Понятие агрегата

Обобщенный (универсальный) подход базируется на понятии агрегативной системы, предложенной Бусленко Н.П. Она представляет собой формальную схему общего вида, которую называют А – схемой.

При агрегативном описании моделируемый объект (система) декомпозируется на конечное число подсистем с сохранением связей, которые обеспечивают их взаимодействие. В результате декомпозиции, система представляется в виде многоуровневой конструкции из взаимосвязанных элементов, которые объединяются в подсистемы различных уровней. В качестве элемента А – схемы выступает агрегат.

Каждый агрегат A_n, характеризуется:

T – множеством моментов времени;

X – множеством входных сигналов;

Y – множеством выходных сигналов;

Z – множеством состояний.

Процессы перехода агрегата из одного состояния в другое происходит за малый промежуток времени, т.е. имеет место скачек состояний.

Эти переходы определяются собственными (внутренними) параметрами схемы и входными сигналами .

В начальный момент времени t₀ состояние z⁰=z(t₀) задается распределением L[z(t₀)].

Предполагая, что процесс функционирования агрегата в моменты поступления входного сигна x_n описываются случайным оператором V.

Тогда можно определить случайное состояние в момент времени t_n

z(t_n+0)=V[t_n, z(t_n), x_n]

Состояние агрегата в момент времени (t_n,t_n+1), t(t_n,t_n+1) описывается случайным оператором :

z(t)= [t, t_n, z(t_n+0)]

При этом считается, что в агрегат не поступило никаких сигналов.

На оператор не накладывается никаких ограничений, поэтому допустимы скачки состоянийв моменты времени, которые не являются моментами поступления входных сигналов. Моменты скачков будем называть особыми моментами времени, а состояния- особыми состояниями А схемы, тогда:

W – частный случай оператора .

На множестве Z выделяется Z^(Y), такое, что если достигаетZ^(Y), то это является моментом выдачи выходного сигнала:

, где G – некоторый оператор.

Отдельный агрегат может представлен кортежем вида:

A_n=<T,X,Y,Z, Z^(Y),H,V, ,W,G>

Структура агрегативной системы

Последовательность входных сигналов, расположенных в порядке их поступления в А – схему называют входным сообщением или X–сообщением.

Рис.. Пример A схемы

Последовательность выходных сигналов упорядоченную относительно времени выдачи называют выходным сообщением или Y–сообщением.

Информация, которая циркулирует в А–схеме делиться на внутреннею и внешнюю. Внешняя информация поступает от внешних объектов, а внутренняя вырабатывается агрегатами А–схемы.

Обмен информации А–схемы с внешней средой происходит через агрегаты, которые называют полюсами. Различают входные полюсы, на которые поступают X–сообщения и выходные полюсы – это агрегаты, выходная информация которых представляет Y–сообщения.

Каждый агрегат A_n имеет входные контактыи выходные контакты

Введем ряд предположений о функционировании А–схемы:

1) Взаимодействие между А–схемой и внешней средой, а также между отдельными агрегатами внутри системы, осуществляется при передаче сигналов.

2) Для описания сигнала достаточно некоторого конечного набора характеристик.

3) К входному контакту любого элемента подключается не более чем один элементарный канал. К выходному – любое конечное число элементарных каналов, при условии, что ко входу одного и того же элемента А–схемы направляется не более чем один из упомянутых каналов.

4) Элементарные сигналы мгновенно передаются в А–схеме независимо друг от друга по элементарным каналам.

Внешняя среда обозначается фиктивным агрегатом A₀:

Для любого агрегата, включая A₀, в рамках принятых предположений, можно записать, что агрегат характеризуется множеством входных контактов и множеством выходных контактов,

тогда пара представляет математическую модель элементаA_n, которая используется для формального описания сопряжения его с другими элементами А–схемы и с внешней средой.

В силу предположения о независимости передачи сигналов, каждому входному контакту соответствует не более чем 1 выходной контакт, соединенный с ним элементарным каналом.

Можно ввести однозначный оператор R. , который имеет область определения на множествеи область значений.

Совокупность множеств и оператор сопряженияR образуют схему сопряжения элементов в систему.

