физика 1 курс 2 семестр / ВОЛНЫ!!!

Гармонические колебания и их характеристики

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются опре­деленной повторяемостью во времени. Ко­лебательные процессы широко распро­странены в природе и технике, например качание маятника часов, переменный электрический ток и т. д. При колебатель­ном движении маятника изменяется ко­ордината его центра масс, в случае пере­менного тока колеблются напряжение и ток в цепи. Физическая природа колеба­ний может быть разной, поэтому различа­ют колебания механические, электромаг­нитные и др. Однако различные колеба­тельные процессы описываются одинако­выми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Отсюда следует целесооб­разность единого подхода к изучению ко­лебаний различной физической природы. Например, единый подход к изучению ме­ханических и электромагнитных колеба­ний применялся английским физиком Д. У. Рэлеем (1842—1919), А. Г. Столето­вым, русским инженером-экспериментато­ром П.Н.Лебедевым (1866—1912). Боль­шой вклад в развитие теории колебаний внесли советский физик Л. И. Мандель­штам (1879- -1944) и его ученики.

Колебания называются свободными (или собственными), если они совершают­ся за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему (систему, совершающую колебания). Простейшим типом колебаний явля­ются гармонические колебания — колеба­ния, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Рассмотрение гармонических колебаний важно но двум причинам: 1) колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому; 2) различные периоди­ческие процессы (процессы, повторяющие­ся через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармо­нических колебаний. Гармонические коле­бания величины s описываются уравнени­ем типа .

s=Acos(₀t+), (140.1)

где А - максимальное значение колеблю­щейся величины, называемое амплитудой колебаний, ₀ круговая (циклическая) частотой,  - начальная фаза колебаний

в момент времени t=0, (₀t+)— фаза колебаний в момент времени t. Так как косинус изменяется в пределах от +1 до -1, то s может, принимать значения от + А до -А.

Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, по­вторяются через, промежуток времени Т, называемый периодом колебания, за кото­рый фаза колебания получает приращение 2, т. е.

₀(t+T)+=(₀t +)+2,

откуда

T=2/₀. (140.2)

Величина, обратная периоду коле­баний,

v=1/T, (140.3)

т. о. число полных колебаний, совершае­мых в единицу времени, называется часто­той колебаний. Сравнивая (140.2) и (140.3), получим

₀=2v.

Единица частоты — герц (Гц):1Гц — частота периодического процесса, при ко­торой за 1 с совершается один цикл про­цесса.

Запишем первую и вторую производ­ные по времени от гармонически колеблю­щейся величины s (соответственно ско­рость и ускорение):

т. е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой. Амплитуды ве­личин (140.4) и (140.5) соответственно равны А₀ и A²₀. Фаза скорости (140.4) отличается от фазы величины (140.1) на π/2, а фаза ускорения (140.5) отличается от фазы величины (140.1) на . Следова­тельно, в моменты времени, когда s=0,

ds/dt приобретает наибольшие значения;

когда же s достигает максимального отрицательного значения, то d²s/dt² приобретает

наибольшее положительное значение (рис. 198).

Из выражения (140.5) следует диффе­ренциальное уравнение гармонических ко­лебаний

d²s/dt²+²₀s=0 ( 140.6)

(где учтено, что s=Acos(₀t+)). Решением этого уравнения является выражение (140.1).

Методы зон Френеля

Фронт волны в произвольный момент времени разбивается на участки , получ. наз. зон Френеля. Для того чтобы найти А волны в рассматр. точке диференц. картина зоны Френеля относит. этой точки строят таким образом чтобы кол-я эл. вектора вторичных волн , испущенных соседними зонами в этой точке в противофазе.

;радиус зоны Френеля с номером m. Площади зон Френеля в силу выбранного построения одинаковы следовательно амплитуда с разных зон одинакова. А=А₁-А₂+А₃-А₄…(1)( на основ. суперпозиции)

(угол возрастает)

Дифракционная картина представляет собой чередование тёмных и светлых колец. 1.Разобьём фронт волны на зоны Френеля 2.Определим сколько зон Френеля укладывается на открытом участке фронта волны (если коллич. чётное то в точке М – светлое пятно ; при промежуточном – промежуточная ) Дифракционная картина – тёмные и светлые кольца.

А-всегда неравно нулю и в.т.N светлое пятно. Яркость зависит от амплитуды и от угла ( т.е. от угла радиуса – угол возрастает) Дифракцию можно использовать для усиления света. Поместим экран закрывающий все чёрные зоны Френеля (зонная пластинка)

; интенсивность света в т.Д при отсутствии зонной пластинки; Происходит перераспределение эл.магн. энергии , что она фокусируется в одной точке . Так же можно использовать для усиления электр. магнитной волны.

Волновая поверхность

Волновая повер – геометричес место точек среды для которой в рассматриваем момент времени фаза волны смещает одно и тоже значение называется волновой поверхн или фронтом волны

Фs=wt-kx+=const

X=-(Фs+wt+)/k – ур-ие фронта волны для одной точки

Дифференцируя последнее выражение получаем

dx/dt=w/k=w*v/w=v

dx/dt-фазовая скорость

Скорость распространения синусоидальных волн называется фазовыми волнами Этот результат справедлив в случае синусоидальных волн

Механические гармонические колебания

Пусть материальная точка совершает пря­молинейные гармонические колебания вдоль оси координат х около положения равновесия, принятого за начало коорди­нат. Тогда зависимость координаты х от времени t задается уравнением, аналогич­ным уравнению (140.1), где s=x:

х=Аcos(₀t+). (141.1)

Согласно выражениям (140.4) и (140.5), скорость v и ускорение а колеблющейся точки соответственно равны

Сила F=ma, действующая на колеблю­щуюся материальную точку массой т, с учетом (141.1) и (141.2) равна

F= -m²₀x.

Следовательно, сила пропорциональна смещению материальной точки из положе­ния равновесия и направлена в противопо­ложную сторону (к положению равнове­сия).

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гар­монические колебания, равна

Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические коле­бания под действием упругой силы F, равна

Сложив (141.3) и (141.5), получим форму­лу для полной энергии:

Полная энергия остается постоянной, так как при гармонических колебаниях спра­ведлив закон сохранения механической энергии, поскольку упругая сила консер­вативна.

Из формул (141.4) и (141.6) следует, что Т и П изменяются с частотой 2₀, т. е. с частотой, которая в два раза превы­шает частоту гармонического колебания.

На рис. 200 представлены графики зави­симости х, Т и П от времени. Так как <sin²>= <cos²a>=¹/₂, то из формул (141.3), (141.5) и (141.7) следует, что <Т> = <П>=¹/₂E.

Дифракция света

Дифракция – огибание светом препятствий. Свет огибает припятствия и наблюдается интерферецион. картина на границе сред. Т-ия дифракции света Френеля. Качественная теория позволяющая рассчи-тывать дифракцию света через неоднородные среды.

При рассм. дифракции света Френеля постулировал несколько утверждений (принципы Гюгенца-Френеля): 1.При рассм. распростр. света фронт волны можно рассм. как источник вторичных волн. 2.Вторичные волны когерентны и интерферируют между собой. 3.Мощности вторичного излучения равных по площади участков вторичной волны одинаковы.Чем больше угол α между направл. вторичного излуч. и вектором нормали к фронту волны , тем меньше мощность излучения и равна нулю при А=П/2. 4.Закрытыми непрозрачными телами участка фронта волны не излучают вторичных волн.

Дифракция плоских волн на узкой щели

Дифракционная картина- черед. яркие и тёмные полосы. Поместим экран в фокальной плоскости собирающей линзы. АВ= ширина одной зоны Френеля. при b/чётная – тёмное т.М. b/нечетная – светлая т.М .

(т.к. т. А и В – границы соседних зон Френеля тогда DB=); ;

Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и математический маятники

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описы­ваемые уравнением вида (140.6):

Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодиче­ского движения и служат точной или при­ближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики. При­мерами гармонического осциллятора яв­ляются пружинный, физический и матема­тический маятники, колебательный контур (для токов и напряжений столь малых, что элементы контура можно было бы считать линейными; см. §146).

1. Пружинный маятник — это груз мас­сой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F=-kx, где k — коэффициент упругости, в случае пружины называемый жесткостью. Уравнение движения маятника

Из выражений (142.1) и (140.1) следует, что пружинный маятник совершает гармо­нические колебания по закону х=Acos(₀t+) с циклической частотой

₀=k/m (142.2) и периодом

T=2m/k. (142.3)

Формула (142.3) справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выпол­няется закон Гука (см. (21.3)), т. е. когда масса пружины мала по сравнению с мас­сой тела.

Потенциальная энергия пружинного маятника, согласно (141.5) и (142.2), равна

П=kх²/2.

2. Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси подвеса, не проходя­щей через центр масс тела (рис.201).

Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол а, то в со­ответствии с уравнением динамики враща­тельного движения твердого тела (18.3) момент М возвращающей силы можно

записать в виде

где У — момент инерции маятника относи­тельно оси, проходящей через точку О, l — расстояние между точкой подвеса и цент­ром масс маятника, F_=-mgsinmg — возвращающая сила (знак минус обусловлен тем, что направления F_ и  всегда противоположны; sin соответствует малым колебаниям маятни­ка, т. е. малым отклонениям маятника из положения равновесия).

Уравнение (142.4) можно записать в виде

Принимая

₀=mgl/J. (142.5) получим уравнение

идентичное с (142.1), решение которого (140.1) известно:

=₀cos(₀t+). (142.6)

Из выражения (142.6) следует, что при малых колебаниях физический маят­ник совершает гармонические колебания с циклической частотой ₀ (см (142.5)) и периодом

Т = 2/₀=2J/(mgl)=2L/g.

(142.7)

где L = J/(ml) — приведенная длина физи­ческого маятника.

Точка О' на продолжении прямой ОС, отстоящая от оси подвеса на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника (рис. 201). Применяя теорему Штейнера (16.1), по­лучим

т. е. ОО' всегда больше ОС. Точка подвеса О и центр качаний О' обладают свойством взаимозаменяемости: если ось подвеса пе­ренести в центр качаний, то точка О пре­жней оси подвеса станет новым центром качаний и период колебаний физического маятника не изменится.

3, Математический маятник— это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешен­ной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тя­жести. Хорошим приближением математи­ческого маятника является небольшой тя­желый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити.

Момент инерции математического маятника J=ml², (142.8)

где l — длина маятника.

Так как математический маятник мож­но представить как частный случай физи­ческого маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке — центре масс, то, подставив выражение (142.8) в формулу (142.7), получим вы­ражение для периода малых колебаний математического маятника

T=2l/g. (142.9)

Сравнивая формулы (142.7) и (142.9), видим, что если приведенная длина L фи­зического маятника равна длине l матема­тического маятника, то их периоды коле­баний одинаковы. Следовательно, приве­денная длина физического маятника — это длина такого математического маятни­ка, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физическо­го маятника.

Эффект Доплера в акустике

Эффектом Доплера называется измене­ние частоты колебаний, воспринимаемой приемником, при движении источника этих колебаний и приемника друг относительно друга. Например, из опыта известно, что тон гудка поезда повышается по мере его приближения к платформе и понижается при удалении, т. е. движение источника колебаний (гудка) относительно приемни­ка (уха) изменяет частоту принимаемых колебаний.

Для рассмотрения эффекта Доплера предположим, что источник и приемник звука движутся вдоль соединяющей их прямой; v_ист и v_пр — соответственно ско­рости движения источника и приемника, причем они положительны, если источ­ник (приемник) приближается к приемни­ку (источнику), и отрицательны, если уда­ляется. Частота колебаний источника рав­на v₀.

1. Источник и приемник покоятся от­носительно среды, т.е. v_ист=v_пр=0. Если v — скорость распространения звуковой волны в рассматриваемой среде, то длина волны =vT=v/v₀. Распространяясь в среде, волна достигнет приемника и вы­зовет колебания его звукочувствительного элемента с частотой

=v/=v/(vT)=₀

Следовательно, частота v звука, которую зарегистрирует приемник, равна частоте ₀, с которой звуковая волна излучается источником.

2. Приемник приближается к источни­ку, а источник покоится, т.е. v_пр>0, v_ист=0. В данном случае скорость распро­странения волны относительно приемника станет равной v+v_пр. Так как длина во­лны при этом не меняется, то

т. е. частота колебании, воспринимаемых приемником, в (v+v_пр)/v раз больше частоты колебаний источника.

