Вероятностный автомат Милли

Пусть элементы множества G порождает некоторые законы распределения на множествах Z и Y.

Элементы из Y y₁ ,y₂ ….., y_j-1 ,y_j

(x_i,z_s) q₁ ,q₂ ….., q_j-1 ,q_j

Элементы из Z z₁ , z₂ ….., z_k-1 , z_k

(x_i,z_s) ₁ , ₂ ….., _k-1,_k

q_j и_k,это вероятности перехода автоматов в состояние z_k и появления выходного сигнала y_k , если автомат находиться в состоянии z_s и на его вход поступил входной сигнал x_i.

Если для всех k и j выполняется условие q_kz_i=b_kj, то такой P- автомат называется вероятностным автоматом Милли. У такого автомата распределения независимы для нового состояния и его выходного сигнала.

28. Дискретно стохастические модели. (P- схемы):Вероятностный автомат Мура.

Сущность дискретизации времени при дискретно – стохастическом подходе остается аналогичной конечным автоматом. Влияние стохастичности рассмотрим на разновидности этих автоматов, а именно на вероятностных автоматах.

Вероятностный автомат – это дискретный преобразователь информации с памятью, функционирование которого, в каждом такте, зависит только от состояния памяти в нем и может быть описано стохастически.

Рассмотрим множество G, элементами которого являются (x_j,z_s) , x_j X, z_s Z

X – множество входных значений, Z – Множество возможных состояний.

Если существует две такие функции , f с помощью которых выполняется отображение GZ, G Y, то говорят что пятерка элементов, входящая в кортеж F=(Z,X,Y,,f) определяет автомат детерминированного типа.

Здесь Y – множество выходных значений.

Введем в рассмотрение более общую математическую схему. Пусть Ф множество возможных пар вида Ф(z_k,y_j); y_jY

Потребуем, чтобы любой элемент множества G порождал на множестве Ф некоторый закон распределения вида:

Элементы из Ф …(z₁ ,y₁)… (z₁ ,y₂) …(z_k ,y_j-1) (z_k ,y_J)

(x_i,z_s) ….b₁₁… b₁₂…b_k(j-1) b_kJ

; b_kj – это вероятность перехода автомата в состояние z_k и выдачи выходного сигнала y_j , если автомат находиться в состоянии z_s и на его вход поступил входной сигнал x_i

Число таких распределений равно числу элементов множества G и составляют множество B . Тогда кортеж P=<Z,X,Y,B> называется вероятностным автоматом.

Вероятностный автомат Мура

Пусть определение выходного сигнала P–автомата завит лишь от того состояния, в котором находится автомат в данном такте работы.

Элементы из Y y₁ ,y₂ ….., y_i-1 ,y_i

z_k s₁ ,s₂ ......., s_i-1 ,s_i

s_i – вероятность выдачи выходного сигнала y_i при условии ,что автомат находится z_k

Если для всех k и i выполняется условие z_ks_i=b_ki, то такой P- автомат называется вероятностным автоматом Мура.

Y и z детерминированные автоматы

Частным случаем Р-автомата, задаваемого как P=<Z,X,Y,B> являются автоматы, у которых либо переход в новое состояние, либо выходной сигнал определяются детерминировано. Если выходной сигнал Р-автомата определяется детерминировано, то такой автомат называется Y-детерминированным вероятностным автоматом. Аналогично, Z- детерминированным вероятностным автоматом называется Р-автомат, у которого выбор нового состояния является детерминированным.

29. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы).

Система массового обслуживания представляет собой класс математических схем, разработанных в теории массового обслуживания и приложений для формализации процессов функционирования систем, которые, по своей сути, являются процессами обслуживания. Характерным для таких объектов является случайное появление требований (заявок) на обслуживание и завершение обслуживания в случайные моменты времени.

В любом элементарном акте обслуживания можно выделить две составляющие:

1. ожидание обслуживания

2. обслуживание заявки

Процесс обслуживания можно представить в виде прибора обслуживания Пi.

Нi – накопитель

ui- поток обслужмвания

wi- поток заявок

Ki – канал обслуживания заявки.

количество заявок, которое одновременно может находиться в накопителе. L – емкость i-го накопителя и канала обслуживания заявок Ki.

При моделировании реальных систем используют композиции из отдельных элементарных систем, которые называют Q-схемами. Если каналы отдельных приборов соединены параллельно, то имеет место многоканальное обслуживание, т.е. многоканальная Q-схема. Если приборы и их параллельные композиции соединены последовательно, то имеет место многофазное обслуживание, т.е. многофазная Q-схема.

Для задания Q-схемы необходимо определить оператор сопряжения он отражает взаимосвязь элементов структуры, т.е. каналов и накопителей между собой.