Упорядоченную совокупность операторов A_n , агрегата A₀ и оператора R считают А-схемой при следующих ограничениях:

1) Каждый элементарный канал, передающий сигналы во внешнюю среду должен начинаться в одном из выходных контактов одного из агрегатов А-схемы. Каждый элементарный канал, передающий сигнал из внешней среды должен заканчиваться на одном из входных контактов агрегатов А–схемы.

2) Сигналы в А–схеме передаются непосредственно от одного агрегата к другому без устройств, которые могут отсеивать сигналы по каким-либо признакам.

3) Необходимо согласование функционирования агрегатов во времени.

4) Сигналы между агрегатами А–схемы передаются мгновенно без перекодирования и исключения сигнала.

32. Дискретно – событийные модели.

Системы называются дискретно-событийными (или просто дискретными), если изменения переменных состояния в них происходят только в явно оп­ределенные моменты времени или под влиянием явно определенных собы­тий. Находясь в некотором состоянии, дискретная система сохраняет его (не изменяет своих характеристик) до наступления очередного события, под воздействием которого переменные системы (и, следовательно, ее состоя­ние) изменяются скачком.

Для создания моделей такого типа в программе AnyLogic ver 6.4 используется механизм событий.

Классификация событий

№	Тип события	Вид/Режим
1	По таймауту	a)Срабатывает один раз
		b)Циклический
		c)«Ручной»
2	С заданной интенсивностью	Нет
3	При выполнении условия	Нет

В случае использования режима a нужно задать период срабатывания в единицах модельного времени.

При использовании первого события с режимом b нужно указать

Время первого срабатывания

Период срабатывания (число единиц модельного времени)

При выборе режима с событие должно управляться вызовом специального метода restart( double t), где t – период срабатывания события.

Событие, происходящее с заданной интенсивностью, используется для моделирования потока независимых событий (пуассоновский поток). Такое событие выполняется периодически с интервалами времени, подчиняющимися экспоненциальному закону распределения с параметром, равным заданной интенсивности. Например, если интенсивность равна 5, то событие будет происходить в среднем 5 раз в единицу модельного времени.

Третий тип события выполняется один раз при выполнении определенного условия, чтобы продолжить проверку выполнения условия и следовательно повторить выполнение события нужно вызвать его метод restart().

33. Модели системной динамики.

В моделях системной динамики основной интерес представляют накопители некоторого содержимого и анализ изменения их объемов во времени. Со­держимое накопителей может иметь любую природу. Даже в рамках одной и той же модели одни накопители отражают динамику ресурсов, другие де­нег, третьи продукта. При создании модели исследователь абстрагируется от природы того, что представлено в накопителях. Если даже содержимое накопителей является дискретным, то на этом наиболее высоком уровне абстракции индивидуальность и даже сама дискретная природа содержимого (будь то материалы, люди, заявки на поставку продукции и т. п.), количественное изменение которых учитывается в модели, игнорируется. Для пере­менных модели обычно используются вещественные значения. Вне зависи­мости от конкретного содержимого накопителя, фрагмент структурной схе­мы рис. 13.2 имеет вполне определенную семантику. Все три представления этого фрагмента — графический, в виде дифференциального и в виде инте­грального уравнения являются эквивалентными.

Рис. 13.2. Три эквивалентных представления динамики накопителя

Одна из идей Дж. Форрестера состояла в том, чтобы использовать единую метафору и единую терминологию для потоков любой природы в

моделях системной динамики. Пусть мы имеем два бака, соединенных трубопрово­дом (рис. I3.3). В первый бак наливается жидкость с постоянной скоростью (интенсивностью), из него жидкость течет во второй бак со скоростью, ко­торая является функцией уровней жидкости в первом и втором баке, из третьего бака жидкость вытекает со скоростью, которая является функцией уровня этого бака.

34. Классификация систем массового обслуживания.

Теория систем массового обслуживания используется для описания сервисных систем с помощью элементарной модели. Это модель состоит из так называемого селектора обслуживания, который располагает одной или более машиной одинакового типа или рабочим местом.

Клиенты системы обращаются к ней поодиночке и в случайные моменты времени обращаясь к прибору обслуживания. Вновь прибывший клиент обслуживается только в том случае, если хотя бы один из приборов обслуживания свободен, в противном случае он должен быть поставлен в очередь ожидания.

