Обратная регрессионная модель

Y=k/(A₀+A₁·X₁+…+A_m·X_m)

Заменим:

W=1/Y, a₁=A_i/k

Переход к линейной множественной модели

W=a₀+a₁·X₁+…+a_m·X_m

Э^{кспоненциальная модель}

^{Y=eB0+B1·X1+B2·X2+…+Bm·Xm}

Прологарифмируем левую и правую части уравнения:

ln(Y)=B₀+B₁·X₁+B₂·X₂+…+B_m·X_m

Выполним замену W=ln(Y) и получим:

W=B₀ + B₁·X₁ + B₂·X₂+...+B_m·X_m

13. Методы планирования эксперимента на модели планирования эксперимента.

В планировании эксперимента различают входные (изогенные) и выходные (эндогенные) переменные:х₁,х₂,…,х_к;y_1,y₂…,y_m.

Входные переменные в называют факторами а выходные — реакциями. Каждый фактор x_i, i=1,2,…,k может принимать в эксперименте одно или несколько значений, называемых уровнями. Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний рассматриваемой системы. Одновременно этот набор представляет собой условия проведения одного из возможных экспериментов.

Каждому фиксированному набору уровню факторов соответствует определённая точка в многомерном пространстве, называемая факторным пространством. Эксперименты не могут быть реализованы во всех точках факторного пространства, а лишь в принадлежащих допустимой области, как это например оказано для случая двух факторов Х₁ и Х₂ на рисунке 9.1.

Рис.9.1. Факторное пространство

План эксперимента обычно используется для определения экстремальной характеристики объекта. Поэтому планирование эксперимента называется экстремальным.

Стратегическое планирование машинных экспериментов с моделями систем

Можно выделить стратегическое и тактическое планирование эксперимента на моделях систем.

Стратегическое планирование – ставит своей целью получение необходимой информации о системе с помощью модели, реализованной на ЭВМ.

Тактическое планирование – определяет способы проведения каждой серии испытаний машинной модели.

15. Классификация экспериментов.

Классификация экспериментов

Различные виды экспериментов схематично представлены на рисунке 9.2.

Рис. 9.2. Объект с одним входом и выходом

Однофакторный пассивный эксперимент проводится путем выполнения n пар измерений в дискретные моменты времени единственного входного параметра X и соответствующих значений выходного параметра Y  (см. рисунок 9.2). Аналитическая зависимость между этими параметрами вследствие случайного характера возмущающих воздействий рассматривается в виде зависимости математического ожидания Y от значения X, носящей название регрессионной. Целью однофакторного пассивного эксперимента является построение регрессионной модели - установление зависимости y=f(x).

Рис. Объект с несколькими входами

Многофакторный пассивный эксперимент проводится при контроле значений нескольких входных параметров X_i  (см. рисунок 9.3) и его целью является установление зависимости выходного параметра от двух или более переменных y=F(x₁,x₂,…) .

Рис. Объект с несколькими входами и возмущением

Полный факторный эксперимент предполагает возможность управлять объектом по одному или нескольким независимым каналам (см. рисунок 9.4).

           В схеме используются следующие группы параметров:

• управляющие (входные x_i)

• параметры состояния (выходные Y)

• возмущающие воздействия (W_i)

{[[[[ При многофакторном и полном факторном эксперименте выходных параметров может быть несколько.

            Управляющие параметры x_i  представляют собой независимые переменные, которые можно изменять для управления выходными параметрами. Если i=1 (один управляющий параметр), то эксперимент однофакторный. Многофакторный эксперимент соответствует конечному числу управляющих параметров. Полный факторный эксперимент соответствует наличию возмущающих воздействий в многофакторном эксперименте.

Диапазон изменения факторов x_i  или число значений, которое они могут принимать называется уровнем фактора.

 Полный факторный эксперимент характеризуется тем, что при фиксированных возмущающих воздействиях W_i  минимальное число уровней каждого фактора равно двум. В этом случае, зафиксировав все факторы x_i  кроме одного, необходимо провести два измерения, соответствующих двум уровням этого фактора. Последовательно осуществляя такую процедуру для каждого из факторов x_i, получим необходимое число N опытов в полном факторном эксперименте для реализации всех возможных сочетаний уровней факторов N=2^k , где k - число факторов.

Приведем пример планирования эксперимента. Пусть необходимо взвесить на весах три тела разной массы A,B,C при условии, что нулевое положение весов не отрегулировано. При составлении плана эксперимента принято строить матрицу планирования. В таблице 9.1 приведен первый план взвешивания. «1» и «-1» соответствуют наличию или отсутствию объекта на весах.

План взвешивания, вариант №1

№ опыта	A	B	C	Результаты взвешивания
1	-1	-1	-1	y0
2	+1	-1	-1	y1
3	-1	+1	-1	y2
4	-1	-1	+1	y3

 Эксперимент состоит из четырех опытов. При первом опыте снимаются показания пустых весов, и выставляется их нулевое положение, затем отдельно взвешивается каждый из объектов. Расчет веса и погрешности измерений ² каждого из тел производится по следующим формулам:

 

Поскольку погрешности независимых измерений складываются, а вес каждого объекта получен в результате двух измерений, погрешность составляет 2².

Оптимально будет провести эксперимент по схеме, показанной в Таблице 9.2. В этом случае взвешивается отдельно каждый из объектов и все объекты вместе.  Непосредственное измерение погрешности y₀ не проводят.

План взвешивания, вариант №2

№ опыта	A	B	C	Результаты взвешивания
1	+1	-1	-1	y1
2	-1	+1	-1	y2
3	-1	-1	+1	y3
4	+1	+1	+1	y4

 В этом случае выигрыш при проведении эксперимента заключается в том, что масса каждого из объектов вычисляется по новым формулам, а дисперсия результатов оказывается вдвое меньше. Этот результат получается за счет того, что при втором плане эксперимента смещение нуля измерительной аппаратуры (весов) исключено.

Планирование эксперимента позволяет либо уменьшить число измерений, либо увеличить их точность.}}}}}