Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1302 вуза, 5111 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

626266

.pdf
Скачиваний:
28
Добавлен:
16.05.2015
Размер:
7.64 Mб
Скачать
☆

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

Задачи 15. Найти объем тела, заданного неравенствами.

1 x 2 y 2 z 2

36, z

 

x 2

y 2

 

 

 

,

 

99

 

 

 

 

 

 

3x y 3x.

Сферическая система координат:

x r sin cos ,y r sin sin ,z r cos .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

6

 

 

V 2

d r 2 dr

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

7

 

7 2

 

|

 

 

 

 

3

 

 

 

 

2

 

 

 

2 3

 

 

 

3

 

 

 

 

Задача 16. Тело V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

3

6

1

 

1

3

6

1

 

35

3

 

sind 2

 

d r 2

dr

d rdr

 

d

 

10r

5

5

2

arccos

 

1

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10r

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

7

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

задано ограничивающими его поверхностями, -плотность. Найти массу тела.

x2 y2

4, x2

y 2

8z, x 0, y 0, z 0(x 0, y 0), 5x.

Цилиндрическая система координат:

 

 

 

 

 

 

x r cos ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y r sin ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r 2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

8

 

2

2

5

 

2

5

 

m d rdr

5r cos dz d

r 3

cos dr

cos d

8

2

0

0

0

 

0

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 sin | 5 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

0

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

Задача 1. Найти производную скалярного поля u(x, y, z) в точке М по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности S , образующей острый угол с положительным направлением оси Oz .

 

 

 

 

u ln(1

x 2 y 2 )

x 2 z 2 ,

S : x 2

6x 9 y 2 z 2

4z 23,

M(3,0, 4).

NgradF(x, y, z).

F x 2 6x 9 y 2 z 2

4z 23,

 

 

 

 

 

 

gradF F i

F

 

 

 

F

 

(2x 6)i 18 y

 

(2z 4)

 

.

 

j

k

j

k

 

 

 

 

 

 

 

x

y

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N |M 0i 0 j 12k,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

02 02 ( 12)2

12.

 

 

 

 

 

 

 

cos 0; cos 0, cos 1.

 

 

 

 

 

 

U

 

U cos

U cos

U cos .

 

 

 

 

 

N

 

 

 

x

 

 

 

y

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

U

 

 

2x

 

 

;

 

U

 

2 y

; U

0.

 

x

1 x 2 y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

1 x 2 y 2

z

 

 

 

 

 

U

|

M

0,6; U

|

M

0;

U |

M

0;

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

U

0,6 0 0 0 0 ( 1) 0.

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2. Найти угол между градиентами скалярных полей u(x, y, z) и v(x, y, z) в точке М .

v x2 y 2 3z 2

 

x

 

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

,u

 

 

, M

 

 

 

,

 

 

 

,

 

 

 

.

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yz

 

2

 

 

2

 

 

3

 

- искомый угол.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos (grad gradU ) ; grad gradU

grad 2xi 2y j 6zk, grad |M 2i 2 j 23k,

grad (2)2 (2)2 ( 23)2 4,

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gradU

 

i

 

 

 

 

 

j

 

k,

 

 

 

 

 

 

yz 2

y

2 z 2

 

 

 

yz 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gradU |M 3

 

2i 3

 

2 j 6

3k,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

grad

 

(3

 

 

 

2)2 ( 3

2)2 ( 6

3)2

12,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

2 3

 

 

 

2

 

2 3

 

2 2 3 6

3

 

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

Задача 3. Найти векторные линии в векторном поле a .

a 3xi 6zk.

Дифференциальные уравнения векторных линий поля a :

 

dx

 

dy

 

 

dz

 

dy 0 y C0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2dx

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

0

 

6z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ln x ln z ln C,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

Cz.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4. Найти поток векторного поля а через поверхности S , вырезаемую плоскостью P (нормаль внешняя к

замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a xzi yzj (z 2 1)k, S : x2

y 2 z 2 (z 0), P : z 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dS ax dydz a y dxdz az dxdy,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax dydz xzdydz z

z 2 y 2 dydz zdz

 

z 2 y 2 dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

 

 

 

 

y z

1

 

 

4

 

 

1 1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

y 2

 

 

 

 

 

arcsin

 

| dz

 

 

 

 

z 3 dz

 

 

 

 

z 4 | 32 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

z z

2

 

 

0

 

 

2 4

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a y dxdz yzdxdz z

 

z 2 x 2 dxdz zdz

 

 

z 2

x 2 dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

x

 

 

 

 

 

 

 

z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

x z

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

4

 

 

 

1 1

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2

 

 

 

z

2 x 2

 

2

arcsin

 

z

|

dz

2

 

z 3 dz

 

2

 

 

z 4

| 32 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

4

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

az dxdy (z 2 1)dxdz (x 2 y 2

1)dxdy d ( 2 1)d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

 

 

 

3

 

 

 

 

 

2

1

 

 

4

 