3. Источник приближается к приемни­ку, а приемник покоится, т.е. v_ист>0, v_пр=0. Скорость распространения колеба­ний зависит лишь от свойств среды, поэто­му за время, равное периоду колебаний источника, излученная им волна пройдет в направлении к приемнику расстояние vT (равное длине волны Я) независимо от того, движется ли источник или покоится. За это же время источник пройдет в на­правлении волны расстояние v_истT (рис.224), т.е. длина волны в направле­нии движения сократится и станет равной '=-v_истТ=(v-v_ист)Т, тогда

т. е. частота v колебаний, воспринимаемых приемником, увеличится в v/(v-v_ист) раз. В случаях 2 и 3, если v_ист<0 и v_пр<0, знак будет обратным.

4. Источник и приемник движутся от­носительно друг друга. Используя резуль­таты, полученные для случаев 2 и 3, можно записать выражение для частоты колеба­ний, воспринимаемых источником:

причем верхний знак берется, если при движении источника или приемника про­исходит их сближение, нижний знак — в случае их взаимного удаления.

Из приведенных формул следует, что эффект Доплера различен в зависимости от того, движется ли источник или при­емник. Если направления скоростей v_пр и v_ист не совпадают с проходящей через источник и приемник прямой, то вместо этих скоростей в формуле (159.1) надо брать их проекции на направление этой прямой.

Методы наблюдения интерференции света

Для осуществления интерференции света необходимо получить когерентные свето­вые пучки, для чего применяются различ­ные приемы. До появления лазеров (см. § 233) во всех приборах для наблюде­ния интерференции света когерентные пучки получали разделением и последую­щим сведением световых лучей, исходя­щих из одного и того же источника. Прак­тически это можно осуществить с по­мощью экранов и щелей, зеркал и пре­ломляющих тел. Рассмотрим некоторые из этих методов.

1. Метод Юнга. Источником света слу­жит ярко освещенная щель S (рис.245), от которой световая волна падает на две узкие равноудаленные щели S₁ и S₂, па­раллельные щели S. Таким образом, щели S₁ и S₂ играют роль когерентных источни­ков. Интерференционная картина (об­ласть ВС) наблюдается на экране (Э), расположенном на некотором расстоянии параллельно S₁ и S₂. Как уже указывалось (см. §171), Т. Юнгу принадлежит первое наблюдение явления интерференции.

3. Зеркала Френеля. Свет от источника S (рис. 246) падает расходящимся пучком на два плоских зеркала А₁О и A₂O, распо­ложенных относительно друг друга под углом, лишь немного отличающимся от 180° (угол  мал). Учитывая правила по­строения изображения в плоских зерка­лах, можно показать, что и источник, и его изображения S₁ и S₂ (угловое расстояние

между которыми равно 2) лежат на од­ной и той же окружности радиуса r с цент­ром в О (точка соприкосновения зеркал). Световые пучки, отразившиеся от обо­их зеркал, можно считать выходящими из

мнимых источников S₁ и S₂, являющихся

мнимыми изображениями S в зеркалах. Мнимые источники S₁ и S₂ взаимно коге­рентны, и исходящие из них световые пуч­ки, встречаясь друг с другом, интерфери­руют в области взаимного перекрывания (на рис. 246 она выполнена зеленым цве­том). Можно показать, что максимальный угол расхождения перекрывающихся пуч­ков не может быть больше 2. Интерфе­ренционная картина наблюдается на экра­не (Э), защищенном от прямого попадания света заслонкой (3).

3. Бипризма Френеля. Она состоит из двух одинаковых, сложенных основаниями призм с малыми преломляющими углами. Свет от источника S (рис. 247) преломля­ется в обеих призмах, в результате чего за бипризмой распространяются световые лу­чи, как бы исходящие из мнимых источни-

ков S₁ и S₂, являющихся когерентными. Таким образом, на поверхности экрана (в области, выполненной в цвете) про­исходит наложение когерентных пучков и наблюдается интерференция.

4. Расчет интерференционной картины от двух источников. Расчет интерференци­онной картины для рассмотренных выше методов наблюдения интерференции света можно провести используя две узкие па­раллельные щели, расположенные доста­точно близко друг к другу (рис. 248). Ще­ли S₁ и S₂ находятся на расстоянии d друг от друга и являются когерентными (реаль­ными или мнимыми изображениями источ­ника S в какой-то оптической системе) источниками света. Интерференция на­блюдается в произвольной точке А экрана, параллельного обеим щелям и располо­женного от них на расстоянии l, причем l>>d. Начало отсчета выбрано в точке О, симметричной относительно щелей.

Интенсивность в любой точке А экра­на, лежащей на расстоянии х от О, опре­деляется оптической разностью хода =s₂ -s₁ (см. §172). Из рис.248 имеем

s²₂= l²+(x+d/2)²; s²₁= l²+(x-d/2)²,

откуда

s²₂-s²₁=2xd,

или

=s₂ -s₁=2xd/(s₁+s₂).

Из условия l>>d следует, что s₁+s₂2l, поэтому

=xd/l. (173.1) Подставив найденное значение 

(173.1) в условия (172.2) и (172.3), полу­чим, что максимумы интенсивности будут наблюдаться при

х_max=±т(l/d)₀ (m = 0, 1, 2,. . .),

(173.2) а минимумы — при

x_min=±(m+1/2)(l/d)₀ (m = 0, 1, 2,...).

(173.3)

Расстояние между двумя соседними максимумами (или минимумами), называ­емое шириной интерференционной полосы, равно

x=(l/d)₀. (173.4)

x; не зависит от порядка интерференции (величины m) и является постоянной для данных l, d и ₀. Согласно формуле (173.4), x: обратно пропорционально d; следовательно, при большом расстоянии между источниками, например при dl, отдельные полосы становятся неразличи­мыми. Для видимого света ₀10^-7м, поэтому четкая доступная для визуально­го наблюдения интерференционная карти­на имеет место при l>>d (это условие и принималось при расчете). По измерен­ным значениям l, d и х, используя (173.4), можно экспериментально опреде­лить длину световой волны. Из выражений (173.2) и (173.3) следует, таким образом, что интерференционная картина, создава­емая на экране двумя когерентными источниками света, представляет собой чередование светлых и темных полос, па­раллельных друг другу. Главный макси­мум, соответствующий m=0, проходит че­рез точку О. Вверх и вниз от него на равных расстояниях друг от друга распо­лагаются максимумы (минимумы) первого (m=1), второго (m=2) порядков и т. д. Описанная картина, однако, справедлива лишь при освещении монохроматическим светом (₀=const). Если использовать бе­лый свет, представляющий собой непре­рывный набор длин волн от 0,39 мкм (фио­летовая граница спектра) до 0,75 мкм (красная граница спектра), то интерференционные максимумы для каждой длины волны будут, согласно формуле (173.4), смещены друг относительно друга и иметь вид радужных полос. Только для m=0 максимумы всех длин волн совпадают и в середине экрана будет наблюдаться белая полоса, по обе стороны которой симметрично расположатся спектрально окрашенные полосы максимумов первого, второго порядков и т. д. (ближе к белой полосе будут находиться зоны фиолетово­го цвета, дальше — зоны красного цвета).

Метод зон Френеля. Прямолинейное распространение света(дифракция плоских волн на узкой щели)

Принцип Гюйгенса — Френеля в рамках волновой теории должен был ответить на вопрос о прямолинейном распространении света. Френель решил эту задачу, рас­смотрев взаимную интерференцию вторич­ных волн и применив прием, получивший название метода зон Френеля.

Найдем в произвольной точке М ам­плитуду световой волны, распространяю­щейся в однородной среде из точечного источника S (рис. 257). Согласно принци­пу Гюйгенса — Френеля, заменим дейст­вие источника S действием воображаемых

источников, расположенных на вспомога­тельной поверхности Ф, являющейся по­верхностью фронта волны, идущей из S (поверхность сферы с центром S). Фре­нель разбил волновую поверхность Ф на кольцевые зоны такого размера, чтобы расстояния от краев зоны до М отлича­лись на /2, т. е. Р₁М-Р₀М=Р₂М -Р₁М=Р₃М-Р₂М=...=/2. Подобное разбиение фронта волны на зоны можно выполнить, проведя с центром в точке М

сферы радиусами b+/2, b+2/2, b+3/2,

..., b+m/2. Так как колебания от сосед­них зон проходят до точки М расстояния, отличающиеся на /2, то в точку М они приходят в противоположной фазе и при наложении эти колебания будут взаимно ослаблять друг друга. Поэтому амплитуда результирующего светового колебания в точке М

А=А₁-А₂+А₃-А₄+...±А_т,

(177.1)

где А₁, А₂, ..., А_m — амплитуды колебаний, возбуждаемых 1-й, 2-й, ..., m-й зонами.

Для оценки амплитуд колебаний най­дем площади зон Френеля. Внешняя гра­ница m-й зоны выделяет на волновой по­верхности сферический сегмент высоты h_m (рис. 258). Обозначив площадь этого сег­мента через _m, найдем, что площадь m-й зоны Френеля равна _m=_m-_m-1 где _m=1 — площадь сферического сегмен­та, выделяемого внешней границей (т-1)-й зоны. Из рисунка следует, что

r²_m= а²-(а-h_m)²=(b+m/2)²-(b+h_m)².

(177.2) После элементарных преобразований, учитывая,

что <<а и <<b, получим

h_m=bm/2(a+b) (177.3)

Площадь сферического сегмента

_m=2nh_m=abm/(a+b),

а площадь m-й зоны Френеля

_m=_m-_m-1=ab/(a+b). (177.4)

Выражение (177.4) не зависит от m; сле­довательно, при не слишком больших от площади зон Френеля одинаковы. Та­ким образом, построение зон Френеля раз­бивает волновую поверхность сферической волны на равные зоны.

Согласно предположению Френеля, действие отдельных зон в точке М тем меньше, чем больше угол _m (рис. 258) между нормалью n к поверхности зоны и направлением на М, т. е. действие зон постепенно убывает от центральной (око­ло P₀) к периферическим (до нуля). Кроме того, интенсивность излучения в направле­нии точки М уменьшается с ростом т и вследствие увеличения расстояния от зоны до точки М. Учитывая оба этих фак­тора, можем записать

A₁>A₂>A₃>A₄>... .

Общее число зон Френеля, умещаю­щихся на полусфере, очень велико; напри­мер, при а=b=10 см и =0,5 мкм N=2a²/ab(a+b)=8•10⁵. Поэтому в качестве допустимого приближения можно счи­тать, что амплитуда колебания А_т от неко­торой m-й зоны Френеля равна среднему арифметическому от амплитуд примыкаю­щих к ней зон, т. е.

A_m=(A_m-1+A_m+1)/2. (177.5)

Тогда выражение (177.1) можно записать в виде

так как выражения, стоящие в скобках, согласно (177.5), равны нулю, а оставша­яся часть от амплитуды последней зоны ± А_т/2 ничтожно мала.

Таким образом, амплитуда, создавае­мая в произвольной точке М сферической волновой поверхностью, равна половине амплитуды, создаваемой одной централь­ной зоной. Следовательно, действие всей волновой поверхности на точку М сводит­ся к действию ее малого участка, меньше­го центральной зоны.

Если в выражении (177.2) положим, что высота сегмента h_m<<a (при не слиш­ком больших т), тогда r²_m=2ah_m. Под­ставив сюда значение (177.3), найдем ра­диус внешней границы m-й зоны Френеля:

r_m=(abm/(a+b)). (177.7)

При а = b=10 см и =0,5 мкм радиус первой (центральной) зоны r₁=0,158 мм. Следовательно, распростра­нение света от S к М происходит так, будто световой поток распространяется внутри очень узкого канала вдоль SM, т. е. прямолинейно. Таким образом, принцип Гюйгенса — Френеля позволяет объяснить прямолинейное распростране­ние света в однородной среде.