- поток пребывающих клиентов

- коэффициент интенсивности обслуживания

с-число обслуживающих узлов

Понятие клиент и переключатель на практике могут иметь различное значение, например автомобили перед сфетофором, компьютерные программы, которые циркулируют в вычислительной системе, телефонные вызовы которые поступают на телефонный узел и т.д.

Базовая модель может быть представлена различными способами.

Клиенты обслуживаются не по одиночке, а группами.

Применение: безотходное производство продукции

Некоторые клиенты покидают систему, прежде чем они были обслужены (СМО с ограничением времени)

Пример: Хранение скоропортящихся продуктов

Не все приборы обслуживания предоставляются клиентам(СМО с ограниченным доступом)

Применение: Конвейеры с определенным набором оборудования, определенный набор оборудования в телефонной сети.

Некоторые клиенты отказываются обращать в СМО, так как очередь ожидания для них слишком длинная.

Пример: обычное поведения в точках обслуживания на почте, банке, кассах продажи билетов.

Клиент с высоким приоритетом вытесняет клиента с низшим приоритетом из процесса обслуживания (СМО с приоритетным управлением)

Пример: оперативное управления производством в целях снижения затрат и получения высокой прибыли

Клиент, которой при своем прибытии не сразу обслуживается, вытесняется из системы (Системы с потерями)

Пример телефонные вызовы в междугордних сетях

Поток поступающих заявок описывается через посредством так называемого процесса обновления заявок. При этом предполагается, что все заявки в порядке их поступления подлежат сквозной нумерации. Интервал времени In между прибытием (n-1) и n ного клиента, обозначается как время прибытия между двумя заявками. О случайных переменных In,n=1,2,.. можно сделать следующие предположение, что они стохастически независимы и обладают одинаковым законом распределения с функцией распределения FI(x), значением вероятности E[I] и дисперсией D[i]

Значение

Называется интенсивностью прибытия заявок и показывает, сколько клиентов в среднем в единицу времени поступает в систему.

Интервал времени на обслуживание Sn,n=1,2,…клиентов следующих друг за другом, также стохастически независимы и характеризуются случайными переменными с идентичным законом распределения. Функция распределения интервалов обслуживания обозначается как FS(x). Для обозначения вероятности и дисперсии вводятся условные обозначения E[S] и D[S] соответственно.

Величина называется интенсивностью процесса обслуживания, она показывает сколько клиентов в среднем в единицу может быть обслужено в системе. Если в системе существует несколько параллельных и одинаковых приборов обслуживания, эта величина повышается в соответствии с числом приборов.

Привило обслуживания жестко определяет в какой последовательности будут обслужены клиенты системы. Существуют следующие правила обслуживания:

FIFO(FCFS) First In, First Out(First Come,First Served) Обслуживание выполняется в порядке поступления заявок

LIFO(LCFS) Last In, First Out(Last Come,First Served) Обслуживание выполняется в обратно порядке прибытия заявок

SIRO Selection in Random Order. Следующий клиент выбирается случайным образом

Non-preemptive priority Относительный приоритет, некоторым клиентам отдается предпочтение по отношению к другим клиентам. Текущий процесс обслуживания не прерывается

Preemptive priority. Абсолютный приоритет. Если вновь прибывший клиент обладает высшим приоритетом по сравнению с другими клиентами в системе, текущий процесс обслуживания прерывается и продолжается с новыми условиями. Прежние условия-требования отклоняются.

RR (Round Robin) Каждый клиент может занять обслуживающий процесс на определенный временной интервал. Клиенты, чье обслуживание требует больше времени, должны несколько раза ставится в очередь на обслуживание.

Для символического обозначения СМО используется нотация Кендала , Гнеденко

A/B/c/m

Символы A и B обозначают тип распределения интервалов времени прибытия заявок и времени обслуживания. Символ c используется для обозначения числа параллельных приборов обслуживания, а символ m обозначает мощность очереди.

Примеры условных обозначений распределений

M- експоненциальное распределение

Ek- распределение Эрланга (k=1,2,…)

G-нормальное распределение

35. Параметры системы массового облуживания и оценка ее эффективности.

Оценка производительности СМО осуществляется на базе двух следующих процессов:

Количество клиентов в системе (Nt),t>0. Этот процесс показывает, сколько клиентов прибывают в момент времени t в СМО.

