4. Ядро оператора. Критерий ограниченности обратного оператора. Теоремы об обратном операторе

Если дан оператор то оператор, удовлетворяющий равенствам

В(Ах)=х для любого , (8)

А(Ву)=у для любого (9)

называется оператором, обратным к оператору А. Равен­ства (9) и (10) можно записать также в виде

(8*)

(9*)

где и– единичные операторы, действующие в прост­ранствахХ и Y соответственно. Оператор, обратный к А, обозначается символом А^-1.

Из общей теории отображений хорошо известно, что необходимым и достаточным условием существования обратного является биективность отображения, т.е. инъективность и сюрьективность. Оказывается для линейных операторов инъективность может быть описаны следующим образом. Пусть и N(A) = {xX: Ax = 0} – ядро оператора. В силу линейности нетрудно показать, что N(A) само является линейным многообразием. Из непрерывности оператора А легко следует, что это многообразие замкнуто, т.е. N(A) является подпространством Х. Справедлива лемма.

Лемма 4. Для того чтобы оператор А был инъективен необходимо и достаточно, чтобы N(A) = {0}.

Доказательство. Если оператор инъективен, то равенство очевидно. Покажем, что если N(A) = {0}, то оператор инъективен. Действительно, если Ах₁ = Ах₂, то Ах₁ - Ах₂ = А(х₁ – х₂) = 0 и (х₁ – х₂)N(A). Следовательно, х₁ – х₂ = 0, последнее и есть инъективность.

Если обратный оператор существует, то операторное уравнение

(10)

где у – известный элемент, х – искомый элемент, имеет решение при любой правой части и притом только одно. В самом деле, полагая мы будем иметь, что, т. е. что х₀, есть решение уравнения (10), и следовательно, решение существует. Если – другое решение того же уравнения, т.е. то, действуя на обе части этого равенства операторомА^-1, получим илиоткуда следует, что решение единственно. Ясно поэтому, что решение операторного уравнения (10) сводится к нахождению обратного оператора. Заметим, что обратный оператор может быть лишь один, так как еслиAB=BA =I и AB₁ =B₁А = I, то

Однако из непрерывности оператора А, вообще говоря, не следует непрерывность обратного оператора, т.е. оператор, обратный к линейному ограниченному, не обязан быть линейным ограниченным оператором.

Приведём несколько теорем, дающих достаточные условия существования обратного линейного ограниченного оператора.

Терема 6. Пусть линейный непрерывный оператор А, отображающий линейное нормированное пространство X на линейное нормированное пространство Y, удовлетворяет для любого условию

(11)

где m- некоторая константа. Тогда существует обратный линейный ограниченный оператор A^-1.

Доказательство. Из условия (11) следует, что оператор A инъективно отображает X на Y: если итои согласно (11)откудаПоэтому оператор А биективен, и следовательно, для него существует обратный линейный операторA^-1. Этот оператор ограничен, что следует из (11):

для любого Теорема доказана.

Нетрудно заметить, что утверждение обратимо, т.е. если существует ограниченный обратный, то неравенство (11) выполняется.

Бывают случаи, когда оператор, обратный к ограниченному линейному оператору, оказывается определённым не на всём пространстве , а лишь на некотором линейном многообразии, и неограниченным на этом многообразии. Точно так же операторы, обратные к неограниченному линейному оператору, определённому на некотором линейном многообразии, могут оказаться ограниченными линейными операторами, определёнными на всёмY. Приведём примеры, подтверждающие сказанное.

Пример 17. Пусть X = C[0, 1] и

Тогда А – ограниченный линейный оператор, но есть неограниченный оператор, определённый на линейном многообразии непрерывно дифференцируемых функций таких, что .

Пример 18. Пусть X = C[0, 1] и

– неограниченный оператор Штурма-Лиувилля, определённый на линейном многообразии дважды непрерывно дифференцируемых функций таких, что . Обратный оператор

где функция Грина, есть ограниченный линейный оператор, определенный на всём пространстве C[0, 1]

Возникает естественный вопрос: пусть линейный ограниченный оператор АL(X, Y) является биективным отображением. Тогда согласно общей теории отображений у него существует обратное отображение. Будет ли этот оператор линеен и ограничен?

Нетрудно показать, что оператор, обратный к линейному аддитивен и однороден. В самом деле, пусть . Имеем в силу аддитивностиA:

Отсюда , т.е.и аддитивность оператораA^-1 доказана. Аналогично устанавливается однородность оператора A^-1.

Ответ на второй вопрос дает следующая теорема.

Теорема 6 (Банаха об обратном операторе). Пусть линейный непрерывный оператор А является биективным отображением банахова пространство X на банахово пространство Y. Тогда оператор А имеет линейный ограниченный обратный оператор.

Доказательство. Для доказательства достаточно установить ограниченность обратного оператора А^-1. Обозначим через T_k = {yY: ||A^-1y||  k||y||}. Нетрудно видеть, что любой yY попадает в некоторое T_k, Последнее означает, что Y = _k T_k. В силу теоремы Бэра существует T_n, в котором содержится некий замкнутый шар S[y₀, r] пространства Y: S[y₀, r]  T_n.

Легко также проверяется, что T_k (в том числе и T_n) является линейным многообразием. Возьмем произвольный элемент yY. Тогда элемент z = ry/||y|| + y₀  S[y₀, r]  T_n. Так как y₀  T_n, а последнее множество является линейным многообразием, то и z – y₀ = ry/||y||  T_n. Последнее, опять же в силу линейности T_n, означает, что у T_n. Итак, мы установили, что произвольный элемент yY принадлежит T_n, что означает выполнение неравенства ||A^-1y||  n||y|| для любого yY. Этим доказана ограниченность оператора А^-1.