Правомерность деления волнового фронта на зоны Френеля подтверждена экспериментально. Для этого используют­ся зонные пластинки — в простейшем слу­чае стеклянные пластинки, состоящие из системы чередующихся прозрачных и не­прозрачных концентрических колец, по­строенных по принципу расположения зон Френеля, т. е. с радиусами r_m зон Френеля, определяемыми выражением (177.7) для определенных значений а, b и  (m=0, 2, 4, ... для прозрачных и m=1, 3, 5, ... для непрозрачных колец). Если поместить зон­ную пластинку на расстоянии а от то­чечного источника и на расстоянии b от точки наблюдения на линии, соединяющей эти две точки, то для света длиной волны  она перекроет четные зоны и оставит сво­бодными нечетные начиная с центральной. В результате этого результирующая ам­плитуда А=А₁+A₃+A₅+ ... должна быть больше, чем при полностью открытом

фронте. Действительно, на опыте зонная пластинка во много раз увеличивает ин­тенсивность света в точке М, действуя подобно собирающей линзе.

Кольца Ньютона

Кольца Ньютона, явля­ющиеся классическим примером полос равной толщины, наблюдаются при отражении света от воздушного зазора, образованного плоскопа­раллельной пластинкой и соприкасающейся с ней плосковыпуклой линзой с большим радиу­сом кривизны (рис. 252). Параллельный пучок света падает нормально на плоскую повер­хность линзы и частично отражается от верхней и нижней поверхностей воздушного зазора меж­ду линзой и пластинкой. При наложении отра­женных лучей возникают полосы равной толщи­ны, при нормальном падении света имеющие вид концентрических окружностей.

В отраженном свете оптическая разность хода (с учетом потери полуволны при отра­жении), согласно (174.1), при условии, что показатель преломления воздуха n=1, а i=0,

=2d+₀/2,

где d — ширина зазора. Из рис. 252 следует, что R²=(R-d)²+r², где R — радиус кривизны линзы, r — радиус кривизны окружности, всем точкам которой соответствует одинаковый зазор d. Учитывая, что d мало, получим d = r²/(2R). Следовательно,

= r²/R+₀/2. (174.4)

Приравняв (174.4) к условиям максимума (172.2) и минимума (172.3), получим выраже­ния для радиуса m-го светлого кольца

r_m=((m-^l/₂)₀R) (m=1, 2, 3,...)

и радиуса m-го темного кольца

Измеряя радиусы соответствующих колец, мож­но (зная радиус кривизны линзы R) определить ₀ и, наоборот, по известной ₀ найти радиус кривизны линзы R.

Как для полос равного наклона, так и для полос равной толщины положение максимумов зависит от длины волны ₀ (см. (174.2)). Поэтому система светлых и темных полос получается только при освещении монохроматическим светом. При наблюдении в белом свете получается совокупность смещенных друг относитель­но друга полос, образованных лучами раз­ных длин волн, и интерференционная кар­тина приобретает радужную окраску. Все рассуждения были проведены для отра­женного света. Интерференцию можно на­блюдать и в проходящем свете, причем в данном случае не наблюдается потери полуволны. Следовательно, оптическая разность хода для проходящего и отра­женного света отличатся на ₀/2, т. е. мак­симумам интерференции в отраженном свете соответствуют минимумы в проходя­щем, и наоборот.

Понятие о голографии

Голография (от греч. «полная запись») — особый способ записи и последующего восстановления волнового поля, основан­ный на регистрации интерференционной картины. Она обязана своим возникнове­нием законам волновой оптики — законам интерференции и дифракции.

Этот принципиально новый способ фиксирования и воспроизведения про­странственного изображения предметов изобретен английским физиком Д. Габором (1900—1979) в 1947 г. (Нобелевская премия 1971 г.). Экспериментальное во­площение и дальнейшая разработка этого способа (советским ученым Ю. Н. Денисюком в 1962 г. и американскими физика­ми Э. Лейтом и Ю. Упатниексом в 1963 г.) стали возможными после появления в 1960 г. источников света высокой степе­ни когерентности — лазеров (см. § 233).

Рассмотрим элементарные основы принципа голографии, т. е. регистрации и восстановления информации о предмете. Для регистрации и восстановления волны необходимо уметь регистрировать и вос­станавливать амплитуду и фазу идущей от предмета волны. Это в принципе возможно, так как распределение интенсивности в интерференционной картине, описы­ваемое формулой (144.2), A²=A²₁+A²₂+2А₁А₂cos(₂-₁) (учитывая, что I~А²), определяется как амплитудой

интерферирующих волн, так и разностью их фаз. Поэтому для регистрации как фазовой, так и амплитудной информа­ции кроме волны, идущей от предмета (так называемой предметной волны), ис­пользуют еще когерентную с ней волну, идущую от источника света (так называе­мую опорную волну). Идея голографирования состоит в том, что фотографируется распределение интенсивности в интерфе­ренционной картине, возникающей при су­перпозиции волнового поля объекта и ко­герентной ему опорной волны известной фазы. Последующая дифракция света на зарегистрированном распределении почер­нений в фотослое восстанавливает волно­вое поле объекта и допускает, изучение этого поля при отсутствии объекта.

Практически эта идея может быть осу­ществлена с помощью принципиальной схемы, показанной на рис. 267, а. Лазер­ный пучок делится на две части, причем

одна его часть отражается зеркалом на фотопластинку (опорная волна), а вторая попадает на фотопластинку, отразившись от предмета (предметная волна). Опорная и предметная волны, являясь когерентны­ми и накладываясь друг на друга, образу­ют на фотопластинке интерференционную картину. После проявления фотопластин­ки и получается голограмма — зарегистри­рованная на фотопластинке интерферен­ционная картина, образованная при сло­жении опорной и предметной волн.

Для восстановления изображения (рис. 267, б) голограмма помещается в то же самое положение, где она находилась до регистрации. Ее освещают опорным пуч­ком того же лазера (вторая часть лазер­ного пучка перекрывается диафрагмой). В результате дифракции света на интер­ференционной структуре голограммы вос­станавливается копия предметной волны, образующая объемное (со всеми присущи­ми предмету свойствами) мнимое изобра­жение предмета, расположенное в том мес­те, где предмет находился при голографировании. Оно кажется настолько реальным, что его хочется потрогать. Кроме того, вос­станавливается еще действительное изобра­жение предмета, имеющее рельеф, обрат­ный рельефу предмета, т.е. выпуклые места заменены вогнутыми, и наоборот (если на­блюдение ведется справа от голограммы).

Обычно пользуются мнимым голографическим изображением, которое по зри­тельному восприятию создает полную ил­люзию существования реального предме­та. Рассматривая из разных положений объемное изображение предмета, давае­мое голограммой, можно увидеть более удаленные предметы, закрытые более близкими из них (заглянуть за ближние предметы). Это объясняется тем, что, пе­ремещая голову в сторону, мы восприни­маем изображение, восстановленное от пе­риферической части голограммы, на кото­рую при экспонировании падали также и лучи, отраженные от скрытых предметов. Голограмму можно расколоть на несколь­ко кусков. Но даже малая часть голограм­мы восстанавливает полное изображение. Однако уменьшение размеров голограммы приводит к ухудшению четкости получае-

мого изображения. Это объясняется тем, что голограмма для опорного пучка слу­жит дифракционной решеткой, а при уменьшении числа штрихов дифракцион­ной решетки (при уменьшении размеров голограммы) ее разрешающая способ­ность уменьшается.

Методы голографии (запись голограм­мы в трехмерных средах, цветное и пано­рамное голографирование и т. д.) находят все большее развитие. Применения голог­рафии разнообразны, но наиболее важные, приобретающие все большее значение, яв­ляются запись и хранение информации.

Методы голографии позволяют записы­вать в сотни раз больше страниц печатно­го текста, чем методы обычной микрофо­тографии. По подсчетам, на фотопластин­ку размером 32x32 мм можно записать 1024 голограммы (площадь каждой из них 1 мм²), т. е. на одной фотопластинке мож­но «разместить» книгу объемом свыше тысячи страниц. В качестве будущих раз­работок могут служить ЭВМ с голографической памятью, голографический элек­тронный микроскоп, голографические кино и телевидение, голографическая интерфе­рометрия и т. д.

Рассеивание света

Существуют среды содержащие боьшое число мельчаших инородных частиц

Они хаотично распределены Такие среды назыв мутными(дым, туман, коллоидные растворы).

Свет рассеиваится на неодноростях этой среды при прохождении через эту среду. Если r>> то легче всего описывать рассеивание света где r расстояние между частицами среды

При этом каждая инородная частица среды рассеивает свет по всем направлениям. Законы убывания интенсивности света описываются законом Бугера. Если размеры d<< то тогда интенсивность рассеивания света отдельно взятой частицы подчиняется закона Релейя

Iрасс ~ 1/⁴

Рассеивание света обуславливает хаотическое тепловое движении в-ва благодаря которому число молекул небольших объемов сравнимы с  - света оказывается случайной величиеной При этом коэфф преломления пунктуирует и поэтому происходит рассеивание света В таких средах рассеивание подчиняется з-ну Релея Такое рассеивание света называется молекулярным

Давление света

Рассчитаем с точки зрения квантовой теории световое давление, оказываемое на поверхность тела потоком монохроматиче­ского излучения (частота ), падающего перпендикулярно поверхности. Если в еди­ницу времени на единицу площади повер­хности тела падает N фотонов, то при коэффициенте отражения  света от по­верхности тела N фотонов отразится, а (1—)N — поглотится. Каждый погло­щенный фотон передает поверхности им­пульс _=h/c, а каждый отраженный — 2p_=2h/c (при отражении импульс фо­тона изменяется на -р_). Давление света на поверхность равно импульсу, который передают поверхности в 1 с N фотонов:

р =(2h/c)N+(h/c)(1-)N=(1+)(h/c)N.

Nh=E_e есть энергия всех фотонов, падающих на единицу поверхности в еди­ницу времени, т. е. энергетическая осве­щенность поверхности (см. § 168), а E_e/c=w — объемная плотность энергии излучения. Поэтому давление, производи­мое светом при нормальном падении на поверхность,

р =(E_e/c)(1+)=w(1+). (205.3) с

Формула (205.3), выведенная на осно­ве квантовых представлений, совпадаетс выражением, получаемым из электромаг­нитной (волновой) теории Максвелла (см. § 163). Таким образом, давление све­та одинаково успешно объясняется и во­лновой, и квантовой теорией. Как уже говорилось (см. § 163), экспериментальное доказательство существования светового давления на твердые тела и газы дано в опытах П. Н. Лебедева, сыгравших в свое время большую роль в утверждении теории Максвелла. Лебедев использовал легкий подвес на тонкой нити, по краям которого прикреплены легкие крылышки, одни из которых зачернены, а поверхности других зеркальные. Для исключения кон­векции и радиометрического эффекта (см. § 49) использовалась подвижная система зеркал, позволяющая направлять свет на обе поверхности крылышек,подвес помещался в откачанный баллон, кры­лышки подбирались очень тонкими (чтобы температура обеих поверхностей была одинакова). Значение светового давления на крылышки определялось по углу за­кручивания нити подвеса и совпадало с те­оретически рассчитанным. В частности, оказалось, что давление света на зеркаль­ную поверхность вдвое больше, чем на зачерненную (см. (205.3)).

Уравнение бегущей волны. Фазовая скорость. Волновое уравнение

Бегущими волнами называются волны, ко­торые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии в волнах количественно характеризуется вектором плотности по­тока энергии. Этот вектор для упругих волн называется вектором Умова (по име­ни русского ученого Н. А. Умова (1846— 1915), решившего задачу о движении энергии в среде). Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии, пере­носимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распро­странения волны.

Для вывода уравнения бегущей во­лны — зависимости смещения колеблю­щейся частицы от координат и времени — рассмотрим плоскую волну, предполагая, что колебания носят гармонический ха­рактер, а ось х совпадает с направлением распространения волны (рис. 220). В дан­ном случае волновые поверхности перпен­дикулярны оси х, а так как все точки волновой поверхности колеблются одина­ково, то смещение  будет зависеть только от х и t, т. е. =(х, t).

На рис. 220 рассмотрим некоторую частицу среды В, находящуюся от источ­ника колебаний О на расстоянии х. Если колебания точек, лежащих в плоскости х=0, описываются функцией (0, t)=Аcost, то частица среды В колеблется по тому же закону, но ее колебания будут отставать по времени от колебаний источ­ника на т, так как для прохождения во­лной расстояния х требуется время =x/v, где v — скорость распространения волны. Тогда уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости х, имеет вид

(x,t)=Acos(t-x/v), (154.1)

откуда следует, что (х, t) является не только периодической функцией времени, но и периодической функцией координаты х. Уравнение (154.1) есть уравнение бегу­щей волны. Если плоская волна распро­страняется в противоположном направлении, то

(х, t)=A cos(t+x/v).