Различают разомкнутые и замкнутые Q-схемы. В разомкнутых Q-схемах обратные связи отсутствуют. В замкнутых Q-схемах есть обратные Q-связи, по которым заявки двигаются в направлении, обратном направлению «вход-выход».

30. Сети Петри - N схемы.

В практике моделирования объектов часто приходится решать

задачи, связанные с формализованным описанием и анализом причинно-следственных связей в сложных системах, где одновременно параллельно протекает несколько процессов.

Формальное описание структур таких систем, взаимодействие параллельных систем и процессов может быть получено с помощью сетей Петри ( К. Петри).

Сеть Петри представляет собой двухдольный направленный граф. Такой граф состоит из следующих элементов:

позиций

переходов.

Позиции и переходы соединяются между собой направленными дугами. В графе Петри не существует прямых соединений между двумя позициями или двумя переходами.

Позиции обозначаются окружностями, переходы показываются в виде прямоугольников. Позиция обладает определенной мощностью и в соответствии с мощностью может содержать несколько знаков (маркеров). Если значение мощности не задано, то оно принимается равной бесконечности или единице. Каждой дуге графа может быть поставлен в соответствие определенный «вес». Если это значение не указано, то принимается значение равное единице.

Загрузка позиций маркерами, называется маркировкой и представляет собой состояние сети.

Переход считается активным или готовым к активации если во всех входных позициях находится такое число маркеров, которое соответствует весу перехода и все выходные позиции обладают достаточной мощностью – емкостью для того чтобы принять новые маркеры.

Переходы готовые к активизации могут, активированы в произвольный момент времени. При включении перехода из входных его входных позиций выбираются маркеры в соответствии с весом дуги и помещаются в выходные позиции в соответствии с весами дуг.

В сети Петри маркеры не движутся по графу. Они удаляются и появляются в определенных позициях.

Формально сеть Петри (N-схема) задается кортежем вида N=<B,D,I,O>,

где В — конечное множество символов - позиций,

D- конечное множество символов - переходов,

I-входная функция (прямая функция инцидентности),

О- выходная функция (обратная функция инцидентности), . Таким образом, входная функцияI отображает переход d_j, в множество входных позиций

, а выходная функция О отображает переход d_j, в множество

выходных позиций . Для каждого перехода можно

определить множество входных позиций перехода и выходных

позиций перехода как

Аналогично, для каждого перехода вводятся определения

множества входных переходов позиции и множества выходных

переходов позиции

Граф N-схемы является мультиграфом, так как он допускает существование

кратных дуг от одной вершины к другой.

Рис.. Статическая сеть Петри

Маркированная (размеченная) N-схема может быть описана

в виде пятерки NM =<B, D, I, О, М> и является совокупностью сети

Петри и маркировки М].

Функционирование N-схемы отражается путем перехода от разметки

к разметке. Начальная разметка обозначается как .

Смена разметок происходит в результате срабатывания одного из переходов сети. Необходимым условием срабатывания переходаd_j является , где М{b_i} –разметка позиции b_i. Переход dj, для которого выполняется указанное условие,

определяется как находящийся в состоянии готовности к срабатыванию

или как возбужденный переход.

Срабатывание перехода di изменяет разметку сети на разметку М'(b) по следующему

правилу:

М'(b)=М(b)-I(d_j)+O(d_j),

т. е. переход dj изымает по одной метке из каждой своей входной

позиции и добавляет по одной метке в каждую из выходных позиций.

нализ сетей Петри

Основными свойствами сети Петри являются:

ограниченность — число меток в любой позиции сети не может превысить некоторого значения K;

безопасность — частный случай ограниченности, K=1;

сохраняемость — постоянство загрузки ресурсов, величина постоянна. Где N_i - число маркеров в i-той позиции, A_i — весовой коэффициент;

достижимость — возможность перехода сети из одного заданного состояния (характеризуемого распределением меток) в другое;

живость — возможность срабатывания любого перехода при функционировании моделируемого объекта.

В основе исследования перечисленных свойств лежит анализ достижимости.

Пример работы сети Петри

Дано сеть. В каждой позиции может находится два маркера.

Схема переходов показана в таблице.

Разметка	Активный переход
M0={0,0}	-
M1={1,0}	d1
M2={2,0}	d1
M3={1,1}	d2
M4={0,2}	d2
M5={0,1}	d3
M6={0,0}	d3

Рис.. Маркировки M0 и M1.

Рис.. Маркировки M2 и M3

Рис. Маркировки M4 и M5.

После срабатывания перехода d3 на второй схеме маркировка становится равно M6=M0.

31. Обобщенные модели (А - схемы).