
- •Введение
- •Глава 1 топологические пространства
- •1. Понятие множества. Операции над множествами. Отображения. Характеристическая функция множества
- •2. Топология и топологическое пространство. База топологии
- •3. Структура открытых множеств и окрестности
- •4. Понятие метрического пространства и топологии, определяемой метрикой. Примеры метрических пространств
- •5. Операция замыкания множества в топологическом пространстве
- •6. Внутренние точки множества, внутренность. Граница множества
- •7. Сепарабельные топологические пространства
- •8. Индуцированные топологии и фактортопология
- •9. Непрерывное отображение. Гомеоморфизм
- •10. Компактные пространства
- •Глава 2 свойства метрических пространств
- •1. Сходящиеся последовательности в метрических пространствах и полные метрические пространства
- •2. Теорема о пополнении метрического пространства
- •3. Критерий полноты пространства
- •4. Компактные множества в метрическом пространстве. Теорема Хаусдорфа
- •5. Критерии компактности в пространствах с[0, 1], lp. Теорема Арцела
- •6. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении и сепарабельность с[0, 1]
- •7. Отображение компактных множеств. Теорема Вейерштраса об ограниченности и достижении точных граней непрерывной функцией
- •8. Принцип сжимающих отображений и его применение
- •9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра
- •Глава 3 мера и измеримые множества
- •1. Системы множеств
- •2. Системы множеств в евклидовом пространстве
- •3. Функция множеств
- •4. Мера и ее простейшие свойства. Мера в евклидовом пространстве
- •5. Внешняя мера
- •6. Измеримые множества
- •7. Мера Лебега на Rn
- •Глава 4 измеримые функции
- •1. Измеримые функции и их свойства
- •2. Сходимость почти всюду
- •3. Сходимость по мере и ее свойства
- •4. Сравнение сходимости почти всюду и по мере
- •5. Почти равномерная сходимость. Теоремы Егорова и Лузина
- •Глава 5 интеграл лебега
- •1. Интеграл Лебега для простых и ограниченных функций на пространстве с конечной мерой
- •2. Основные свойства интеграла от ограниченной функции
- •3. Определение интеграла Лебега в произвольном случае
- •4. Предельный переход под знаком интеграла
- •5. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •6. Заряды. Теорема Радона—Никодима
- •Глава 6 нормированные и гильбертовы пространства
- •2. Конечномерные пространства. Конечномерность и компактность. Теорема Рисса о локальной компактности.
- •3. Скалярное произведение. Гильбертово пространство. Аксиомы и свойства. Ортонормированные системы. Ортогонализация по Шмидту. Тождество параллелограмма.
- •4. Ортогональность и ортогональное дополнение
- •5. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. Коэффициенты Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Полные и замкнутые ортонормированные системы
- •Глава 7 линейные операторы в нормированных пространствах
- •2. Пространство линейных непрерывных операторов и его полнота относительно равномерной сходимости операторов
- •3. Принцип равномерной ограниченности и теорема Банаха-Штейнгауза. Полнота пространства операторов относительно поточечной сходимости
- •4. Ядро оператора. Критерий ограниченности обратного оператора. Теоремы об обратном операторе
- •5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - a) и (a - c).
- •6. График оператора и замкнутые операторы. Критерий замкнутости. Теорема Банаха о замкнутом графике. Теорема об открытом отображении
- •Xn(t)X(t) равномерно на [a, b],.
- •X'n(t) y(t) равномерно на [а, b].
- •Глава 8 линейные функционалы в нормированных пространствах
- •1. Линейные непрерывные функционалы. Продолжение по непрерывности. Теорема Хана-Банаха. Следствия из теоремы Хана-Банаха
- •2. Сопряженные пространства
- •3. Теорема Рисса об общем виде линейного функционала для пространства непрерывных функций
- •4. Пространства Лебега и сопряженные к ним
- •5. Изоморфизм и изометрия сепарабельных гильбертовых пространств. Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве. Теорема Рисса-Фишера.
- •6. Сопряженный оператор. Условия существования сопряженного оператора. Замкнутость сопряженного оператора. Сопряженный оператор к ограниченному оператору и его норма.
