
- •Введение
- •Глава 1 топологические пространства
- •1. Понятие множества. Операции над множествами. Отображения. Характеристическая функция множества
- •2. Топология и топологическое пространство. База топологии
- •3. Структура открытых множеств и окрестности
- •4. Понятие метрического пространства и топологии, определяемой метрикой. Примеры метрических пространств
- •5. Операция замыкания множества в топологическом пространстве
- •6. Внутренние точки множества, внутренность. Граница множества
- •7. Сепарабельные топологические пространства
- •8. Индуцированные топологии и фактортопология
- •9. Непрерывное отображение. Гомеоморфизм
- •10. Компактные пространства
- •Глава 2 свойства метрических пространств
- •1. Сходящиеся последовательности в метрических пространствах и полные метрические пространства
- •2. Теорема о пополнении метрического пространства
- •3. Критерий полноты пространства
- •4. Компактные множества в метрическом пространстве. Теорема Хаусдорфа
- •5. Критерии компактности в пространствах с[0, 1], lp. Теорема Арцела
- •6. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении и сепарабельность с[0, 1]
- •7. Отображение компактных множеств. Теорема Вейерштраса об ограниченности и достижении точных граней непрерывной функцией
- •8. Принцип сжимающих отображений и его применение
- •9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра
- •Глава 3 мера и измеримые множества
- •1. Системы множеств
- •2. Системы множеств в евклидовом пространстве
- •3. Функция множеств
- •4. Мера и ее простейшие свойства. Мера в евклидовом пространстве
- •5. Внешняя мера
- •6. Измеримые множества
- •7. Мера Лебега на Rn
- •Глава 4 измеримые функции
- •1. Измеримые функции и их свойства
- •2. Сходимость почти всюду
- •3. Сходимость по мере и ее свойства
- •4. Сравнение сходимости почти всюду и по мере
- •5. Почти равномерная сходимость. Теоремы Егорова и Лузина
- •Глава 5 интеграл лебега
- •1. Интеграл Лебега для простых и ограниченных функций на пространстве с конечной мерой
- •2. Основные свойства интеграла от ограниченной функции
- •3. Определение интеграла Лебега в произвольном случае
- •4. Предельный переход под знаком интеграла
- •5. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •6. Заряды. Теорема Радона—Никодима
- •Глава 6 нормированные и гильбертовы пространства
- •2. Конечномерные пространства. Конечномерность и компактность. Теорема Рисса о локальной компактности.
- •3. Скалярное произведение. Гильбертово пространство. Аксиомы и свойства. Ортонормированные системы. Ортогонализация по Шмидту. Тождество параллелограмма.
- •4. Ортогональность и ортогональное дополнение
- •5. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. Коэффициенты Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Полные и замкнутые ортонормированные системы
- •Глава 7 линейные операторы в нормированных пространствах
- •2. Пространство линейных непрерывных операторов и его полнота относительно равномерной сходимости операторов
- •3. Принцип равномерной ограниченности и теорема Банаха-Штейнгауза. Полнота пространства операторов относительно поточечной сходимости
- •4. Ядро оператора. Критерий ограниченности обратного оператора. Теоремы об обратном операторе
- •5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - a) и (a - c).
- •6. График оператора и замкнутые операторы. Критерий замкнутости. Теорема Банаха о замкнутом графике. Теорема об открытом отображении
- •Xn(t)X(t) равномерно на [a, b],.
- •X'n(t) y(t) равномерно на [а, b].
- •Глава 8 линейные функционалы в нормированных пространствах
- •1. Линейные непрерывные функционалы. Продолжение по непрерывности. Теорема Хана-Банаха. Следствия из теоремы Хана-Банаха
- •2. Сопряженные пространства
- •3. Теорема Рисса об общем виде линейного функционала для пространства непрерывных функций
- •4. Пространства Лебега и сопряженные к ним
- •5. Изоморфизм и изометрия сепарабельных гильбертовых пространств. Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве. Теорема Рисса-Фишера.
- •6. Сопряженный оператор. Условия существования сопряженного оператора. Замкнутость сопряженного оператора. Сопряженный оператор к ограниченному оператору и его норма.
- •7. Самосопряженный оператор. Норма самосопряженного оператора
- •Глава 9 спектральная теория операторов
- •1. Вполне непрерывные операторы и их свойства. Операторы Фредгольма и Гильберта-Шмидта
- •2. Теорема Шаудера о полной непрерывности сопряженного оператора. Уравнения первого и второго рода с вполне непрерывными операторами. Теорема о замкнутости области значений оператора
- •3. Альтернативы Фредгольма. Теорема Шаудера о неподвижной точке.
- •Предметный указатель
Глава 1 топологические пространства
1. Понятие множества. Операции над множествами. Отображения. Характеристическая функция множества
Понятие множества изучалось студентами в курсе математического анализа. Здесь мы напомним основные понятия и термины из этой теории.
Понятие множества является настолько общим, что затруднительно дать для него формальное определение (т.е. сведение его к другим понятиям, более простым и более ясным).
Мы будем рассматривать
множества чисел, множества точек,
множество линий, множества функций и
т.д. Множества будем обозначать большими
буквами: A,
B, M, N и т.д.
Объекты, из которых состоит множество,
называются элементами множества, будем
обозначать их малыми буквами. Запись
(или
)
означает, чтоa
есть элемент множества A;
запись
означает, чтоa
не является
элементом множества A.