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль поло­жительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид

(x,t)=Acos[(t -х/v)+₀], (154.2)

где А=const — амплитуда волны,  — циклическая частота волны, ₀ — началь­ная фаза колебаний, определяемая в об­щем случае выбором начал отсчета х и t, [(t-x/v)+₀]—фаза плоской волны.

Для характеристики волн использует­ся волновое число

k=2/=2/vT=/v. (154.3) Учитывая (154.3), уравнению (154.2) можно придать вид

(x,t)=Acos(t-kх+₀). (154.4)

Уравнение волны, распространяющейся вдоль отрицательного направления оси х, отличается от (154.4) только знаком чле­на kx.

Основываясь на формуле Эйлера (140.7), уравнение плоской волны можно записать в виде

(x,t)=Ae^{i(t-kx+0)},

где физический смысл имеет лишь дей­ствительная часть (см. § 140).

Предположим, что при волновом про­цессе фаза постоянна, т. е.

(t-x/v)+₀=const. (154.5) Продифференцировав выражение (154.5) и сократив на , получим

dt-(1/v)dx=0, откуда

dx/dt=v. (154.6)

Следовательно, скорость v распростране­ния волны в уравнении (154.6) есть не что иное, как скорость перемещения фазы во­лны, и ее называют фазовой скоростью.

Повторяя ход рассуждений для плоской волны, можно доказать, что урав­нение сферической волны — волны, волновые поверхности которой имеют вид кон­центрических сфер, записывается как

(r,t)=A₀/rcos(t-kr+₀), (154.7)

где r — расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды. В случае сферической волны даже в среде, не по­глощающей энергию, амплитуда колеба­ний не остается постоянной, а убывает с расстоянием по закону 1/r. Уравнение (154.7) справедливо лишь для r, значи­тельно превышающих размеры источника (тогда источник колебаний можно считать точечным).

Из выражения (154.3) вытекает, что фазовая скорость

v=/k. (154.8)

Если фазовая скорость волн в среде за­висит от их частоты, то это явление на­зывают дисперсией волн, а среда, в кото­рой наблюдается дисперсия волн, называ­ется диспергирующей средой.

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описы­вается волновым уравнением — диффе­ренциальным уравнением в частных про­изводных

где v — фазовая скорость, =д²/дx² +д²/дy²+д²/дz² — оператор Лапласа. Решением уравнения (154.9) является урав­нение любой волны. Соответствующей под­становкой можно убедиться, что уравне­нию (154.9) удовлетворяют, в частности, плоская волна (см. (154.2)) и сфериче­ская волна (см. (154.7)). Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид

Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения

Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания не­обходимо сложить. Сложим гармониче­ские колебания одного направления и оди­наковой частоты

воспользовавшись методом вращающего­ся вектора амплитуды (см. § 140). Постро­им векторные диаграммы этих колебаний (рис.203). Так как векторы a1 и А2 вра­щаются с одинаковой угловой скоростью ₀, то разность фаз (₂-₁) между ними остается постоянной.

Очевидно, что уравнение результирую-

щего колебания будет

х=х₁+х₂=Аcos(₀t+). (144.1)

В выражении (144.1) амплитуда А и начальная фаза  соответственно за­даются соотношениями

Таким образом, тело, участвуя в двух гар­монических колебаниях одного направле­ния и одинаковой частоты, совершает так­же гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (₂-₁) складываемых ко­лебаний.

Проанализируемвыражение (144.2) в зависимости от разности фаз (₂-₁):

1) ₂-₁=±2m (m = 0, 1, 2,...), тог­да A=A₁+A₂, т.е. амплитуда результирующего колебания А равна сумме ампли­туд складываемых колебаний;

2) ₂-₁= ±(2m+1) (m=0, 1, 2,...), тогда A = │A₁-A₂│, т.е. амплиту­да результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых коле­баний.

Для практики особый интерес пред­ставляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового на­правления мало отличаются по частоте. В результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически из­меняющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, возника­ющие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называ­ются биениями.

Биения

Пусть амплитуды складываемых коле­баний равны А, а частоты равны  и +, причем <<. Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колеба­ний были равны нулю:

Складывая эти выражения и учитывая, что во втором сомножителе /2<<, найдем

Получившееся выражение есть произведе­ние двух колебаний. Так как <<, то сомножитель, стоящий в скобках, почти не изменяется, когда сомножитель cost со­вершит несколько полных колебаний. По­этому результирующее колебание х мож­но рассматривать как гармоническое

с частотой , амплитуда А_б, которого изме­няется по следующему периодическому за­кону:

Частота изменения A_б, в два раза боль­ше частоты изменения косинуса (так как берется по модулю), т.е. частота биений равна разности частот складываемых ко­лебаний: _б=. Период биений

T_б=2/.

Характер зависимости (144.3) показан на рис. 204, где сплошные жирные линии да­ют график результирующего колебания (144.3), а огибающие их — график мед­ленно меняющейся по уравнению (144.4) амплитуды.

Определение частоты тона (звука оп­ределенной высоты (см. §158)) биений между эталонным и измеряемым колеба­ниями — наиболее широко применяемый на практике метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений ис­пользуется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т. д.

Любые сложные периодические коле­бания s=f(t) можно представить в виде суперпозиции одновременно совершаю­щихся гармонических колебаний с различ­ными амплитудами, начальными фазами, а также частотами, кратными циклической частоте _0:

Представление периодической функции в виде (144.5) связывают с понятием гар­монического анализа сложного периодиче­ского колебания, или разложения Фурье.

Члены ряда Фурье, определяющие гармо­нические колебания с частотами ₀, 2₀, 3₀,..., называются первой (или основной),

второй, третьей и т. д. гармониками слож­ного периодического колебания.

Сферические волны

Пусть в упруг срде имеется пульсир сфера с радиусом R

очевидно что фронт этой волны представл сфер поверхность такие волны назыв сферическими.

Выражен опис сфер волны:

S в точке :

вроцессе распр свер волны за ед –цу времени по мере удаления волны от источника волны вовлек все возрастающие объёмы среды:

убывание амплитуды по з – ну

амплитуда не убыв с расстоянием в отлич от сфер волны

c – имеет смысл смещ S при r=1. S – смещ точки среды при прохожд сферич волны на расстояние r.

Плоская волна, волна, в которой всем точкам, лежащим в любой плоскости, перпендикулярной к направлению её распространения, в каждый момент соответствуют одинаковые смещения и скорости частиц среды (для механических волн) или одинаковые напряжённости электрических и магнитных полей (для электромагнитных волн). Строго говоря, ни одна реальная волна не является П. в., так как распространяющаяся вдоль оси х   П. в. должна охватывать всю область пространства, простирающуюся по координатам у и z от — до +. Однако во многих случаях можно указать такой ограниченный по у и z участок волны, на котором она почти совпадает с П. в. Прежде всего это возможно в свободном пространстве на достаточно больших расстояниях от источника, когда его можно рассматривать как точечный. Иногда волна, распространяющаяся в ограниченной области, может приблизительно совпадать с «участком плоской волны» (например, упругая волна, распространяющаяся в стержне).

Стоячие волны

Особым случаем интерференции являются стоячие волны — это волны, образующие­ся при наложении двух бегущих волн, рас­пространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами. Для вывода уравнения стоячей волны предположим, что две плоские волны рас­пространяются навстречу друг другу вдоль оси х в среде без затухания, причем обе волны характеризуются одинаковыми амплитудами и частотами. Кроме того, начало координат выберем в точке, в кото­рой обе волны имеют одинаковую фазу, а отсчет времени начнем с момента, когда фазы обеих волн равны нулю. Тогда соответственно уравнения волны, распро­страняющейся вдоль положительного на­правления оси х, и волны, распространяю­щейся ей навстречу, будут иметь вид

Сложив эти уравнения и учитывая, что k= 2/ (см. (154.3)), получим уравнение стоячей волны:

Из уравнения стоячей волны (157.2) вытекает, что в каждой точке этой волны происходят колебания той же частоты  с амплитудой А_ст=|2Аcos(2х/)|, зави­сящей от координаты х рассматриваемой точки.

В точках среды, где

2x/=±m (m=0, 1, 2, ...), (157.3)

амплитуда колебаний достигает макси­мального значения, равного 2 А. В точках среды, где

2x/=±(m+1/2) (m=0,1,2,...),

(157.4)

амплитуда колебаний обращается в нуль. Точки, в которых амплитуда колебаний максимальна (A_ст=2А), называются пучностями стоячей волны, а точки, в ко­торых амплитуда колебаний равна нулю (A_ст=0), называются узлами стоячей во­лны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают.

Из выражений (157.3) и (157.4) полу­чим соответственно координаты пучностей и узлов:

х₀=±т/2 (m=0, 1,2, ...), (157.5)

х_узл=±(т+1/2)/2 (m=0, 1, 2, ...).

(157.6)

Из формул (157.5) и (157.6) следует, что расстояния между двумя соседними пуч­ностями и двумя соседними узлами одина­ковы и равны /2. Расстояние между соседними пучностью и узлом стоячей волны равно /4.

В отличие от бегущей волны, все точки которой совершают колебания с одинако­вой амплитудой, но с запаздыванием по фазе (в уравнении (157.1) бегущей волны фаза колебаний зависит от координаты х рассматриваемой точки), все точки стоя­чей волны между двумя узлами колеблют­ся с разными амплитудами, но с одинако­выми фазами (в уравнении (157.2) стоя­чей волны аргумент косинуса не зависит от х). При переходе через узел множитель 2Аcos(2x/) меняет свой знак, поэтому фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на , т. е. точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе.

Образование стоячих волн наблюдают при интерференции бегущей и отраженной волн. Например, если конец веревки за­крепить неподвижно, то отраженная в месте закрепления веревки волна будет интерферировать с бегущей волной и об­разует стоячую волну. На границе, где происходит отражение волны, в данном случае получается узел. Будет ли на гра­нице отражения узел или пучность, за­висит от соотношения плотностей сред. Если среда, от которой происходит отра­жение, менее плотная, то в месте отраже­ния получается пучность (рис. 222, а), ес­ли более плотная — узел (рис. 222, б). Об­разование узла связано с тем, что волна, отражаясь от более плотной среды, меняет фазу на противоположную и у границы происходит сложение колебаний противо­положных направлений, в результате чего получается узел. Если же волна отражает­ся от менее плотной среды, то изменения фазы не происходит и у границы колеба­ния складываются с одинаковыми фаза­ми — получается пучность.

Если рассматривать бегущую волну, то в направлении ее распространения пе­реносится энергия колебательного движе­ния. В случае же стоячей волны переноса энергии нет, так как падающая и отражен­ная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. „Поэтому полная энергия результирующей стоячей волны, заклю-

ченной между узловыми точками, остается постоянной. Лишь в пределах расстояний, равных половине длины волны, происхо­дят взаимные превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно.

Интерференция волн

Согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов связывают с по­нятием когерентности. Волны называются

когерентными, если разность их фаз оста­ется постоянной во времени. Очевидно, что когерентными могут быть лишь волны, имеющие одинаковую частоту. При нало­жении в пространстве двух (или несколь­ких) когерентных волн в разных его точ­ках получается усиление или ослабление результирующей волны в зависимости от соотношения между фазами этих волн. Это явление называется интерференцией волн.

Рассмотрим наложение двух когерент­ных сферических волн, возбуждаемых то­чечными источниками S₁ и S₂ (рис.221), колеблющимися с одинаковыми амплиту­дой ао и частотой со и постоянной разно­стью фаз. Согласно (154.7),

где r₁ и r₂ — расстояния от источников волн до рассматриваемой точки В, k — волновое число, (₁ и ₂ — начальные фазы обеих накладывающихся сферических волн. Амплитуда результирующей волны в точке В по (144.2) равна

Так как для когерентных источников разность начальных фаз (₁-₂)=const, то результат наложения двух волн в различных точках зависит от величи­ны = r₁-r₂, называемой разностью хо­да волн.