- •7. Самосопряженный оператор. Норма самосопряженного оператора
- •Глава 9 спектральная теория операторов
- •1. Вполне непрерывные операторы и их свойства. Операторы Фредгольма и Гильберта-Шмидта
- •2. Теорема Шаудера о полной непрерывности сопряженного оператора. Уравнения первого и второго рода с вполне непрерывными операторами. Теорема о замкнутости области значений оператора
- •3. Альтернативы Фредгольма. Теорема Шаудера о неподвижной точке.
- •Предметный указатель
4. Сравнение сходимости почти всюду и по мере
Рассмотрим вопрос о сравнении приведенных сходимостей последовательностей измеримых функций. Приведем пример.
Пример
1. Пусть
последовательность функций fn(x)
на
числовой
прямой задана равенством:
.
Нетрудно видеть, что эта последовательность
всюду сходится к единичной функции.
Вместе с тем{x
R:
|1 – fn(x)|
= (-,
-n)(n,
+)
>
½} =
и последовательность fn(x)
не
сходится по мере к единичной функции.
Таким образом, в общем случае из сходимости почти всюду не вытекает сходимость по мере. Однако критерий сходимости почти всюду позволяет легко установить следующую теорему.
Теорема 7 (Лебега). Если (Х) < и последовательность функций fn(x) f(x) почти всюду на X, то fn(x) f(x).
Может возникнуть вопрос: не эквивалентны ли понятия сходимости функциональных последовательностей по мере и почти всюду на множествах конечной меры? Следующий пример дает отрицательный ответ на этот вопрос.
Пример 2 (Рисса). Существует последовательность, сходящаяся по мере на отрезке [0, 1], но не сходящаяся почти всюду.
Для n = 0, 1,... и k = 0, 1,.. .2n – 1 положим
.
Геометрически эта последовательность строится по пачкам (по различным n).
Следующая 4 пачка
будет состоять уже из 8 функций, которые
будут принимать значения 1 на отрезках
длины 1/23.
Вообще n-ая
пачка будет состоять 2n
– 1 функций,
которые равны 1 на отрезке длины 1/2n
– 1, а в
остальных точках они нули. Ясно, что для
любого
> 0 (будем еще считать, что
< 1) и любой функции gn(x)
из n-ой
пачки выполняется равенство {x
[0, 1]: |gn(x)|
> }
= 1/2n
– 1. Это
означает, что построенная последовательность
функций
сходится по мере к нулевой функции.
Вместе с тем данная последовательность
не сходится к 0 ни в одной точке.
Действительно, не трудно видеть, что
для любой точких0
[0,
1] в каждой пачке найдется функция,
которая в этой точке обращается в 1.
Теорема
8 (теорема Рисса). Пусть
(X,
,
)
–пространство с -конечной
мерой и последовательность
fn(x)
f(x)
на
X.
Тогда
существует такая возрастающая
последовательность натуральных чисел
{nk},
что
f(x)
при п
почти
всюду на
X.
Доказательство. Сначала предположим, что (Х) < . Возьмем n0 = 1 и для k = 1, 2,... выберем натуральное пk > пk - 1 так, чтобы
.
В силу сходимости по мере такая последовательность индексов найдется.
Докажем,
что последовательность
f(x)
почти всюду на X.
Действительно,
если заданы
> 0 и
> 0,
то подберем m0
так, чтобы
и
.
Тогда
при т>т0
имеем
Применяя теорему 3, убеждаемся в справедливости доказываемого утверждения в случае конечной меры.
Пусть
теперь мера -конечна
на X,
т.
е. X
=
где
(Xn)
<
при n
= 1, 2,... Поскольку fn(x)
f(x)
на X,
для
любого i
последовательность fn(x)
f(x)
на Xi.
Согласно уже доказанному, можно
выделить подпоследовательность
f1,n(1)
f(x)
почти всюду на X1.
Поскольку эта подпоследовательность
по-прежнему сходится по мере на любом
Xi.,
из нее, в свою очередь, можно выделить
подпоследовательность f2,n(2)
f(x)
почти
всюду на X2.
Продолжая
этот процесс дальше, и рассматривая
диагональную последовательность {
fk,n(k)
}k=1,
видим, что для любого i
эта
последовательность сходится почти
всюду на Xi.,
т. е. почти всюду на X,
что
и требовалось доказать.