Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

626266

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2015

Размер:

7.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 276 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!


				, 1,6 .
12.	y 3		2x2 (x 3)
13.	y	2(x2 7x 7)			, 1,4 .
			x2 2x 2

14.y x 4 x 2 8, 1,7 .

15.y 3 2(x 2)2 (5 x), 1,5 .

16.	y			4x	, 4,2 .

		4 x2
17.	y			x2		8	8, 4, 1 .

			2			x
								, 2,4 .
18.	y 3		2x2 (x 6)
19.	y	2x(2x 3)							, 2,1 .
		x2 4x 5

20.	y			2(x2 3)						, 5,1 .

				x2 2x 5
											, 2,1 .
21.	y 3		2(x 1)2 (x 4)

23.y 2x 1 x 2, 1,5 . www.otlichka.ru

24.y 3 2(x 2)2 (1 x), 3,4 .

25. y	x2	2x	8	5, 2,1 .
			x 2
2

26.y 8x 42 15, 1 ,2 .

27.y 3 2(x 2)2 (x 4) 3, 4,2 .

28.	y x2			4x	16		9, 1,2 .
28.	y x2			4x	x 2		9, 1,2 .
					x 2
		4						1
29.	y			8x 15,		2,			.
29.	y	x	2	8x 15,		2,		2	.
		x						2

						, 2,5 .
30.	y 3		2(x 1)2 (x 2)
31.	y		10x 10		, 1,2 .
		x2 2x		2

22. y x2 2x	16		13, 2,5 .
	x
		1

Задача 4. Варианты 1-10. Рыбаку нужно переправиться с острова A на остров B (рис.3.1). Чтобы пополнить

свои запасы, он должен попасть на участок берега MN. Найти кратчайший путь рыбака s s1

s2 .

1.a=200, b=300, H=400, h=300, L=700.

2.a=400, b=600, H=800, h=600, L=1400.

3.a=600, b=900, H=1200, h=900, L=2100.

4. a=800, b=1200, H=1600, h=1200, L=2800. 5. a=1000, b=1500, H=2000, h=1500, L=3500. 6. a=400, b=500, H=300, h=400, L=700.

7. a=800, b=1000, H=600, h=800, L=1400. 8. a=1200, b=1500, H=900, h=1200, L=2100.

9. a=1600, b=2000, H=1200, h=1600, L=2800. 10. a=2000, b=2500, H=1500, h=2000, L=3500.

Рис3.1

Варианты 11-20. При подготовке к экзамену студент за t дней изучает	t	ю часть курса, а забывает

	t k

t ю часть. Сколько дней нужно затратить на подготовку, чтобы была изучена максимальная часть курса?

11. k=1/2, 2 / 49.	14. k=1/2, 2 /169 .
12. k=1/2, 2 / 81.	15. k=1, 1/ 25.
13. k=1/2, 2 /121.	16. k=1, 1/16 .

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

17. k=1, 1/ 36.			19. k=2, 1/18.
18. k=1, 1/ 49.			20. k=2, 2 / 49.
Варианты 21-31. Тело массой m0		3000кг падает с высоты H м и теряет массу (сгорает) пропорционально
времени падения. Коэффициент пропорциональности k 100 кг				с	. Считая, что начальная скорость	0	0 ,
				с

ускорение g 10 м	2 , и пренебрегая сопротивлением воздуха, найти наибольшую кинетическую энергию
с
тела.
21. H=500.		25.	H=980.		29. H=1620.
22. H=605.		26.	H=1125.		30. H=1805.
23. H=720.		27.	H=1280.		31. H=2000.
24. H=845.		28. H=1445.

Задача 5. Исследовать поведение функций в окрестностях заданных точек с помощью производных высших

порядков.

1.y x2 4x (x 2) ln(x 1), x0 2.

2.y 4x x2 2cos(x 2), x0 2.

3.y 6ex 2 x3 3x2 6x, x0 2.

4.y 2ln(x 1) 2x x2 1, x0 0.

5.y 2x x2 2cos(x 1), x0 1.

6.y cos 2 (x 1) x2 2x, x0 1.

7.y 2ln x x2 4x 3, x0 1.

8.y 1 2x x2 2cos(x 1), x0 1.

9.y x2 6x 8 2ex 2 , x0 2.

10.y 4x x2 2ex 1 , x0 1.

11.y (x 1) sin(x 1) 2x x2 , x0 1.

12.y 6ex 1 3x x3 , x0 1.

13.y 2x x2 (x 1) ln(2 x), x0 1.

14.y sin 2 (x 1) 2x x2 , x0 1.

15.y x2 4x cos 2 (x 2), x0 2.

16.y x2 2ln(x 2), x0 1.

17.y 4x x2 (x 2) sin(x 2), x0 2.

18.y 6ex x3 3x2 6x 5, x0 0.

19.y x2 2x 2ex 2 , x0 2.

20.y sin 2 (x 2) x2 4x 4, x0 2.

