38 . Построение модели состояний системы массового обслуживания.

Информационные системы имеют конечное число дискретных состояний и их функционирование можно описать с помо­щью непрерывных марковских цепей. Время пребывания ИС в том или ином состоянии можно описать непрерывной случайной величиной и определить вероятности нахождения системы во всех возможных состояниях. Естественно, сумма вероятно­стей всех состояний в любой момент времени равна 1.

Для решения поставленной задачи составляется граф со­стояний функционирования ИС. На рис. 2.1 представлен граф системы с тремя возможными состояниями С₀, С₁ и С₂ (верши­ны графа, обозначены кружками). Вероятности пребывания ИС в этих состояниях являются функциями времени p₀(t), р1(t), p₂(t), которые и следует определить для анализа функци­онирования системы. Возможные переходы из состояния в со­стояние изображены стрелками. Интенсивности таких пере­ходов (все потоки полагаются простейшими) представлены значениями ₀₁,₁₀,₁₂,₂₁,₀₂,₂₀

Получим уравнения динамики состояний ИС. Пусть в мо­мент t система находится в состоянии С₀ с вероятностью p₀(t). Через интервал t для состояния С₀ возможны вероятности вариантов:

1) остаться в С₀ p0(t+t);

2) выход из состояния С₀ в состояния С₁ или С₂ p₀(t)[-₀₁-₀₂] t;

3)переход в С₀ из других состояний p₁(t)₁₀t+p₂(t)₂₀t. Таким образом, получим

p₀(t +t)=p₀(t)-р₀(t)[₀₁+₀₂] t+p₁(t)₁₀ t+p₂(t)₂₀ t.

Предел разделенной разности приt->0 при

водит к дифференциальному уравнению первого порядка для вероятности состояния С₀

Аналогичным образом могут быть получены уравнения и для других состояний. В конечном итоге для системы с N со стояниями могут быть записаны N обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:

39. Модель состояний «Зарождение – гибель». Особенности аналитического моделирования смо

Имитационное моделирование позволяет просто описы­вать сложные СМО и дает достаточно точное определение показателей эффективности систем, но требует значительного времени для проведения серии опытов и их статистической обработки. Кроме того, по его результатам сложно решать обратную задачу ТМО. Структура многих СМО, в том числе и информационных систем (ИС), позволяет описывать их функционирование уравнениями, допускающими относи- тельно простое решение обратной задачи ТМО.

Так системы с ограниченной очередью имеют конечное число дискретных состояний и их функционирование можно описать процессом с непрерывным временем. Под состоянием понимается количество заявок, находящихся в системе (в очереди и под обработкой). Для описания процессов в системе применяют вероятности состояний, которые в конкретный момент времени определяют вероятности нахождения системы в одном из всех возможных состояний. Для марковских случайных процессов эти вероятности находятся решением системы обыкновенных линей дифференциальных уравнений Колмогорова. Вероятности состояний характеризуют среднюю долю времен в течение которого система находится в данном состоянии.

Для решения поставленной задачи составляется граф Функ­ционирования ИС. На рис. 4.1 представлен граф однопроцессорной (одноканальной) системы с пятью возможными состояниями С₀, С₁, С₂, С₃ и С₄ (эти состояния обозначены в кружках определенными индексами). В данной схеме накопитель имеет M=3 места для очереди, что соответствует М+2 возможным стояниям: отсутствие заявок, одна заявка в обработке, далее заявка в обработке и 1, 2, 3 заявки в очереди. Вероятности пребывания системы в этих состояниях являются функциями времени p0(t),p1(t),…,p4(t) которые можно определить для анализа функ­ционирования системы. Особенность схемы состоит в том, что переходы возможны из одного состояния (если оно не крайнее) Только в соседние состояния. Интенсивность переходов из текущего состояния в состояние с более высоким индексом (вправо) определяется входным потоком заявок и задается постоянным . Интенсивность переходов в состояния с меньшими индексами (влево) определяется производительностью обрабатывающей части и для одного процессора она равна ,

Система, в которой переходы происходят только в соседние соседние состояния, называют «схемой размножения и гибели». Для такой схемы матрица коэффициентов системы дифференциальных уравнений становится трехдиагональной, что существенно упрощает составление и решение системы уравнений. Для марковских Процессов определение финальных вероятностей состояний сводится к решению системы алгебраических уравнений.