2. Конечномерные пространства. Конечномерность и компактность. Теорема Рисса о локальной компактности.

Пусть даны два линейных нормированных пространства Е₁ и Е₂. Мы будем называть эти пространства изоморфными, если существует взаимнонепрерывное (гомеоморфизм) биективное отображение Е₁ на Е₂. Имеет место следующая важная теорема:

Теорема 3. Все конечномерные линейные нормированные пространства данного числа измерений n изоморфны евклидову n-мерному пространству R_n и, следовательно, изоморфны друг другу.

Доказательство. Пусть Е есть n – мерное линейное нормированное пространство с нормой |||E|| и е₁,…,е_n - базис этого пространства. Тогда любой элемент однозначно представим в виде

x= ξ₁e₁+ …+ ξ_ne_n.

Поставим элементу в соответствие элемент

= (ξ₁, …, ξ_n) R_n

Очевидно, что таким образом установленное соответствие между элементами x и является взаимно однозначным. Кроме того, это соответствие есть изоморфизм линейных пространствЕ и R_n. Покажем, что оно взаимно непрерывно.

Для любого имеем

(1)

В частности,

, (2)

где β не зависит от x и y.

Установим теперь неравенство противоположного знака. На поверхности S единичного шара пространстваR_n (т.е. на компактном замкнутом множестве) рассмотрим функцию

Так как на S все ξ_i не могут одновременно обращаться в нуль, то в силу линейной независимости е₁,…,е_n имеем

.

Неравенство

показывает, что - непрерывная функция. По теореме Вейерштрасса эта функция достигает наS своего минимума α. Легко видеть, что α>0. Следовательно, для

откуда для любого имеем

(3)

Из (1) и (3) следует взаимная непрерывность отображения E на R_n. Теорема доказана.

Из гомеоморфизма E и R_n следует, что в конечномерном линейном нормированном пространстве сходимость по норме сводится к покоординатной сходимости и поэтому такое пространство всегда полное.

Для подпространства линейного нормированного пространства имеет место следующее важное предположение, установленное Ф. Риссом:

Теорема 4 (лемма Рисса о почти перпендикуляре). Пусть L – подпространство линейного нормированного пространства Е, несовпадающее с Е. Тогда для любого заданного ε > 0 найдётся в Е такой элемент y с нормой, равной единице, что

для всех xL.

Доказательство. Пусть y₀ – любой элемент из Е, не принадлежащий L, и

Тогда d > 0, так как иначе y₀ был бы предельным элементом для L и, следовательно, в силу замкнутости L, входил бы в L, что невозможно по условию. Далее

Положим .

Элемент (т.к. иначевходил бы вL) и Возьмём любой элемент. Пусть,L. Тогда

,

что и требовалось доказать.

Известно, что в n-мерном евклидовом пространстве всякое ограниченное множество компактно. Докажем, что компактность ограниченных множеств, есть характеристическое свойство конечномерных линейных нормированных пространств.

Теорема 5 (теорема Рисса о локальной компактности). Для того, чтобы подпространство L линейного нормированного подпространства Е было конечномерным, необходимо и достаточно, чтобы каждое ограниченное множество элементов из L было относительно компактно.

Необходимость. Пусть L n-мерно. Тогда L гомеоморфно n-мерному евклидову пространству R_n. Ограниченное множество взаимно однозначно и взаимно непрерывно преобразуется в ограниченное множество N R_n, и так как N в R_n относительно компактно, то M в L также относительно компактно.

Достаточность. Предположим, что каждое ограниченное множество элементов из L относительно компактно. Возьмем в L произвольный элемент x₁, . Обозначим черезподпространство, порожденное элементом. Если L =, то теорема доказана. Если жене совпадает с L, то по теореме 3. найдется в L элементтакой, чтои. Обозначим черезподпространство, порождаемое элементамии. Имеются 2 возможности: либо L =и теорема доказана, либоне совпадает с L. Тогда по той же теореме найдется элементтакой, чтои. Продолжим этот процесс. Тогда можно сделать 2 предположения: либо для некоторого n подпространствосовпадет с L и теорема будет доказана, либо мы построим бесконечную последовательностьтакую, чтоипридля любыхn и m,. Но вторая возможность отпадает, т.к. она означала бы существование ограниченного () множества, из которого нельзя выделить фундаментальную подпоследовательность (), что противоречит условию теоремы.