5. Изоморфизм и изометрия сепарабельных гильбертовых пространств. Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве. Теорема Рисса-Фишера.

Рассмотрим сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство H, и пусть – полная ортонормальная система векторов в этом пространстве. Если х – некоторый элемент из H, то этому элементу можно сопоставить в соответствие последовательность чисел , являющихся коэффициентами Фурье векторах по системе .

Как было показано в п.5 гл.6, ряд сходится, и, следовательно, последовательностьможно рассматривать как некоторый элементгильбертова пространства. Таким образом, каждому элементусоответствует некоторый элемент, причём в силу условия полноты системы

. (1)

Далее очевидно, что если соответствуетисоответствует, тоиx соответствует и, где – вещественное число. Отсюда и из (1) следует:

. (2)

Пусть теперь – произвольный элемент из . Рассмотрим вH элементы ,. Имеем, и потомупри.

Таким образом, последовательность фундаментальна. В силу полнотыH она сходится в смысле метрики пространства H к некоторому элементу этого пространства. Так как, то коэффициенты Фурье элементаz по ортонормальной системе есть числа. Таким образом, каждый элементсоответствует некоторому элементу. Тем самым, мы установили взаимно однозначное соответствие между элементами пространствH и . Формула (2) показывает, что это соответствие междуH и является изометрией. Учитывая ранее сказанное относительно сохранения операций сложения и умножения на число при рассматриваемом соответствии, получаем, чтоH и изометрически изоморфны. Таким образом, нами доказаны следующая теорема.

Теорема 9. Всякое (вещественное) сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство изометрично и изоморфно (вещественному) пространству и, следовательно, все вещественные сепарабельные гильбертовы пространства изометричны и изоморфны между собой.

Следствие. Вещественные пространства иизометричны и изоморфны.

Найдём общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве.

Рассмотрим в гильбертовом пространстве H два элемента, x и y, и скалярное произведение этих элементов . Если мы зафиксируем вектор y и будем менять вектор x, то получим некоторый функционал , определённый на H: .

Из аддитивности и непрерывности скалярного произведения следует, что – линейный функционал в H. Выбирая различные , мы будем получать различные линейные функционалы . Покажем, что таким образом мы получим все линейные функционалы.

Теорема 10 (Рисса-Фишера). Всякий линейный функционал , определённый на гильбертовом пространстве H, имеет вид

, (3)

где элемент однозначно определяется функционаломf. При этом .

Доказательство. Рассмотрим подпространство , определяемое уравнением (ядро функционала). Замкнутость N следует из непрерывности функционала .

Если , т. е. тождественно равен нулю, мы можем написать , и в этом случае равенство (3) доказано.

Пусть теперь ; возьмём , и обозначим через проекцию элемента на ортогональное дополнение М подпространства N. Пусть (ясно, что  0). Тогда, полагая , будем иметь .

Возьмём любой элемент , и пусть . Имеем , откуда , т. е. . Поэтому любой вектор имеет вид

, (4)

т. е. H есть ортогональная сумма подпространства N и одномерного подпространства M, порождаемого элементом . Из равенства (4), умножая скалярно на , получаем (y₁N^ = M, z N), или

.

Обозначая через , будем иметь , и равенство (3) доказано.

Если, теперь при всех верно равенство для некоторого другого элемента , то или при любом . В частности полагая , получим , т. е. и однозначность представления линейного функционала в виде скалярного произведения доказана.

Из неравенства Коши-Буняковского при , получим , поэтому и

. (5)

С другой стороны, если , то мы будем иметь

,

и так как , то

. (6)

Из сравнения (5) и (6) следует, что , и теорема полностью доказана.

Как частные случаи этой теоремы, получаем

а) Всякий линейный функционал в L₂[a, b] имеет вид

,

где также принадлежит L₂[a, b], причём

.

б) Всякий линейный функционал в имеет вид

,

где , причём .