Запись
(или
)
означает, что каждый элемент множестваA является
элементом множества B;
в этом случае множество A
называют подмножеством множества B.
Если имеют место включения
,В
А,
то это означает, что множества A
и B
состоят из одних и тех же элементов и,
значит, совпадают друг с другом. Этот
факт записывается равенством A
= B. Существует
одно специальное множество, так называемое
пустое множество, которое не содержит
ни одного элемента. Пустое множество
обозначается символом .
Рассмотрим простейшие операции, которые можно производить над множествами: объединение, пересечение и дополнение.
Пусть дано семейство
множеств {A},
где индекс
пробегает некоторое множество Т.
Рассмотрим совокупность всех элементов,
каждый из которых принадлежит хотя бы
одному из множеств A.
Эта совокупность
есть новое множество, которое и называют
объединением множеств
A
и обозначается
.Отметим,
что если какой либо элемент входит в
несколько множеств, то в объединение
этих множеств он включается только один
раз. В соответствии с аксиомами теории
множеств пустое множество является
подмножеством любого множества.
Пусть снова дана
совокупность множеств {A}Т.
Множество, состоящее из тех и только
тех элементов, которые принадлежат
каждому из указанных множеств, называется
пересечением множеств
и обозначается
.
В случае, если для
,
,
Т
выполняется равенство АА
= ,
то объединение
называется дизъюнктным
и обозначается
.
Из определения
объединения и пересечения множеств
видно, что эти операции обладают свойством
коммутативности и ассоциативности.
Легко показать также, что имеет место
следующий закон дистрибутивности
=
.
Пусть даны множества
A
и B.
Элементы множества A,
не принадлежащие
B,
образуют множество, называемое разностью
множеств A
и B
и обозначаемое A
- B или A\B.
Нетрудно
видеть, что A\B=A\.
Введём ещё одно
понятие. Если B
есть
подмножество A,
то разность A\B
называют
дополнением множества
B
до множества A.
Отметим
очевидную формулу: если
,
то
.
Заметим, что для двух произвольных
множествA и
B эта формула
вообще неверна.
Из более сложных формул отметим следующие, которые часто будут встречаться.
Теорема (принцип
двойственности).
Пусть дана
система множеств Аα
и
множество Ω, причём Аα
.
Тогда
( - А) = - (А);
( - А) = - (А).
Отображением φ множества M1 в множество M2 (обозначение φ: M1M2) называется такой закон φ, при котором каждому элементу xM1 поставлен в соответствие один и только один элемент yM2, обозначаемый через φ(x) и называемый образом элемента x при отображении φ.
Совокупность всех тех элементов aM1, образом которых является данный элемент bM2, называется прообразом элемента b при отображении φ:M1M2 и обозначается через φ-1(b). Таким образом, φ-1(b) = {aM1: (a) = b}.
Пусть A - некоторое
подмножество из M1;
совокупность {φ(a): aA}
всех элементов вида φ(a), где aA,
называется образом
A и обозначается φ(A). В свою очередь, для
каждого множества BM2,
определяется его полный прообраз
φ-1(B),
как совокупность всех тех элементов из
M1,
образы которых принадлежат B, т.е. φ-1(B)
= {aM1:
(a)
В}
Напомним, что отображение φ множества M1 в множество M2 называется сюръекцией, если φ(M1) = M2.
Если для любых
двух различных элементов x1
и x2
из M1
их образы y1
= φ(x1)
и y2 =
φ(x2)
также различны, то φ называется инъекцией.
Отображение φ: M1M2,
которое одновременно является сюръекцией
и инъекцией, называется биекцией
или взаимно однозначным соответствием
между M1
и M2.
Имеют место следующие основные свойства отображений:
Теорема о прообразах. Прообраз объединения или пересечения двух множеств равен объединению или пересечению их прообразов соответственно:
φ-1(AB)=
φ-1(A)
φ-1(B),
φ-1(AB)=
φ-1(A)
φ-1(B).
Теорема об образах. Образ объединения двух множеств равен объединению их образов:
φ(AB)=
φ(A)
φ(B).
Заметим, что образ пересечения двух множеств, вообще говоря, не совпадает с пересечением их образов.
Отображение IM: MM называется тождественным (или единичным) отображением множества M, если IM(x) = x, xM.
Пусть даны
отображения φ: M1
M2
и ψ: M2M3,
тогда можно определить композицию
отображений
φ и ψ, как отображение ψφ:
M1M3,
определяемое формулой (ψ
φ)(x)
= ψ(φ(x)) ,
xM1.
Отображение φ:
M1M2
называется обратимым,
если существует такое отображение
ψ:M2
M1,
что имеют место следующие соотношения:
φψ
= IM2
ψφ
= IM1
В этом случае отображение ψ называется обратным к отображению φ и обозначается через φ-1 .
Теорема о единственности обратного. Если отображение φ: М1→М2 обратимо, то обратное отображение φ-1 единственно.
Имеет место следующий критерий обратимости отображения.
Теорема о существовании обратного. Отображение φ: М1→М2 обратимо тогда и только тогда, когда φ – биективно.
В этом случае
обратное отображение φ-1:
М2→М1
определяется (однозначно) следующим
образом: образом элемента у
М2 при
отображении φ
-1 будет
такой элемент х
М1,
который при отображении φ переходит в
элемент у. Иными словами: φ-1(у)
= х
φ(х) = у.