В точках, где

k(r₁-r₂)-(₁-₂)=±2m

(m=0, 1,2,...), (156.1)

наблюдается интерференционный макси­мум: амплитуда результирующего колеба­ния A=A₀/r₁+A₀/r₂. В точках, где

k(r₁- r₂)-(₁-₂)= ±(2m+1)

(m=0, 1,2,...), (156.2)

наблюдается интерференционный мини­мум: амплитуда результирующего колеба­ния А=А₀/r₁—А₀/r₂│ (m=0, 1, 2, ...,) называется соответственно порядком ин­терференционного максимума или мини­мума.

Условия (156.1) и (156.2) сводятся к тому, что

r₁-r₂=const. (156.3)

Выражение (156.3) представляет собой уравнение гиперболы с фокусами в точках S₁ и S₂. Следовательно, геометрическое место точек, в которых наблюдается уси­ление или ослабление результирующего колебания, представляет собой семейство гипербол (рис.221), отвечающих условию ₁-₂=0. Между двумя интерференци­онными максимумами (на рис. 221 сплош­ные линии) находятся интерференционные минимумы (на рис. 221 штриховые линии).

Принцип Гюйгенса — Френеля

Дифракцией называется огибание волна­ми препятствий, встречающихся на их пу­ти, или в более широком смысле — любое отклонение распространения волн вблизи препятствий от законов геометрической оптики. Благодаря дифракции волны могут попадать в область геометрической тени, огибать препятствия, проникать через не­большие отверстия в экранах и т. д. На­пример, звук хорошо слышен за углом дома, т. е. звуковая волна его огибает.

Явление дифракции объясняется с по­мощью принципа Гюйгенса (см. §170), согласно которому каждая точка, до кото­рой доходит волна, служит центром вто­ричных волн, а огибающая этих волн дает положение волнового фронта в следующий момент времени.

Пусть плоская волна нормально пада­ет на отверстие в непрозрачном экране (рис. 256). Согласно Гюйгенсу, каждая точка выделяемого отверстием участка во­лнового фронта служит источником вторичных волн (в однородной изотропной

среде они сферические). Построив огиба­ющую вторичных волн для некоторого момента времени, видим, что фронт волны заходит в область геометрической тени, т. е. волна огибает края отверстия.

Явление дифракции характерно для волновых процессов. Поэтому если свет является волновым процессом, то для него должна наблюдаться дифракция, т. е. све-

товая волна, падающая на границу како­го-либо непрозрачного тела, должна оги­бать его (проникать в область геометриче­ской тени). Из опыта, однако, известно, что предметы, освещаемые светом, иду­щим от точечного источника, дают резкую тень и, следовательно, лучи не отклоняют­ся от их прямолинейного распространения. Почему же возникает резкая тень, если свет имеет волновую природу? К сожале­нию, теория Гюйгенса ответить на этот вопрос не могла.

Принцип Гюйгенса решает лишь за­дачу о направлении распространения во­лнового фронта, но не затрагивает вопро­са об амплитуде, а следовательно, и об интенсивности волн, распространяющихся по разным направлениям. Френель вло­жил в принцип Гюйгенса физический смысл, дополнив его идеей интерференции вторичных волн.

Согласно принципу Гюйгенса — Фре­неля, световая волна, возбуждаемая ка­ким-либо источником S, может быть пред­ставлена как результат суперпозиции ко­герентных вторичных волн, «излучаемых» фиктивными источниками. Такими источ­никами могут служить бесконечно малые элементы любой замкнутой поверхности, охватывающей источник S. Обычно в ка­честве этой поверхности выбирают одну из волновых поверхностей, поэтому все фик­тивные источники действуют синфазно. Таким образом, волны, распространяющи­еся от источника, являются результатом интерференции всех когерентных вторич­ных волн. Френель исключил возможность

возникновения обратных вторичных волн и предположил, что если между источни­ком и точкой наблюдения находится не­прозрачный экран с отверстием, то на поверхности экрана амплитуда вторичных волн равна нулю, а в отверстии — такая же, как при отсутствии экрана.

Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет в каждом конкретном случае найти амплитуду (интенсивность) резуль­тирующей волны в любой точке простран­ства, т. е. определить закономерности рас­пространения света. В общем случае рас­чет интерференции вторичных волн дово­льно сложный и громоздкий, однако, как будет показано ниже, для некоторых слу­чаев нахождение амплитуды результирую­щего колебания осуществляется алгебраи­ческим суммированием.

Дифракция на пространственной решетке. Формула Вульфа — Брэггов

Рентген

Для наблюдения дифракционной картины необходимо, чтобы постоянная решетки была того же порядка, что и длина волны падающего излучения (см. (180.3)). Кристаллы, являясь трехмерными про­странственными решетками (см. §181), имеют постоянную порядка 10^-10 м и, сле­довательно, непригодны для наблюдения дифракции в видимом свете (~=5•10^-7 м). Эти факты позволили не­мецкому физику М. Лауэ (1879—1960) прийти к выводу, что в качестве естествен­ных дифракционных решеток для рентге­новского излучения можно использовать кристаллы, поскольку расстояние между атомами в кристаллах одного порядка с  рентгеновского излучения (~=10^-12―10^-8 м).

Простой метод расчета дифракции рентгеновского излучения от кристалличе­ской решетки предложен независимо друг от друга советским физиком Г. В. Вульфом (1863—1925) и английскими физиками Г. и Л. Брэггами (отец (1862—1942) и сын (1890—1971)). Они предположили, что дифракция рентгеновских лучей является результатом их отражения от системы па­раллельных кристаллографических плос­костей (плоскостей, в которых лежат узлы (атомы) кристаллической решетки).

Представим кристаллы в виде совокуп­ности параллельных кристаллографиче­ских плоскостей (рис. 264), отстоящих друг от друга на расстоянии d.

Пучок параллель­ных монохроматических рентгеновских лу­чей (1, 2) падает под углом скольжения  (угол между направлением падающих лу­чей и кристаллографической плоскостью) и возбуждает атомы кристаллической ре­шетки, которые становятся источниками когерентных вторичных волн 1'и 2', интер­ферирующих между собой, подобно вто­ричным волнам, от щелей дифракционной решетки. Максимумы интенсивности (диф­ракционные максимумы) наблюдаются в тех направлениях, в которых все отра­женные атомными плоскостями волны бу­дут находиться в одинаковой фазе. Эти направления удовлетворяют формуле Вульфа — Брэггов

2dsin=m (m=1, 2, 3, ...), (182.1)

т. е. при разности хода между двумя лучами, отраженными от соседних кри­сталлографических плоскостей, кратной целому числу длин волн , наблюдается дифракционный максимум.

При произвольном направлении паде­ния монохроматического рентгеновского излучения на кристалл дифракция не воз­никает. Чтобы ее наблюдать, надо, повора­чивая кристалл, найти угол скольжения. Дифракционная картина может быть полу­чена и при произвольном положении кри­сталла, для чего нужно пользоваться не­прерывным рентгеновским спектром, испу­скаемым рентгеновской трубкой. Тогда для таких условий опыта всегда найдутся дли­ны волн , удовлетворяющие условию (182.1).

Формула Вульфа — Брэггов использу­ется при решении двух важных задач:

1. Наблюдая дифракцию рентгенов­ских лучей известной длины волны на

кристаллической структуре неизвестного строения и измеряя  и m, можно найти межплоскостное расстояние (d), т. е. оп­ределить структуру вещества. Этот метод лежит в основе рентгеноструктурного ана­лиза. Формула Вульфа — Брэггов остает­ся справедливой и при дифракции элек­тронов и нейтронов. Методы исследования структуры вещества, основанные на диф­ракции электронов и нейтронов, называ­ются соответственно электронографией и нейтронографией.

2. Наблюдая дифракцию рентгенов­ских лучей неизвестной длины волны на кристаллической структуре при известном d и измеряя  и m, можно найти длину волны падающего рентгеновского излуче­ния. Этот метод лежит в основе рентгенов­ской спектроскопии.

Дифракция света на дифракционной решётке

Дифракционная решётка- стеклянная пластина с нанесёнными парал. царапинами (рассеивает и пропускает свет) d=a+b; a=b; d-период дифракционной решётки . Пусть плоская монохроматическая волна падает на решётку , каждая щель – источник вторичных волн. При их наложении наблюдается картина из черед. тёмных и светлых полос. Поместим между э. и д. решётки линзу ;

- ус-ие главного инте-рфер. максим. При выполнении для каждой щели – ус-ие интерф. миним. При ус-ии (1) для N щелей при их фокусировке А~АN; I~A²; I=N²I_i; I_i- интенсивность света через i- ую щель

; максим. порядок максим.

Дисперсия света

Дисперсией света называется зависимость показателя преломления n вещества от частоты v (длины волны ) света или зависимость фазовой скорости v световых волн (см. § 154) от его частоты v. Диспер­сия света представляется в виде зависи­мости

n=f(). (185.1)

Следствием дисперсии является разложе­ние в спектр пучка белого света при про­хождении его через призму. Первые экспе­риментальные наблюдения дисперсии света принадлежат И. Ньютону (1672 г.). Рассмотрим дисперсию света в призме. Пусть монохроматический пучок света па­дает на призму с показателем преломле­ния n (рис. 268) под углом ₁. После двукратного преломления (на левой и пра­вой гранях призмы) луч оказывается от­клоненным от первоначального направления на угол .

Из рисунка следует, что =(₁-₁)+(₂-₂)=₁+₂-A. (185.2)

Предположим, что углы А и ₁ малы, тогда углы ₂, ₁ и ₂ будут также малы и вместо синусов этих углов можно вос­пользоваться их значениями. Поэтому ₁/₁=n, ₂/₂=1/n, а так как ₁+₂=А, то

₂=₂n=n(А -₁)=n(А-₁/n) = nA-₁,

₁+₂=nA. (185.3)

Из выражений (185.3) и (185.2) следу­ет, что

=A(n-1), (185.4)

т. е. угол отклонения лучей призмой тем больше, чем больше преломляющий угол призмы.

Из выражения (185.4) вытекает, что угол отклонения лучей призмой зависит от величины n-1, а n — функция длины во­лны, поэтому лучи разных длин волн после прохождения призмы окажутся отклонен­ными на разные углы, т. е. пучок белого света за призмой разлагается в спектр, что и наблюдалось И. Ньютоном. Таким образом, с помощью призмы, так же как и с помощью дифракционной решетки,

разлагая свет в спектр, можно определить его спектральный состав.

Рассмотрим различия в дифракцион­ном и призматическом спектрах.

1. Дифракционная решетка разлагает падающий свет непосредственно по дли­нам волн (см. (180.3)), поэтому по изме­ренным углам (по направлениям соответ­ствующих максимумов) можно вычислить длину волны. Разложение света в спектр в призме происходит по значениям показа­теля преломления, поэтому для определе­ния длины волны света надо знать за­висимость n =f() (185.1).

2. Составные цвета в дифракционном и призматическом спектрах располагают­ся различно. Из (180.3) следует, что в дифракционной решетке синус угла от­клонения пропорционален длине волны. Следовательно, красные лучи, имеющие большую длину волны, чем фиолетовые, отклоняются дифракционной решеткой сильнее. Призма же разлагает лучи в спектр по значениям показателя пре­ломления, который для всех прозрачных веществ с увеличением длины волны моно­тонно уменьшается (рис. 269). Следова­тельно, красные лучи, имеющие меньший показатель преломления, чем фиолетовые, отклоняются призмой слабее.

Величина

D=dn/d.

называемая дисперсией вещества, показы­вает, как быстро изменяется показатель преломления с длиной волны. Из рис. 269 следует, что показатель прелом­ления для прозрачных веществ с уменьше­нием длины волны монотонно увеличивается; следовательно, величина dn/d по модулю также увеличивается с уменьшением .

Такая дисперсия называется нормаль­ной. Как будет показано ниже, ход кривой n() — кривой дисперсии — вблизи линий и полос поглощения будет иным: n умень­шается с уменьшением . Такой ход за­висимости n от  называется аномальной дисперсией.

На явлении нормальной дисперсии ос­новано действие призменных спектрогра­фов. Несмотря на их определенные недо­статки (например, необходимость градуи­ровки, различная дисперсия в разных участках спектра) при определении спек­трального состава света, призменные спектрографы находят широкое примене­ние в спектральном анализе. Это объясня­ется тем, что изготовление хороших призм значительно проще, чем изготовление хо­роших дифракционных решеток. В при­зменных спектрографах также легче полу­чить большую светосилу.