21.y cos2 (x 1) x2 2x, x0 1.

22.y x2 2x (x 1) ln x, x0 1.

23.y (x 1) sin(x 1) 2x x2 , x0 1.

24.y x2 4x cos 2 (x 2), x0 2.

25.y x4 4x3 12x2 24(x 1 ex ), x0 0.

26.y sin 2 (x 2) x2 4x 4, x0 2.

27.y 6ex 1 x3 6x2 15x 16, x0 1.

28.y sin x shx 2x, x0 0.

29.y sin 2 (x 1) x2 2x, x0 1.

30.y cos x chx, x0 0.

31.y x2 2ex 1 , x0 1.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

Задача 6. Найти асимптоты и построить графики функций.

1.	y	17 x 2					.
1.	y		4x		5		.
			4x		5
2.	y			x 2		1				.


				4x 2 3
3.	y		x3 4x					.
3.	y		3x 2			4		.
			3x 2			4
4.	y		4x2			9		.
4.	y		4x		8			.
			4x		8
5.	y		4x3			3x2 8x 2					.
5.	y					2			3x2		.
						2			3x2
6.	y			x 2		3				.

				3x 2 2
				3x 2 2
7.	y	2x2			6		.
7.	y		x			2	.
			x			2
8.	y		2x3			2x2 3x 1					.
8.	y					2 4x2					.
						2 4x2
9.	y		x3 5x					.
9.	y	5		3x 2				.
		5		3x 2

10. y x2 6x 4 . 3x 2

11. y	2 x 2
			.

	9x 2
		4

12.y 4x3 3x . 4x2 1

13.y 3x 2 7 . 2x 1

14. y	x 2		16		.

		9x 2		8

15. y x3 3x2 2x 2 . 2 3x2

16. y 21 x 2 .

7x 9

17.y

18.y

19.y

20.y

21.y

22.y

23.y

24.y

25.y

26.y

27.y

28.y

29.y

30.y

31.y

2x 2 1 . x 2 2

2x3 3x2 2x 1. 1 3x2

x2 11. 4x 3

2x 2 9 . x 2 1

x3 2x2 3x 2 . 1 x2

x2 2x 1. 2x 1

x3 x2 3x 1. 2x2 2

x2 6x 9 . x 4

3x 2 10 . 4x 2 1

x2 2x 2 . x 3

2x3 2x2 9x 3 . 2x2 3

3x2 10 .

3 2x

x2 4x 13 . 4x 3

8 x 2 . x 2 4

9 10x2 .

4x 2 1

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

Задача 7. Провести полное исследование функций и построить их график.

1.y x3 4 .

2.y x2 x 1.

3.	y	2			.

		x2 2x
4.	y	4x2	.
4.	y	3 x2	.
		3 x2
5.	y	12x		.
5.	y	9 x2		.
		9 x2

6.y x2 3x 3 . x 1

7.y 4 x3 .

8.y x2 4x 1.

9.y 2x3 1.

10.y (x 1)2 . x2

11. y	x 2
		.
	(x 1)2

12.y 1 .

13.y 12 3x 2 .

x2 12

14.y 9 6x 3x2 .

x2 2x 131 2

15.	y	8x			.

		x 2 4
	y	x 1				2
16.				.

		x 1
17.	y	3x4 1				.
			x3

18.	y		4x				.

		(x 1)2

19.y 8(x 1) . (x 1)2

20.y 1 2x3 .

21. y	4	.

	x2 2x 3

22. y	4	.

	3 2x x2

23.y x2 2x 7 .

x2 2x 3

24.	y	1		.

		x 4	1
			x			2
25.	y					.

		x		2
26.	y	x3	32		.
			x2

	y	4(x 1)2
27.							.
		x2	2x 4

28.y 3x 2 .

29.y x 2 6x 9 . (x 1)2

30.y x3 27x 54 .

31.y x3 4 .

Задача 8. Провести полное исследование функций и построить их графики.

1.	y (2x 3)e 2( x 1) .
2.	y	e2( x 1)					.
		2(x 1)

3.	y 3ln					x		1.

					x 3
4.	y (3 x)ex 2 .
	y	e	2 x
5.						.

		2	x
6.	y ln				x		1.

				x 2

7. y (x 2)e3 x .

e2( x 1)

8. y 2(x 1) .

9. y 3						x
			3ln				.
				x 4
10.	y (2x 1)e2( 1) .
	y	e	2( x 2)
11.						.

		2(x 2)
			x
12.	y ln				2.
			x 2

13. y (2x 5)e 2( x 2) .

	y	e3 x
14.					.

		3 x
15.	y	2 ln			x			1.

				x 1
16.	y (4 x)ex 3 .
17.	y		e 2( x 2)						.

			2(x			2)
18.	y 2 ln			x 3				3.

						x
19.	y (2x 1)e2(1 x) .
	y		e ( x 2)
20.							.
			x			2

21.	y	2 ln				x		3.

				x 4
22.	y (x 1)e( x 2) .

