2. Сопряженные пространства

Пусть Е — нормированное пространство. Совокупность всех ограниченных функционалов обозначается через Е* и называется сопряженным про­странством к Е. Поскольку линей­ный функционал f : Е  R можно рассматривать как ли­нейный оператор, действующий из Е в R, то сопряженное пространство Е* совпадает с пространством ограничен­ных операторов L(Е, R). Следовательно, по доказанному ранее, Е* — банахово пространство.

Пример 5. Сопряженное пространство к R_n. Докажем, что сопряженное пространство (R_n)* к евклидовому пространству R_n изометрично самому пространству R_n.

Рассмотрим стандартный базис {е_j} пространства R_n, т. е. e_j = {e_ij}, где e_ij = 0, если i  j, и е_ii = 1. Для произвольного вектора х = (x₁, …, x_n)  R_n и для произвольного функционала f  (R_n)* имеем равенства: ,. Полагая далееу = (у₁, ..., у_n), где y_i = f (e_i), и применяя нера­венство Гельдера, получим неравенство:

.

Если взять вектор х с координатами х_i = у_i/||у||, то это нера­венство превращается в равенство | f (х)| = ||у||. Следовательно, норма || f || = ||у|| и значит отображение, при котором каждому функционалу f  (R_n)* соответствует вектор у  R_n с координа­тами y_i = f (e_i), является изометричным.

Пример 6. Сопряженное пространство с*. Пространство, обозначаемое через с, состоит из всех сходящихся последова­тельностей х = {х_i}, где х_i R, i = 1, 2, …, и имеет норму ||x|| = |x_i|. Покажем, что каждый функционал f с* имеет вид

.

Отсюда видно, что сопряженное пространство с* изометрично пространству l₁ абсолютно суммируемых последовательностей y = {y_i} с нормой ||y|| = .

Пусть векторы е_i из примера 5, а вектор e = {1, 1, ...}. Обозначая предел через х₀ = для произвольного векторах = {x_i}  с имеем

.

Следовательно, ряд сходится по норме пространства с. Далее, используя линейность и непрерывность функционала f с*, мы получим

Пусть  = f (е) и y_i = f(e_i). Если в этой формуле вектор x имеет координаты x_i = sgny_i при i  n и х_i, = 0 при i > n, то ||x||  1 и значит при всех n

Таким образом, ряд y₀ =  – сходится абсолютно и фор­мула принимает следующий вид:

.

Отсюда легко вытекает, что норма || f ||  Если в указанной формуле положитьх_i = sgny_i, при i = 1,2,..., n и x_i = sgny₀ при i > n, то ||x|| = 1 и при всех n будет справедливо неравенство

.

Устремляя n  , получаем равенство .

Сопряженное пространство Е* является банаховым пространством. Поэтому можно рассматривать второе сопряженное пространство Е** = (Е*)*, состоящее из всех ограниченных функционалов на сопряженном про­странстве Е*. Как и всякое сопряженное пространство оно является банаховым пространством.

Отображение J: Е  Е** нормированного пространства во второе сопряженное пространство, заданное по фор­муле J(x) = _x, где действие линейного функционала _x  Е** для всех f Е* определено равенством _x(f ) = f (x), называется отображением двойственности. Далее мы будем обозначать через S* замкнутый единичный шар в Е*.

Введем еще одно полезное понятие. Отображение i: Y  Х топологических пространств Y, Х называется вложением Y в Х, если: 1) i непрерывно; 2) i: Y  i(Y) – гомеоморфизм, где i(Y)  Х – подпространство в Х, являющееся образом Y при гомеоморфизме i.

Теорема 3 (двойственности). Отображение J явля­ется изометричным вложением пространства Е во второе сопряженное пространство Е**.

Доказательство. По определению отображения J каж­дому вектору х  Е соответствует функционал _x, опре­деленный на сопряженном пространстве Е* по формуле _x(f ) = f (x) при всех f Е*. Легко проверить, что функ­ционал _x является линейным:

_x (f + g ) = (f + g)(x) = f (x) + g(x) = _x(f ) + _x(g), _x (f ) =  f (x) = _x(f ).

Для того чтобы вычислить норму функционала, рассмотрим линейную оболочку L = span{x} вектора х и определим на ней линейный функционал по формуле l(х) = ||x|| при всех R. В силу следствия из теоремы Хана-Банаха этот функционал имеет продолжение h  Е* с нормой ||h|| = ||l||_L = 1. Так как _x(h ) = h(x) = l(x) = ||x||, |_x(f )|  ||x|| для всех f S*, то ||_x|| = ||x||. Следовательно, имеет ме­сто равенство ||J(x)|| = ||x|| при всех х Е. Таким образом, отображение J :Е → Е** изометрично.

Отображение двойственности J : Е  Е** называется также естественным вложением во второе сопряженное пространство. Каждый элемент х  Е можно отожде­ствить с ограниченным функционалом J(x) = _x Е** на сопряженном пространстве Е*.

Поэтому очень часто вводится симметричное обозначение для зна­чений функционала f(x) = (f, x), где х Е и f E*. Выра­жение вида (f, x) можно рассматривать как непрерывную билинейную форму на прямом произведении Е*Е.

В самом деле, линейность по f и по х следует из ее определения, а непрерывность вытекает из неравенств

|(f , x) – (g, y)|  |(f – g, x)| + |(g, x – y)|  ||f – g||||x|| +||g||||x – y||.

Эта двойственность между векторами и функционалами проявляется также в следующих формулах:

.

В случае, если образ вложения ImJ совпадает с пространством E** нормированное пространство Е называется рефлексивным.

Далее будут рассмотрены примеры сопряженных для конкретных банаховых пространств. Будет отмечена их рефлексивность или нерефлексиность.