Интерференция света в тонких пленках и оптическая разность хода

В природе часто можно наблюдать радуж­ное окрашивание тонких пленок (масля­ные пленки на воде, мыльные пузыри, оксидные пленки на металлах), возникаю­щее в результате интерференции света, отраженного двумя поверхностями пленки. Пусть на плоскопараллельную про­зрачную пленку с показателем преломле­ния n и толщиной d под углом i (рис. 249) падает плоская монохроматическая волна (для простоты рассмотрим один луч). На поверхности пленки в точке О луч разде­лится на два: частично отразится от верх­ней поверхности пленки, а частично пре­ломится. Преломленный луч, дойдя до точ­ки С, частично преломится в воздух (n₀=1), а частично отразится и пойдет к точке В. Здесь он опять частично отра­зится (этот ход луча в дальнейшем из-за малой интенсивности не рассматриваем) и преломится, выходя в воздух под углом ('. Вышедшие из пленки лучи 1 и 2 когерент­ны, если оптическая разность их хода мала по сравнению с длиной когерентности па­дающей волны. Если на их пути поставить

собирающую линзу, то они сойдутся в одной из точек Р фокальной плоскости линзы и дадут интерференционную кар­тину, которая определяется оптической разностью хода между интерферирующи­ми лучами.

Оптическая разность хода, возникаю­щая между двумя интерферирующими лу­чами от точки О до плоскости АВ,

=n(ОС+СВ)-(ОА±₀/2),

где показатель преломления окружающей пленку среды принят равным 1, а член ±₀/2 обусловлен потерей полуволны при отражении света от границы раздела. Ес­ли n>n₀, то потеря полуволны произойдет в точке О и вышеупомянутый член будет иметь знак минус, если же n<n₀, то потеря полуволны произойдет в точке С и ₀/2 будет иметь знак плюс. Со­гласно рис.249, OC=CB=d/cosr, ОA=ОВsini=2dtgrsini. Учитывая для данного случая закон преломления sini=nsinr, получим

С учетом потери полуволны для оптиче­ской разности хода получим

Для случая, изображенного на рис. 249 (n>n₀),

В точке Р будет максимум, если (см.(172.2))

и минимум, если (см. (172.3))

Доказывается, что интерференция наблю­дается только, если удвоенная толщина пластинки меньше длины когерентности падающей волны.

280

1. Полосы равного наклона (интерфе­ренция от плоскопараллельной пластин­ки). Из выражений (174.2) и (174.3) сле­дует, что интерференционная картина в плоскопараллельных пластинках (плен­ках) определяется величинами ₀, d, n и i. Для данных ₀, d и n каждому на­клону i лучей соответствует своя интер­ференционная полоса. Интерференцион­ные полосы, возникающие в результате наложения лучей, падающих на плоскопа­раллельную пластинку под одинаковыми углами, называются полосами равного на­клона.

Лучи 1' и 1", отразившиеся от верхней и нижней граней пластинки (рис.250), параллельны друг другу, так как пластин­ка плоскопараллельна. Следовательно, ин­терферирующие лучи 1' и 1" «пересекают­ся» только в бесконечности, поэтому гово­рят, что полосы равного наклона локали­зованы в бесконечности. Для их на­блюдения используют собирающую линзу и экран (Э), расположенный в фокальной плоскости линзы. Параллельные лучи 1' и 1" соберутся в фокусе F линзы (на рис. 250 ее оптическая ось параллельна лу­чам 1' и 1"), в эту же точку придут и дру­гие лучи (на рис.250 — луч 2), парал­лельные лучу 1, в результате чего увеличи­вается общая интенсивность. Лучи 3, наклоненные под другим углом, соберутся в другой точке Р фокальной плоскости линзы. Легко показать, что если оптиче­ская ось линзы перпендикулярна повер­хности пластинки, то полосы равного на­клона будут иметь вид концентрических колец с центром в фокусе линзы.

2. Полосы равной толщины (интерфе­ренция от пластинки переменной толщины).

Пусть на клин (угол а между боковы­ми гранями мал) падает плоская волна, направление распространения которой со­впадает с параллельными лучами 1 и 2 (рис. 251). Из всех лучей, на которые разделяется падающий луч 1, рассмотрим лучи 1' и 1", отразившиеся от верхней и нижней поверхностей клина. При опре­деленном взаимном положении клина и линзы лучи 1' и 1" пересекутся в не­которой точке А, являющейся изображе­нием точки В. Так как лучи 1' и 1" коге­рентны, они будут интерферировать. Если источник расположен довольно далеко от поверхности клина и угол а достаточно мал, то оптическая разность хода между интерферирующими лучами 1' и 1" может быть с достаточной степенью точности вы­числена по формуле (174.1), где в качест­ве d берется толщина клина в месте паде­ния на него луча. Лучи 2' и 2", образо­вавшиеся за счет деления луча 2, падающего в другую точку клина, собираются линзой в точке А'. Оптическая разность хода уже определяется толщиной d'. Таким образом, на экране возникает система интерференционных полос. Каж­дая из полос возникает за счет отражения от мест пластинки, имеющих одинаковую толщину (в общем случае толщина пластинки может изменяться произволь­но). Интерференционные полосы, возника­ющие в результате интерференции от мест одинаковой толщины, называются полоса­ми равной толщины.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний (механических и электромагнитных) и его решение. Автоколебания

Рассмотрим свободные затухающие коле­бания — колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебатель­ной системой с течением времени умень­шается. Простейшим механизмом умень­шения энергии колебаний является ее пре­вращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах,

а также омических потерь и излучения электромагнитной энергии в электриче­ских колебательных системах.

Закон затухающих колебаний опреде­ляется свойствами колебательных систем. Обычно рассматривают линейные систе­мы — идеализированные реальные систе­мы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе про­цесса не изменяются. Линейными система­ми являются, например, пружинный маят­ник при малых растяжениях пружины (когда справедлив закон Гука), колеба­тельный контур, индуктивность, емкость и сопротивление которого не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения. Различ­ные по своей природе линейные системы описываются идентичными линейными дифференциальными уравнениями, что по­зволяет подходить к изучению колебаний различной физической природы с единой точки зрения, а также проводить их моде­лирование, в том числе и на ЭВМ.

Дифференциальное уравнение свобод­ных затухающих колебаний линейной системы задается в виде

где s — колеблющаяся величина, описы­вающая тот или иной физический про­цесс, =const — коэффициент затухания, ₀ — циклическая частота свободных не­затухающих колебаний той же колебатель­ной системы, т. е. при =0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы.

Решение уравнения (146.1) рассмот­рим в виде

s=e^-u (146.2)

где u=u(t). После нахождения первой и второй производных выражения (146.2) и подстановки их в (146.1) получим

Решение уравнения (146.3) зависит от знака коэффициента перед искомой вели­чиной. Рассмотрим случай, когда этот ко­эффициент положителен:

²=²₀-² (146.4)

(если (²-²)>0, то такое обозначение мы вправе сделать). Тогда получим урав­нение типа (142.1)

решением которого является функция и=А₀cos(t+)

(см. (140.1)).

Таким образом, решение уравнения (146.1) в случае малых затуханий (²<<²₀)

s=A₀е^-tсоs(t+), (146.5) где А=А₀е^-t (146.6)

— амплитуда затухающих колебаний, а

a₀ — начальная амплитуда. Зависимость (146.5) показана на рис.208 сплошной линией, а зависимость (146.6) — штри­ховыми линиями. Промежуток времени =1/, в течение которого амплитуда за­тухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации.

Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колеба­ния не являются периодическими и, строго говоря, к ним неприменимо понятие перио­да или частоты. Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться по­нятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимума­ми (или минимумами) колеблющейся фи­зической величины (рис. 208). Тогда пери­од затухающих колебаний с учетом формулы

(146.4) равен

Если A(t) и A(t+T)— амплитуды двух последовательных колебаний, соответству­ющих моментам времени, отличающимся на период, то отношение

называется декрементом затухания, а его огарифм

— логарифмическим декрементом затуха­ния; N_e — число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания — постоянная для данной колебательной системы величина.

Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротно­сти Q, которая при малых значениях лога­рифмического декремента равна

(так как затухание невелико (²<<²₀), то Т принято равным Т₀).

Из формулы (146.8) следует, что до­бротность пропорциональна числу колеба­ний N_e, совершаемых системой за время релаксации.

Применим выводы, полученные для свободных затухающих колебаний линей­ных систем, для колебаний различной фи­зической природы — механических (в ка­честве примера рассмотрим пружинный маятник) и электромагнитных (в качестве примера рассмотрим электрический коле­бательный контур).

1. Свободные затухающие колебания пружинного маятника. Для пружинного маятника (см. § 142) массой т, совершаю­щего малые колебания под действием уп­ругой силы F=-kx, сила трения про­порциональна скорости, т. е. где r — коэффициент сопротивления; знак минус указывает на противоположные на­правления силы трения и скорости.

При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид

Используя формулу ₀=k/m (см. (142.2)) и принимая, что коэффици­ент затухания

=r/(2m), (146.10)

получим идентичное уравнению (146.1) дифференциальное уравнение затухающих колебаний, маятника:

Из выражений (146.1) и (146.5) вытекает, что маятник колеблется по закону

х=A₀е^-tcos(t+) с частотой =(²₀-r2/4m²) (см. (146.4)).

Добротность пружинного маятника,

согласно (146.8) и (146.10), Q=1/rkm.

Принцип суперпозиции. Групповая скорость

Если среда, в которой распространяется одновременно несколько волн, линейна, т. е. ее свойства не изменяются под дей­ствием возмущений, создаваемых волной, то к ним применим принцип суперпозиции (наложения) волн: при распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирую­щее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают части­цы, участвуя в каждом из слагающих во­лновых процессов.

Исходя из принципа суперпозиции и разложения Фурье (см. (144.5)) любая волна может быть представлена в виде суммы гармонических волн, т. е. в виде волнового пакета, или группы волн. Вол­новым пакетом называется суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый мо­мент времени ограниченную область про­странства.

«Сконструируем» простейший волно­вой пакет из двух распространяющихся вдоль положительного направления оси х гармонических волн с одинаковыми ам­плитудами, близкими частотами и волно­выми числами, причем d<< и dk<<k. Тогда

Эта волна отличается от гармонической тем, что ее амплитуда

есть медленно изменяющаяся функция ко­ординаты х и времени t.

За скорость распространения этой не­гармонической волны (волнового пакета) принимают скорость перемещения макси­мума амплитуды волны, рассматривая

тем самым максимум в качестве центра волнового пакета. При условии, что td-xdk=const, получим

dx/dt=d/dk=u. (155.1)

Скорость u есть групповая скорость. Ее можно определить как скорость движения группы волн, образующих в каждый мо­мент времени локализованный в простран­стве волновой пакет. Хотя выражение (155.1) получено для волнового пакета из двух составляющих, можно доказать, что оно справедливо в самом общем случае. Рассмотрим связь между групповой

u=d/dk (см. (155.1)) и фазовой u=/k

(см. (154.8)) скоростями. Учитывая, что =2/k (см. (154.3)), получим

Из формулы (155.2) вытекает, что и мо­жет быть как меньше, так и больше v в зависимости от знака dv/d. В недиспергирующей среде dv/d=0 и групповая скорость совпадает с фазовой.

Понятие групповой скорости очень важно, так как именно она фигурирует при измерении дальности в радиолокации, в системах управления космическими объектами и т. д. В теории относительно­сти доказывается, что групповая скорость uс, в то время как для фазовой скоро­сти ограничений не существует.

Интерференция света

Предположим, что две монохроматические световые волны, накладываясь друг на друга, возбуждают в определенной точке пространства колебания одинакового на­правления: x₁=А₁cos(t+₁) и x₂=А₂cos(t+₂). Под х понимают на­пряженность электрического Е или маг­нитного Н полей волны; векторы Е и Н ко­леблются во взаимно перпендикулярных плоскостях (см. §162). Напряженности электрического и магнитного полей под­чиняются принципу суперпозиции (см. §80 и 110). Амплитуда результирую­щего колебания в данной точке А²=А²₁+A²₂+2A₁A₂cos(₂-₁) (см. 144.2)). Так как волны когерентны, то cos(₂-₁) имеет постоянное во времени (но свое для каждой точки пространства) значение, по­этому интенсивность результирующей во­лны (I~А²)

I=I₁+I₂+2I₁I₂cos(₂-₁). (172.1)

В точках пространства, где cos(₂-₁)>0, интенсивность I>I₁+I₂, где

cos(₂-₁)<0, интенсивность I<I₁+I₂.