Величина времени нахождения клиента в системе (Vn)n in N. Случайная переменная Vn обозначает время, которое n-йтый клиент проводит в системе.

Для расчета величин характеризующих процессы в СМО могут быть использованы различные методы теории стохастических процессов. Сущность метода сильно зависит от какие законы распределения используются для представления интервалов времени прибытия клиентов и времени обслуживания, какие показатели подлежат расчету: время зависимые или стационарные.

Базовая модель СМО достаточно сложна, что даже для известных законов распределения она не имеет точного решения. Однако существуют приближенные формулы, которые хорошо зарекомендовали себя на практике, которые учитывают стохастические особенности процесса функционирования СМО.

В стационарном состоянии может быть применена формула Allen-Cunnen, для подсчета числа клиентов.

Здесь  коэффициент загрузки системы, вероятность ожидания обслуживания и, и, коэффициенты вариации интервалов времени между прибытиями заявок и временами на обслуживание. Формула позволяет сделать вывод, что число клиентов в системе чем больше система загружена и чем больше вариативные коэффициенты. Для того чтобы получить ограниченную очередь ожидания нужно иметь систему высокой производительности или ограничить вариативность системы.

Оптимальное среднее время нахождения пользователя в системе можно определить по формуле Литтла

Где  интенсивность входного потока заявок

Исходя из формул, можно выделить следующие зависимости:

Средне число клиентов в системе от загрузки прибора обслуживания

С увеличением загрузки p увеличивается также число клиентов в системе. Кроме того чем больше коэффициент вариации времени обслуживания, тем больше число среднее число клиентов в системе E[N]

36. Потоки событий в системах массового обслуживания.

Многопользовательские информационные системы (ИС) находятся под воздействием неупорядоченного потока со­бытий (запросов, заявок, требований) и поэтому относятся к СМО. Интервалы времени между событиями являются слу­чайными, и плотность вероятности их распределения часто не может быть определена. На практике обычно по статистике получают только средний интервал между соседними собы­тиями.

Таким образом, потоком называют последовательность однородных событий со случайными интервалами. Для ма­тематического моделирования СМО часто применяют экспо­ненциальный (показательный) закон распределения интерва­лов между событиями, плотность вероятности которого при среднем значении а выражается формулой

Этот закон хорошо согласуется со многими реальными процессами и, кроме того, обеспечивает достаточно простые математические преобразования. К такому процессу для по­тока событий дополнительно предъявляются следующие три требования:

• стационарность (характеристики процесса не должен иметь существенных изменений во времени);

• ординарность (в один момент времени не должно быть более одного события);

• без последействия (будущий процесс зависит только от

состояния системы в данный момент и не зависит от пути прихода в это состояние). По последнему требованию

процесс определяют как марковский (более точно его можно назвать процессом без предыстории). Поток со­бытий, удовлетворяющий перечисленным выше условиям, называется простейшим или пуассоновским. Простейшие потоки обеспечивают наиболее простое математическое описание. Это обусловлено тем, что при экспонен- циальном законе распределения после появления события в какой - то момент времени интервал до возникновения следу­ющего события остается подчиненным экспоненциальному закону с теми же характеристиками. Этим и обеспечиваются перечисленные выше условия Маркова.

Для потоков вводится характеристика интенсивности, рав­ная среднему количеству событий в единицу времени. Например, если для случайной последовательности средний интервал равен z, то интенсивность потока будет . При постоянных интервалах поток называют регулярным.

Практика показывает, что при слиянии нескольких (более 4-5) независимых произвольных потоков примерно одинаковой интенсивности образуется простейший поток суммарной интенсивности. Если в ИС запросы подают N клиентов со средними интервалами z1,z2,…,zN. Суммарная интенсивность запросов на входе системы обработки

а средний интервал между запросами будет следующим

Рассмотрим пример. Имеется сложный прибор из N типов элементов, причем каждый тип содержит N; элементов (i=1...N) со средним временем наработки на отказ t_i , интенсивность отказов прибора будет Отсюда можно по функции экспоненциального распределения определить вероятность безотказной работы прибора в течение времени Т:P(T)=e^-T

37. Прямая и обратная задача проектирования систем массового обслуживания.

38. Построение модели состояний системы массового обслуживания.

39. Модель состояний «Зарождение – гибель».

40. Модель отказов системы массового обслуживания.