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

e x 3

23. y x 3 .

24.	y ln			x	1.

				x 5
25.	y (2x 3)e2( x 2) .
	y	e 2( x 1)
26.						.
		2(x			1)

27.	y ln		x 5		2.

				x

28. y (x 4)e ( x 3) .

e x 3

29. y x 3 .

30. y ln x 6 1. x

31. y 2 ln x 1 1. x

Задача 9. Провести полное исследование функций и построить их графики.

y 3

(2 x)(x2

4x 1).

13.

y 3

(x 3)x2 .

y 3

(x 3)(x3 6x 6).

14.

y 3

(x 1)(x 2)2 .

y 3

(x 2)(x2

4x 1).

15.

y 3

(x 1)2 3 x2 .

y 3

(x 1)(x2

2x 2).

16.

y 3

(x 6)x2 .

y 3

(x 1)(x2

2x 2).

17.

y 3

(x 4)(x 2)2 .

y 3

(x 3)(x2

6x 6).

18.

y 3

(x 1)2 3 (x 2)2 .

y 3

(x2 4x 3)2 .

19.

y 3

(x 1)(x 2)2 .

y 3

x2 (x 2)2 .

20.

y 3

(x 3)x2 .

y 3

x2 (x 2)2 .

21.

y 3

(x 2)2 3 (x 3)2 .

10.

y 3

(x2 2x 3)2 .

22.

y 3

(x 2)(x 4)2 .

11.

y 3

x2 (x 4)2 .

23.

y 3

(x 6)x2 .

12.

y 3

x2 (x 4)2 .

24.

y 3

x2 3 (x 1)2 .

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

25.

y 3

x(x 3)2 .

29.

y 3

x(x 6)2 .

26.

y 3

x(x 3)2 .

30.

y 3

(x 1)2 3

(x 2)2 .

27.

y 3

(x 2)2 3

(x 3)2 .

31.

y 3

x(x 1)2 .

28.

y 3

x(x 6)2 .

Задача 10. Провести полное исследование функций и построить их графики.

1.y esin x cos x .

(sin x cos x

2.y arctg .2

3. y ln(cos x sin x).

4.y .sin x cos x

5.y e 2 sin x .

6.y arctg sin x.

7.y ln(2sin x).1

8.y .sin x cos x

9.y esin x cos x .

sin x cos x

10.y arctg .21

11. y ln(sin x cos x).

12. y	1	.

	(sin x cos x)2

13.y e 2 cos x .

14.y arctg cos x.

15.y ln( 2 cos x).

16. y	1	.

	(sin x cos x)2

17.y e sin x cos x .

18.y 3 sin x.

19.y ln(sin x cos x).

20. y	sin x	cos x	.

	2

21.y e 2 sin x .

22.y 3 cos x.

23.y x2 4x (x 2) ln(x 1), x0 2.

24.y cos x.

25.y ecos x sin x .

26. y 3 sin x cos x . 2

27.y ln(cos x sin x).

28.y sin x.

29.y e 2 cos x

30. y	sin x	cos x	.

	2

31. y ln(2 cos x).

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

§4.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

1)Понятие первообразной функции. Теоремы о первообразных.

2)Неопределенный интеграл, его свойства.

3)Таблица неопределенных интегралов.

4)Замена переменной и интегрирование по частям и неопределенном интеграле.

5)Разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби.

6)Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных функций.

7)Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.

8)Интегрирование иррациональных выражений.

9) Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл. 10) Основные свойства определенного интеграла.

11) Теорема о среднем.

12)Производная определенного интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.

13)Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

14)Интегрирование биномиальных дифференциалов.

15)Вычисление площадей плоских фигур.

16)Определение и вычисление длины кривой, дифференциал длины дуги кривой.

§ 4.2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ

Считая, что функция

sin x

равна 1 при x 0 , доказать,

что она интегрируема на отрезке 0,1 .

2) Какой из интегралов больше:

sin x 2

sin x

dx или

dx ?

Пусть

f (t) — непрерывная функция, а функции (x)

и (x) дифференцируемые. Доказать, что

( x)

f (t)dt f ( (x)) (x) f ( (x)) (x).

( x)

Найти

x et 3 dt.

Найти точки экстремума функции

f (x) (t 1)(t 2)e t 2 dt.

Пусть

f (x) — непрерывная периодическая функция с периодом T . Доказать, что

a T

f (x)dx f (x)dx a .

7) Доказать, что если f (x)

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

— четная функция, то

0	a	1	a
f (x)dx f (x)dx			f (x)dx.
		2
a	0		a

8) Доказать, что для нечетной функции	f (x) справедливы равенства

Чему равен интеграл 1sin 2

0	a	a
	f (x)dx f (x)dx и		f (x)dx 0.
a	0	a

2 x

x ln 2 x dx ?

9) При каком условии, связывающем коэффициенты а, b, с, интеграл	ax2 bx c	dx является
	x3 (x 1)2	dx является
рациональной функцией?