Следовательно, при наложении двух (или нескольких) когерентных световых волн происходит пространственное перераспре­деление светового потока, в результате чего в одних местах возникают максиму­мы, а в других — минимумы интенсивно­сти. Это явление называется интерферен­цией света.

. Для некогерентных волн разность ₂-₁ непрерывно изменяется, поэтому среднее во времени значение cos(₂-₁) равно нулю, и интенсивность результирую­щей волны всюду одинакова и при I₁=I₂ равна 2I₁ (для когерентных волн при дан­ном условии в максимумах I=4I₁, в мини­мумах I=0).

Как можно создать условия, необходи­мые для возникновения интерференции световых волн? Для получения когерент­ных световых волн применяют метод раз­деления волны, излучаемой одним источ­ником, на две части, которые после про­хождения разных оптических путей на­кладываются друг на друга и наблюдается интерференционная картина.

Пусть разделение на две когерентные волны происходит в определенной точке О. До точки М, в которой наблюдается интерференционная картина, одна волна в среде с показателем преломления n₁ прошла путь s₁, вторая — в среде с по­казателем преломления n₂ — путь s₂. Если в точке О фаза колебаний равна t, то в точке М первая волна возбудит колеба­ние А₁cos(t-s₁/v₁), вторая волна — колебание А₂cos(t-s₂/v₂), где v₁=с/n₁, v₂=с/n₂ — соответственно фазо­вая скорость первой и второй волны. Разность фаз колебаний, возбуждаемых волнами в точке М, равна

(учли, что (/c=2v/c=2/₀, где ₀— длина волны в вакууме). Произведение геометрической длины s пути световой во­лны в данной среде на показатель n пре­ломления этой среды называется оптиче­ской длиной пути L, а =L₂-L₁ — раз­ность оптических длин проходимых во­лнами путей — называется оптической разностью хода.

Если оптическая разность хода равна целому числу волн в вакууме

=±mА₀ (m=0, 1, 2,...), (172.2)

то 6= ±2m и колебания, возбуждаемые в точке М обеими волнами, будут про­исходить в одинаковой фазе. Следователь­но, (172.2) является условием интерферен­ционного максимума.

Если оптическая разность хода

то =±(2m+1) и колебания, возбуж­даемые в точке М обеими волнами, будут происходить в противофазе. Следователь­но, (172.3) является условием интерферен­ционного минимума.

Интерференция многих волн

к~0.05- коэф. отраж. Для наблюдения к~0.95

Фабри-Пьеро эталон. Геометрическая разность хода:

;показатель преломления среды; оптическая разность хода

полупрозрачное зеркало(к~0.95); при ; (выполняется сразу для большого числа волн; при h~1-интенсивность близка)

; число волн; общая слож. амплитуда; амплитуда одной волны; ; интенсивность света в интерференц. максимуме.

В интерференц. многих волн и интерференц. двух волн выполняется з-н сохранения энергии.

прин­ципе Гюйгенса

две теории света: корпу­скулярная (И. Ньютон) и волновая (Р. Гук и X. Гюйгенс).

Согласно корпускулярной теории (тео­рии истечения), свет представляет собой поток частиц (корпускул), испускаемых светящимися телами и летящих по прямо­линейным траекториям. Движение свето­вых корпускул Ньютон подчинил сформу­лированным им законам механики.

Согласно волновой теории, развитой на основе аналогии оптических и акустиче­ских явлений, свет представляет собой упругую волну, распространяющуюся в особой среде — эфире. Эфир заполняет все мировое пространство, пронизывает все тела и обладает механическими свой­ствами — упругостью и плотностью. Со­гласно Гюйгенсу, большая скорость рас­пространения света обусловлена особыми свойствами эфира.

Волновая теория основывается на прин­ципе Гюйгенса: каждая точка, до кото­рой доходит волна, служит центром вто­ричных волн, а огибающая этих волн дает положение волнового фронта в следующий момент времени. Напомним, что волновым фронтом называется геометрическое место точек, до которых доходят колебания к мо­менту времени t. Принцип Гюйгенса позволяет анализировать распространение света и вывести законы отражения и пре­ломления.

Выведем законы отражения и преломления света, исходя из принципа Гюйгенса. Пусть на границу раздела двух сред падает плоская во­лна (фронт волны — плоскость AВ), распро­страняющаяся вдоль направления 1 (рис.243). Когда фронт волны достигнет отражающей по­верхности в точке А, эта точка начнет излучать вторичную волну. Для прохождения волной рас­стояния ВС требуется время t=BC/v. За это же время фронт вторичной волны достигнет точек полусферы, радиус AD которой равен vt=ВС. Положение фронта отраженной во­лны в этот момент времени в соответствии с при­нципом Гюйгенса задается плоскостью DC, а направление распространения этой волны — лучом II. Из равенства треугольников ABC и ADC вытекает закон отражения: угол отраже­ния i'₁ равен углу падения i₁.

Для вывода закона преломления предполо­жим, что плоская волна (фронт волны — плоскость АВ), распространяющаяся в вакууме вдоль направления 1 со скоростью света с, пада­ет на границу раздела со средой, в которой скорость ее распространения равна v (рис. 244). Пусть время, затрачиваемое волной для про-

хождения пути ВС, равно t. Тогда ВС=сt. За это же время фронт волны, возбуждаемый точкой А в среде со скоростью v, достигнет точек полусферы, радиус которой AD = vt. По­ложение фронта преломленной волны в этот момент времени в соответствии с принципом Гюйгенса задается плоскостью DC, а направле­ние ее распространения — лучом III. Из рис. 244 следует, что

AC = BC/sini₁=AD/sini₂,

т. е.

ct/sini1=vt/sini₂,

откуда

sin i₁/sini₂=c/v=n. (170.2) Сравнивая выражения (170.2) и (170.1), видим, что волновая теория при­водит к выводу, отличному от вывода тео­рии Ньютона. По теории Гюйгенса, v<c, т. е. скорость распространения света в среде должна быть всегда меньше скоро­сти его распространения в вакууме.

Таким образом, к началу XVIII в. су­ществовало два противоположных подхо­да к объяснению природы света: корпуску­лярная теория Ньютона и волновая теория Гюйгенса. Обе эти теории объясняли пря­молинейное распространение света, зако­ны отражения и преломления.

Интерферометр

Явление интерференции также приме­няется в очень точных измерительных при­борах, называемых интерферометрами. Все интерферометры основаны на одном и том же принципе и различаются лишь конструкционно. На рис. 255 представлена упрощенная схема интерферометра Майкельсона. Монохроматический свет от источника S падает под углом 45° на плоскопараллельную пластинку Р₁. Сторо­на пластинки, удаленная от S, посеребренная и полупрозрачная, разделяет луч на две части: луч 1 (отражается от посе­ребренного слоя) и луч 2 (проходит через него).

Луч 1 отражается от зеркала М₁ и, возвращаясь обратно, вновь проходит че­рез пластинку Р₁ (луч 1'). Луч 2 идет к зеркалу М₂, отражается от него, воз­вращается обратно и отражается от пластинки Р₁ (луч 2') Так как первый из лучей проходит пластинку Р₁ дважды, то для компенсации возникающей разности хода на пути второго луча ставится пластинка p₂ (точно такая же, как и P₁, только не покрытая слоем серебра).

Лучи 1' и 2' когерентны; следователь­но, будет наблюдаться интерференция, ре­зультат которой зависит от оптической разности хода луча 1. от точки О до зерка­ла M₁ и луча 2 от точки О до зеркала M₂. При перемещении одного из зеркал на расстояние ₀/4 разность хода обоих лучей увеличится на ₀/2 и произойдет смена освещенности зрительного поля. Следова­тельно, по незначительному смещению ин­терференционной картины можно судить о малом перемещении одного из зеркал и использовать интерферометр Майкельсона для точного (порядка 10^-7 м) из­мерения длин (измерения длины тел, длины световой волны, изменения длины тела при изменении температуры (интер­ференционный дилатометр)).

Советский физик В. П. Линник (1889— 1984) использовал принцип действия интерферометра Майкельсона для созда­ния микроинтерферометра (комбинация интерферометра и микроскопа), служаще­го для контроля чистоты обработки по­верхности.

Интерферометры — очень чувстви­тельные оптические приборы, позволяю­щие определять незначительные измене­ния показателя преломления прозрачных тел (газов, жидких и твердых тел) в за­висимости от давления, температуры, при­месей и т. д. Такие интерферометры полу­чили название интерференционных реф­рактометров. На пути интерферирующих лучей располагаются две одинаковые кю­веты длиной l, одна из которых заполнена, например, газом с известным (n₀), а дру­гая — с неизвестным (n_x) показателями реломления. Возникшая между интерфе­рирующими лучами дополнительная опти­ческая разность хода =(n_x-n₀)l. Изме­нение разности хода приведет к сдвигу интерференционных полос. Этот сдвиг можно характеризовать величиной

m₀=/=(n_x-n₀)l/,

где то показывает, на какую часть шири­ны интерференционной полосы сместилась интерференционная картина. Измеряя ве­личину то при известных l, n₀ и , можно вычислить n_x или изменение n_x-n₀. На­пример, при смещении интерференционной картины на ¹/₅ полосы при l=10 см и =0,5 мкм n_x-n₀=10^-6, т. е. интерферен­ционные рефрактометры позволяют изме­рять изменение показателя преломления

с очень высокой точностью (до 1/1000000).

Применение интерферометров очень многообразно. Кроме перечисленного, они применяются для изучения качества изго­товления оптических деталей, измерения углов, исследования быстропротекающих процессов, происходящих в воздухе, обте­кающем летательные аппараты, и т. д. Применяя интерферометр, Майкельсон впервые провел сравнение международно­го эталона метра с длиной стандартной световой волны. С помощью интерферо­метров исследовалось также распростра­нение света в движущихся телах, что при­вело к фундаментальным изменениям представлений о пространстве и време­ни.

Поглощение света

Поглощением (абсорбцией) света называ­ется явление потери энергии световой во­лной, проходящей через вещество, вслед­ствие преобразования энергии волны в другие формы (внутреннюю энергию вещества и в энергию вторичного излучения других направлений и спектрально­го состава). В результате поглощения ин­тенсивность света при прохождении через вещество уменьшается.

Поглощение света в веществе описы­вается законом Бугера:

I=I₀е^-x, (187.1)

где I₀ и I — интенсивности плоской моно­хроматической световой волны на входе и выходе слоя поглощающего вещества толщиной х,  — коэффициент поглоще­ния, зависящий от длины волны света, химической природы и состояния вещества и не зависящий от интенсивности света. При х=1/ интенсивность света I по сравнению с I₀ уменьшается в е раз.

Коэффициент поглощения зависит от длины волны  (или частоты ) и для различных веществ различен. Например, одноатомные газы и пары металлов (т. е. вещества, в которых атомы рас­положены на значительных расстояниях друг от друга и их можно считать изо­лированными) обладают близким к нулю коэффициентом поглощения и лишь для очень узких спектральных областей (при­мерно 10^-12—10^-11 м) наблюдаются рез­кие максимумы (так называемый линейча­тый спектр поглощения). Эти линии со­ответствуют частотам собственных коле­баний электронов в атомах. Спектр поглощения молекул, определяемый коле­баниями атомов в молекулах, характери­зуется полосами поглощения (примерно 10^-10— 10^-7м).

Коэффициент поглощения для диэлек­триков невелик (примерно 10^-3— 10^-5см^-1), однако у них наблюдается селективное поглощение света в опреде­ленных интервалах длин волн, когда а резко возрастает, и наблюдаются сравни­тельно широкие полосы поглощения, т. е. диэлектрики имеют сплошной спектр поглощения. Это связано с тем, что в ди­электриках нет свободных электронов и поглощение света обусловлено явлением резонанса при вынужденных колебаниях электронов в атомах и атомов в молекулах диэлектрика.

