4. Линейные электрические цепи синусоидального тока. L и с элементы.

Синусоидальный ток, переменный ток, являющийся синусоидальной функцией времени вида: i = I_m sin (wt + j), где i — мгновенное значение тока, Im — его амплитуда, w — угловая частота, j — начальная фаза. Т. к. синусоидальная функция имеет себе подобную производную, то во всех частях линейной цепи С. т. напряжения, токи и индуцируемые эдс также являются синусоидальными. Целесообразность применения С. т. в технике связана с упрощением электрических устройств и цепей (как и их расчётов).

L-элемент

Напряжение на индуктивности

.

Отметим, что напряжение на индуктивности опережает ток на угол 90^о (фазовый сдвиг φ=φ_u–φ_i=90^o), а амплитуда напряжения связана с током зависимостью

U_Lm = ωLI_m=X_LI_m, гдеX_L=ωL– индуктивное сопротивление, Ом.

Мгновенная мощность не содержит постоянной составляющей, т.е. индуктивность не потребляет активную мощность, но дважды за период потребляет из сети мощность и дважды за период отдает ее в сеть (запасает в магнитном поле, а потом отдает).

С-элемент

Напряжение на емкости определяется уравнением

.

Отметим, что напряжение на емкости отстает по фазе от тока на угол /2, т.е. фазовый сдвиг =_u–_i=–/2, а амплитуды связаны уравнением – емкостное сопротивление, Ом. Мгновенная мощностьне содержит постоянной составляющей, т.е. емкость, как и индуктивность, не потребляет активную мощность, но дважды за период потребляет из сети, запасая в электрическом поле энергию, и дважды за период отдает ее в сеть (обменивается энергией с сетью). На комплексной плоскости напряжение на емкости изображается вектором, отстающим от вектора тока на угол, т.е.

5. Комплексный метод расчёта электрических цепей синусоидального тока. Неразветвлённая цепь.

Если сопротивление R, индуктивность L и емкость С включены последовательно под напряжение U и ток определяется уравнением i=I_msint, то уравнение напряжений имеет вид:

.

В комплексной форме это уравнение можно записать

,

или, разделив на и перейдя к комплексам,,

где X_L–X_С – реактивное сопротивление цепи; Z=Ze^j=R+jX – комплексное сопротивление цепи; – полное сопротивление цепи.

На комплексной плоскости сумма напряжений будет представлена в виде диаграммы

Если индуктивное сопротивление больше емкостного, т.е. X_L>X_C, то ток отстает от напряжения сети на угол φ (а) и наоборот при X_L<X_C ток опережает напряжение на угол φ (б). В первом случае цепь носит индуктивный характер, во втором – емкостной характер. Комплексное сопротивление тоже может быть представлено на комплексной плоскости в виде треугольника сопротивлений Z=R+jX.

При этом .

Мгновенная мощность в последовательной цепи

содержит постоянную составляющую и переменную составляющую, которая изменяется с двойной частотой сети. Постоянную составляющую, или среднее значение мгновенной мощности за периодназываютактивной мощностью. Она измеряется в Ваттах (Вт).

Для оценки величины энергии, которая запасается в магнитном и электрическом полях и затем возвращается в сеть дважды за период, вводят понятие реактивной мощности Q=UIsinφ, которая измеряется в вольт-амперах реактивных (ВАр).

P=UIcosφ=U_RI=I²R.

Q=UIsin=I²X=I²X_L–I²X_C=Q_L–Q_C.

Произведение действующих значений напряжения и тока определяет полную мощность S=UI (ВА), которая измеряется в вольт-амперах. Отношение активной мощности к полной называют коэффициентом мощности .

Комплексный метод расчёта электрических цепей синусоидального тока. Разветвлённая цепь.

При параллельном включении напряжение на всех R, L, C элементах одинаково, а токи различны по величине и имеют различные фазовые сдвиги по отношению к напряжению – ток через сопротивление совпадает по фазе с напряжением, ток через индуктивность отстает на 90, а через емкость – опережает напряжение на 90. В комплексной форме токи можно записать следующим образом:

,

Суммарный ток равен ,

где b=b_L – b_C – реактивная проводимость; Y =g - jb – комплексная проводимость; – полная проводимость цепи. Активная, реактивная и полная проводимости образуют треугольник проводимостей. При этом.

Векторная диаграмма токов имеет следующий вид. Сначала проводим вектор тока через сопротивление (параллельно напряжению), затем из конца– вектор токаперпендикулярно напряжению (отстает от него на угол 90), затем – вектор перпендикулярно напряжению, но в противоположную сторону (вектор тока опережает напряжение на угол 90). Их сумма дает вектор суммарного тока . Фазовый сдвигφ между суммарным током и напряжением может быть положительным (б) или отрицательным (в) в зависимости от соотношения параметров цепи L и C. В первом случае цепь носит активно-емкостный характер, во втором – активно-индуктивный (ток отстает от напряжения на угол φ). В общем случае, если известно комплексное сопротивление ветви, то комплексная проводимость этой ветви определяется следующим образом:

.