела a ≠ b. Тогда.Так как числовая последовательность имеет второй предел, то .Пусть N = max{N₁, N₂ }, тогда при всех n > N имеем .

И, поскольку ε является как угодно малым положительным числом, как единственно возможное, имеем

a = b.

Вопрос 4

О п р е д е ле н и е: Производной y ' =f ' (x) данной функции y=f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен.

Таким образом, илиПроцесс нахождения y ' называется дифференцированием.

Геометрический смысл производной. Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке. Физический смысл производной. Если функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами, то производная – скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке. Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t, то ее производная – скорость в момент времени.

Вопрос 5

Из уравнения = можно записать равнство: → y '+β, где β- некоторая величина, β→0. При ∆х→0, → y '. Преобразуем это выражение: ∆у= y '∆х+β∆х. Приращение функции ∆у состоит из двух слагаемых: слагаемое y '∆х называется главной частью приращения функции у = f(х) или дифференциалом функции. Дифференциал функции равен произведению производной функции на приращение аргумента: dу= y '∆х (1формула). Дифференциалом аргумента называется приращение аргумента dу= ∆х. Тогда, учитывая формулу 1 можно записать dу= y 'dх. Геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной к кривой в этой точке при изменении абсциссы точки на dx.

Вопрос 6

Применение производной к исследованию функций

Достаточное условие возрастания функции

Если в каждой точке интервала (a, b) f'(x)>0, то функция f(x) возрастает на этом интервале.

Достаточное условие убывания функции.

Если в каждой точке интервала (a, b) f'(x)<0, то функция f(x) убывает на этом интервале.

Определение:

x0 называется критической точкой функции f(x), если

1) x0 – внутренняя точка области определения f(x) ;

2) f'(x0)=0 или f'(x0) не существует.

Необходимое условие экстремума:

Если x0– точка экстремума функции f(x), то эта точка является критической точкой данной функции. (f’(x0)=0.), т.е. точки максимума или минимума имеют производную равную 0

Достаточное условие экстремума:

Если производная при переходе через точку x0 меняет свой знак с плюса на минус, то x0 - точка максимума.

Если производная при переходе через точку x0 меняет свой знак с минуса на плюс, то x0 - точка минимума.