Коэффициент поглощения для метал­лов имеет большие значения (примерно 10³—10⁵ см^-1) и поэтому металлы являют­ся непрозрачными для света. В металлах из-за наличия свободных электронов, дви­жущихся под действием электрического поля световой волны, возникают быстропеременные токи, сопровождающиеся вы­делением джоулевой теплоты. Поэтому энергия световой волны быстро уменьша­ется, превращаясь во внутреннюю энер­гию металла. Чем выше проводимость ме­талла, тем сильнее в нем поглощение света.

На рис. 271 представлены типичная зависимость коэффициента поглощения а от длины волны света X и зависимость показателя преломления n от  в области полосы поглощения. Из рисунка следует, что внутри полосы поглощения наблюда­ется аномальная дисперсия (n убывает с уменьшением ). Однако поглощение ве­щества должно быть значительным, чтобы повлиять на ход показателя преломления.

Зависимостью коэффициента поглоще­ния от длины волны объясняется окрашенность поглощающих тел. Например, стекло, слабо поглощающее красные и оранжевые лучи и сильно поглощающее зеленые и синие, при освещении белым светом будет казаться красным. Если на такое стекло направить зеленый и синий свет, то из-за сильного поглощения света этих длин волн стекло будет казаться чер­ным. Это явление используется для изго­товления светофильтров, которые в зави­симости от химического состава (стекла с присадками различных солей, пленки из пластмасс, содержащие красители,

растворы красителей и т. д.) пропускают свет только определенных длин волн, по­глощая остальные. Разнообразие преде­лов селективного (избирательного) погло­щения у различных веществ объясняет разнообразие и богатство цветов и красок, наблюдающееся в окружающем мире.

Явление поглощения широко использу­ется в абсорбционном спектральном ана­лизе смеси газов, основанном на измере­ниях спектров частот и интенсивностей линий (полос) поглощения. Структура спектров поглощения определяется соста­вом и строением молекул, поэтому изуче­ние спектров поглощения является одним из основных методов количественного и качественного исследования веществ.

Дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке(дифракция света на дифракт. решётки)

Большое практическое значение имеет дифракция, наблюдаемая при прохожде­нии света через одномерную дифракционную решетку — систему параллельных щелей равной ширины, лежащих в одной плоскости и разделенных равными по ши­рине непрозрачными промежутками. Рас­сматривая дифракцию Фраунгофера на щели, мы видели, что распределение ин­тенсивности на экране определяется на­правлением дифрагированных лучей. Это означает, что перемещение щели парал­лельно самой себе влево или вправо не изменит дифракционной картины. Следо­вательно, если перейти от одной щели ко многим (к дифракционной решетке), то дифракционные картины, создаваемые каждой щелью в отдельности, будут оди­наковыми.

Дифракционная картина на решетке определяется как результат взаимной ин­терференции волн, идущих от всех щелей, т. е. в дифракционной решетке осущест­вляется многолучевая интерференция ко­герентных дифрагированных пучков све­та, идущих от всех щелей.

Рассмотрим дифракционную решетку. На рис. 262 для наглядности показаны только две соседние щели MN и CD. Если ширина каждой щели равна a, а ширина не­прозрачных участков между щелями b, то величина d=a+b называется постоянной (периодом) дифракционной решетки. Пусть плоская монохроматическая волна падает нормально к плоскости решетки. Так как щели находятся друг от друга на одинаковых расстояниях, то разности хода лучей, идущих от двух соседних щелей, будут для данного направления  одина­ковы в пределах всей дифракционной

решетки:

=CF=(a+b)sin=dsin. (180.1)

Очевидно, что в тех направлениях, в которых ни одна из щелей не распро­страняет свет, он не будет распростра­няться и при двух щелях, т. е. прежние (главные) минимумы интенсивности будут наблюдаться в направлениях, определяе­мых условием (179.2):

asin=±m (m=l, 2, 3, ...).

(180.2)

Кроме того, вследствие взаимной интерфе­ренции световых лучей, посылаемых двумя щелями, в некоторых направлениях они будут гасить друг друга, т. е. возникнут дополнительные минимумы. Очевидно, что эти дополнительные минимумы будут на­блюдаться в тех направлениях, которым соответствует разность хода лучей /2, 3/2, ..., посылаемых, например, от край­них левых точек М и С обеих щелей. Таким образом, с учетом (180.1) условие дополнительных минимумов:

dsin=±(2m+l)2 (m=0, 1, 2, ...).

Наоборот, действие одной щели будет уси­ливать действие другой, если

dsin=±2m /2=± m

(m=0, 1, 2, ...), (180.3)

т. е. выражение (180.3) задает условие главных максимумов.

Таким образом, полная дифракцион­ная картина для двух щелей определяется из условия:

главные минимумы

asin=, 2, З, ...; дополнительные минимумы

dsin=/2, 3/2, 5/2 ...;

главные максимумы

dsin=0, , 2, З, ...,

т. е. между двумя главными максимумами располагается один дополнительный минимум. Аналогично можно показать, что между каждыми двумя главными макси­мумами при трех щелях располагается два дополнительных минимума, при четырех щелях — три и т. д.

Если дифракционная решетка состоит из N щелей, то условием главных миниму­мов является условие (180.2), условием главных максимумов — условие (180.3), а условием дополнительных минимумов

dsin=±m'/N (т'=1, 2, ..., N-1, N+1, ..., 2N-1,

2N+1, ...), (180.4)

где m' может принимать все целочислен­ные значения, кроме О, N, 2N, ..., т. е. кро­ме тех, при которых условие (180.4) пере­ходит в (180.3). Следовательно, в случае N щелей между двумя главными максиму­мами располагается N-1 дополнитель­ных минимумов, разделенных вторичными максимумами, создающими весьма сла­бый фон.

Чем больше щелей N, тем большее количество световой энергии пройдет че­рез решетку, тем больше минимумов обра­зуется между соседними главными макси­мумами, тем, следовательно, более интен­сивными и более острыми будут максиму­мы. На рис. 263 качественно представлена дифракционная картина от восьми щелей.

Так как модуль sin не может быть боль­ше единицы, то из (180.3) следует, что число главных максимумов

m<=d/,

определяется отношением периода решет­ки к длине волны.

Положение главных максимумов за­висит от длины волны К (см. (180.3)). Поэтому при пропускании через решетку белого света все максимумы, кроме цен­трального (m=0), разложатся в спектр, фиолетовая область которого будет обра­щена к центру дифракционной картины, красная — наружу. Это свойство дифрак­ционной решетки используется для иссле­дования спектрального состава света (оп­ределения длин волн и интенсивностей всех монохроматических компонентов), т. е. дифракционная решетка может быть использована как спектральный прибор.

Дифракционные решетки, используе­мые в различных областях спектра, разли­чаются размерами, формой, материалом поверхности, профилем штрихов и их частотой (от 6000 до 0,25 штрих/мм, что позволяет перекрывать область спектра от ультрафиолетовой его части до инфрак­расной). Например, ступенчатый профиль решетки позволяет концентрировать ос­новную часть падающей энергии в направ­лении одного определенного ненулевого порядка.

Поляризации

Свет, в котором направления колеба­ний светового вектора каким-то образом упорядочены, называется поляризован­ным. Так, если в результате каких-либо внешних воздействий появляется преиму­щественное (но не исключительное!) на­правление колебаний вектора Е (рис. 272, б), то имеем дело с частично поляризованным светом. Свет, в котором вектор Е (и, следовательно, Н) колеблется только в одном направлении, перпендику­лярном лучу (рис. 272, в), называется плоскополяризованным (линейно поляри­зованным).

Плоскость, проходящая через направ­ление колебаний светового вектора плос­кополяризованной волны и направление распространения этой волны, называ­ется плоскостью поляризации. Плоскопо­ляризованный свет является предельным случаем эллиптически поляризованного света — света, для которого вектор Е (вектор Н) изменяется со временем так, что его конец описывает эллипс, лежащий в плоскости, перпендикулярной лучу. Если эллипс поляризации вырождается (см. § 145) в прямую (при разности фаз , равной нулю или ), то имеем дело с рассмотренным выше плоскополяризо­ванным светом, если в окружность (при =±/2 и равенстве амплитуд склады­ваемых волн), то имеем дело с циркулярно поляризованным (поляризованным по кру­гу) светом.

Степенью поляризации называется личина

где I_max и I_min — максимальная и мини­мальная интенсивности света, соответ­ствующие двум взаимно перпендикуляр­ным компонентам вектора Е. Для естественного света I_max=I_min и Р=0, для плоскополяризованного I_min=0 и Р=1.

Естественный свет можно преобразо­вать в плоскополяризованный, используя так называемые поляризаторы, пропуска­ющие колебания только определенного на­правления (например, пропускающие ко­лебания, параллельные плоскости поляри­затора, и полностью задерживающие колебания, перпендикулярные этой плоскости). В качестве поляризаторов мо­гут быть использованы среды, анизотроп­ные в отношении колебаний вектора Е, например кристаллы (их анизотропия из­вестна, см. § 70). Из природных кристал­лов, давно используемых в качестве поля­ризатора, следует отметить турмалин.

Рассмотрим классические опыты с турмалином (рис.273). Направим естест­венный свет перпендикулярно пластинке турмалина T₁, вырезанной параллельно так называемой оптической оси ОО (см. §192). Вращая кристалл T₁ вокруг направления луча, никаких изменений ин­тенсивности прошедшего через турмалин света не наблюдаем. Если на пути луча поставить вторую пластинку турмалина Т₂ и вращать ее вокруг направления луча, то интенсивность света, прошедшего через пластинки, меняется в зависимости от уг­ла а между оптическими осями кристал­лов по закону Малюса:

I=I₀cos², (190.1)

где I₀ и I — соответственно интенсивности света, падающего на второй кристалл и вышедшего из него. Следовательно, ин­тенсивность прошедшего через пластинки света изменяется от минимума (полное

гашение света) при =/2 (оптические оси пластинок перпендикулярны) до мак­симума при =0 (оптические оси пласти­нок параллельны). Однако, как это следу­ет из рис. 274, амплитуда Е световых коле­баний, прошедших через пластинку Т₂, будет меньше амплитуды световых колеба­ний Е₀, падающих на пластинку T₂:

E=E₀cos.

Так как интенсивность света пропорцио­нальна квадрату амплитуды, то и получа­ется выражение (190.1).

Результаты опытов с кристаллами тур­малина объясняются довольно просто, ес­ли исходить из изложенных выше условий пропускания света поляризатором. Пер­вая пластинка турмалина пропускает ко­лебания только определенного направле­ния (на рис. 273 это направление показано стрелкой АВ) т. е. преобразует естествен­ный свет в плоскополяризованный. Вторая же пластинка турмалина в зависимости от ее ориентации из поляризованного света пропускает большую или меньшую его часть, которая соответствует компонен­ту Е, параллельному оси второго турмали­на. На рис. 273 обе пластинки расположе­ны так, что направления пропускаемых ими колебаний АВ и А'В' перпендикуляр-

ны друг другу. В данном случае T₁ про­пускает колебания, направленные по АВ, а Т₂ их полностью гасит, т. е. за вторую пластинку турмалина свет не проходит.

Пластинка t₁, преобразующая ес­тественный свет в плоскополяризрванный, является поляризатором. Пластин­ка Т₂, служащая для анализа степени по­ляризации света, называется анализато­ром. Обе пластинки совершенно одинако­вы (их можно поменять местами).

Если пропустить естественный свет че­рез два поляризатора, плоскости которых образуют угол а, то из первого выйдет плоскополяризованный свет, интенсив­ность которого I₀=¹/₂I_ест, из второго, согласно (190.1), выйдет свет интенсивно­стью I =I₀ocos². Следовательно, ин­тенсивность света, прошедшего через два поляризатора,

I=¹/₂I_естcos², откуда I_max=¹/₂I_ecт (поляризаторы параллельны) и I_min=0 (поляризаторы скрещены).

Вынуждении колебании

Max=-kx-rVx+F

Vx-скорость движущегося тела

r-коэффиц определяющ силу трения

m (d^2)x/dt^2+rdx/dt+kx=F

F=A*sin(t)

x=A*sin(t+)

A=A₀/(m[(₀²-²)²+4²²]^0,5)

tg=2/(₀²-²)

=r/2m – коэффициент затухания

₀=sqrt(k/m)

d/d[(₀²-²)²+4²²]=0

2(₀²-²)(-2)+8²

-(₀²-²)+2²=0

=_p=sqrt(₀²-2²)

_p=₀ =0