1

 

 

2

4

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d (

 

)d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|d 56

d 56

| 112 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

4

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32 32 112

176 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
, cos
cos

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

Задача 5. Найти поток векторного поля a через часть плоскости P , расположенную в первом октанте

(нормаль образует острый угол с осью Oz .

a 2xi 3yj 4zk, P : 2x 3y z 1.

a n d (ax cos a y cos az cos )d ,

 

S

(2x cos 3y cos 4z cos )d .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n {3,2,1}

n

 

 

 

4 9 1

14.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

2

 

, cos

 

3

 

 

, cos

 

 

 

1

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

14

 

 

 

14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 (z '

)2

 

(z '

)2 dxdy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

1 4 9dxdy

 

 

14dxdy,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2x

 

 

3 3y

 

 

 

4z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/ 2

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14dxdy dx

 

 

(4x 9 y 4(1 2x 3y))dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

 

 

14

 

14

 

 

 

 

Dxy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/ 2

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1 7

 

2

 

3

 

1/ 2

 

1

 

dx

 

 

 

(4 4x 3y)dy

 

 

 

 

 

 

 

 

10x

6x

 

 

 

dx

 

 

 

 

x 5x

 

2x

 

 

|

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

0

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 2

 

 

 

 

 

0

 

4

 

Задача 6. Найти поток векторного поля a через часть плоскости P , расположенную в 1 октанте

(нормаль образует острый угол с осью Oz).

a 9yj (7z 1)k, P : x y z 1.

a n d (ax cos a y cos az cos )d ,

 

S

(2x cos 3y cos 4z cos )d .

n {1,1,1} n 1

3

3.

 

 

 

 

 

 

 

1

 

, cos

1

 

,

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

1

(z '

)2

(z '

)2 dxdy

1 1 1dxdy

 

 

3dxdy,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1 ч

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

0

 

 

 

 

 

9y

 

 

 

7(1 x y) 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

3dy

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

1

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

7

 

 

 

2

 

9

 

2

 

1 x

dx

(8 7x 7 y 9y)dy

8 y 7xy

 

 

y

 

 

 

 

 

 

y

 

 

| dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

0

 

9 9

 

 

7 9

 

2

 

 

9 9

 

8 9

 

2

 

7 9

 

3

1

 

10 9

 

 

 

(8

9 )x

 

x

 

dx

 

x

 

x

 

 

 

x

 

|

 

 

.

 

 

 

 

 

 

2 3

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

0

 

6

 

Задача 7. Найти поток векторного поля а через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя).

a (e z x)i (xz 3y) j (z x2 )k, S : 2x y z 2, x 0, y 0, z 0.

J J1 J 2 J3 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2 y

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

J1

 

(e z x)dydz dy

e z

1

 

y

 

z dz

 

 

2

2

 

 

 

 

D

yoz

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

2 y

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

e z z

 

 

 

yz

 

 

 

z

2 | dy

 

e y 2 1 y

 

 

y 2

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

2

 

 

4

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

e y 2 y

1

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 2

 

 

 

 

 

 

y 3

 

|

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

12

 

 

 

0

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2 2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

 

 

 

 

 

 

2 2 x

 

J 2

 

 

(xz 3y)dzdx dx

 

xz 6 3z 6x dz

 

xz

 

 

6z

 

 

z

 

 

6xz

 

| dx

2

 

2

 

 

 

D

xoz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

7

 

13

 

 

6 10x 2x

2

 

 

 

 

3

dx

 

 

 

 

2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

6x

5x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x

 

 

| 6 5

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

0

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

6

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2 2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

2 2 x

 

 

J 3

 

 

(z x

 

 

)dxdy dx

 

2 2x y x

 

dy

 

 

2 y 2xy

 

 

 

 

y

 

 

x

 

y

|

 

dx

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

D

yox

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

1

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

2 4x 4x

2

2x

3

dx

2x 2x

2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

4

2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x

 

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

2

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

J J

 

J

 

J

 

 

 

1

 

 

13

 

5

 

8

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

6

 

 

6

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

Задача 8. Найти поток векторного поля а через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя).

a 3xi zj,

z 6 x2 y 2 ,

S :

z 2 x2 y 2 (z 0).

Пand divadxdydz,

V

 

 

 

a

 

 

a y

 

a

 

 

diva

x

 

 

z

3 0 3.

 

 

 

x

y

z

 

 

 

 

 

 

Перейдем к цилиндрической системе координат

x r cosy r sinz z

 

 

 

 

 

 

 

 

6 r 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

П 3dxdydz 3 2 d rdr

dz 6 d r(6 r 2 r)dr

 

 

 

 

V

0

0

 

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 d (6r r 3

r 2 )dr 6 (9 2

6)d 6(9 2

6) |

6(9

2

6) .

0

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 9. Найти поток векторного поля а через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя).

a (zx y)i (xy z) j (x 2 yz)k,

x 2 y 2 2,

S :

z 0, z 1.

Воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

П andS divadxdydz,

S V

diva ax a y az z y z.x y z

П (x y z)dxdydz.

x r cos ,

 

 

Цилиндрический системы координат y r sin ,

 

z z.

 

 

Отсюда,

2 d

1 rdv

1

(r cos r sin z)dz 2 d 1

r 2

cos r

2 sin

1

dv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

2

 

2

1

 

 

3

 

 

 

 

 

1

 

 

3

 

 

 

1

1

 

 

 

2

1

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

cos

 

 

 

r

 

sin

 

v | d

0

 

 

cos

 

sin

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

2

0

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

cos

 

 

|

0

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

2

0

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 10. Найти работу силы F при перемещении вдоль линии L от точки M к точке N .

F (x2

2y)i ( y 2

2x) j, L :отрезок MN, M ( 4,0), N(0,2).

 

 

 

1) MO y 0, dy 0, 4 x 0.

 

0

 

 

 

1 x3 | 64 .

(x2 2 y)dx ( y 2 2x)dy x2 dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

L

4

 

 

 

3

 

4

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) ON x 0, dx 0,0 y 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

2

8

 

 

(x2 2 y)dx ( y 2 2x)dy y 2 dy

y3

 

 

|

.

 

 

 

 

 

L

0

 

 

 

3

 

 

0

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2 2 y)dx ( y 2 2x)dy

64

 

8

 

72

24.

 

 

 

 

 

 

L

3

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 11. Найти циркуляцию векторного поля а вдоль контура Г (в направлении, соответствующем

возрастанию параметра t).

a xi z 2 j yk,

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!

x 2 cos t, y 3sin t,

Г: z 4 cos t 3sin t 3.

dx 2 sin tdt, dy 3cos tdt,

dz 4sin t 3cos t.

2

Ц ax dx ay dy az dz

www.otlichka.ru

( 2 2 cos t sin t 3cos t(4 cos t 3sin t 3)

Г

0

3sin t( 4sin t 3cos t))dt

2

12 sin 2 t 9 sin t cos t)dt

0

2

 

 

( 2sin 2t 12 cos 2 t 9sin t cos t 9 cos t

 

0

 

 

 

2

 

( 2 sin 2t 12

9 cos t)dt (cos 2t 9sin t 12t) |

24 .

 

0

 

Задача 12. Найти модуль циркуляции векторного поля а вдоль контура Г .

a 2yi 5zj 3xk,

2x2 2 y 2 1, Г :

x y z 3.

Воспользуемся формулой Стокса:

Ц a n dS n rota d

 

 

Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

j

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rota

5i 3 j 2k.

 

 

 

 

 

 

x

y

 

z

 

 

 

2 y

5z

3k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n rota d ( 5cos 3cos 2 cos )d .

 

 

 

 

 

cos cos cos

1

 

.

n {1,1,1},

n

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

1 (z

'

)2 (z '

)2 dxdy

1 ( 1)2

( 1)2 dxdy 3dxdy.

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

3

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x r cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ц

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dxdy 10

 

dxdy

 

y r sin

 

 

 

 

 

Dxy

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

Dxy

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/

2

 

 

 

 

 

 

 

 

10 d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rdr 10

|

 

 

 

 

r 2 |

 

10 2

 

 

 

 

5 .

 

2

 

 

2

2

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

Задача 1. Написать разложение вектора x по векторам p, q, r.

x { 13,2,18}, p {1,1,4},

q { 3,0,2}, r{1,2, 1}.

x p q r.

 

 

 

 

 

 

3 13,

3 15,

 

2,

 

 

 

 

2 ,

 

 

5,

2 2,

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 2 18

 

2 9 10

 

 

 

 

 

 

0.

 

 

 

 

 

 

Задача 2. Коллинеарны ли векторы с1 и с2 , построенные по векторам a и b ?

a { 1,2, 1},b{2, 7,1},c1 6a 2b, c2 b 3a.

с1 6a 2b {6 ( 1) 2 2;6 2 2 ( 7);1 6 ( 1) 2 1} { 10,26, 8}. с2 b 3a {2 3 ( 1); 7 3 2;1 3 ( 1)} {5, 13,4}.

10

 

26

 

 

8 векторы c

и c

 

коллинеарны.

 

 

2

5

 

13

 

4

1

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3. Найти косинус угла между векторами AB и AC .

A(1, 2,3),

B(3,4, 6),

C(1,1, 1).

AB {4,2, 3}, AB 42 22 ( 3)2 29.

AC {2, 1,2}, AC 22 ( 1)2 (2)2 3.

cos( AB^ AC) 4 2 2 1 3 2 0. 3 29

( AB^ AC) 2 .

Задача 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b .

a6 p q,

b5q p.

p 12 , q 4, ( p^ q) 56 .

S (6 p q) (5q p) 6 p 5q 6 p p 5q q q p 6 p 5q p q

31 p q sin( p^ q) 31 12 4 sin 56 31 2 12 31.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности