626266
.pdf
При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru
Задача 1. Изменить порядок интегрирования.
|
|
|
|
|
x2 |
||
1 |
2 y |
0 |
y |
1 |
|||
dy |
|
fdx dy |
|
fdx dx |
|
fdy. |
|
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
x |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
Задача 2. Вычислить.
(6xy 24x3 y3 )dxdy; D : x 1, y 
x, y x2 .
D
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
1 |
(6xy 24x3 y3 )dxdy dx |
(6xy 24x3 y3 )dy (3x 2 3x5 6x11 )dx |
|||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
x2 |
0 |
||
|
|
3 |
|
1 |
|
6 |
|
1 |
|
12 |
1 |
1. |
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
x |
|
| |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru
Задача 3. Вычислить.
y 2 cos xydxdy; D : x 0, y 
, y x.
D
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|||||
y 2 |
cos xydxdy dy y 2 |
cos xydx y sin y 2 dy |
cos y 2 |
|
|
( 1 1) 1. |
||||||||
| |
||||||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||
D |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru
Задача 4. Вычислить.
y 2 ch(2xy)dxdydz;
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x 0, y 2, y 4x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
V |
|
z 0, z 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
0 |
0 |
2 |
0 |
1 |
|
y |
2 |
|
1 |
2 |
|
y 2 ch(2xy)dxdydz dz dy y 2 ch(2xy)dx dz |
ysh |
|
dy |
ch2dz |
|||||||||
2 |
|
|
2 |
|||||||||||
V |
0 |
2 |
y |
0 |
2 |
2 |
|
0 |
||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ch2z | ch2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 5. Вычислить.
xdxdydz;
V
V : y 10x, y 0, x 1, z xy, z 0.
|
1 |
10x |
xy |
1 |
10x |
1 |
1 |
|
|
xdxdydz dx dy xdz dx x2 ydy 50x4 dx 10x5 |
10. |
||||||||
| |
|||||||||
V |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
||||||||
При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru
Задача 6. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
y 20 x2 , y 8x.
10 |
20 x2 |
10 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
10 |
|
S dx |
|
dy |
|
2 |
|
|
3 |
|
2 |
|
|||
(20 x |
|
8x)dx 20x |
|
|
x |
|
4x |
|
| |
288. |
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
8 x |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru
Задача 7. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
y 2 4 y x2 0, y 2 10 y x2 0, y x , y 
3x.
3
( y 2)2 x 2 4, ( y 5)2 x2 25.
Полярная система координат:
x cos ,y sin
|
3 |
|
5 |
|
21 |
3 |
|
21 |
|
|
|
21 |
|
|
|
21 |
|
7 |
|
||||
S |
|
d |
|
d |
|
d |
|
3 |
|
|
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
2 |
|
6 |
12 |
4 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
6 |
|
2 |
|
|
|
6 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru
Задача 8. Пластинка D задана ограничивающими ее кривыми, -поверхностная плотность. Найти массу пластинки.
D : x2 y 2 |
1, x2 y 2 |
16, x 0, y 0(x 0, y 0); |
x y |
. |
|
|
x2 y 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Полярная система координат: |
|
|
|
|||
x cos , |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
y sin |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
M d |
|
|
|
|
||
(cos sin )d 3 (cos sin )d 3(sin cos ) | |
|
|||||
0 |
1 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
3(1 0 0 1) 6.
При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru
Задача 10. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
x y 6, y 
3x, z 4y, z 0.
3 |
6 y |
4 y |
3 |
6 y |
3 |
|
2 |
|
4 |
|
3 |
|
|
2 |
|
4 |
|
3 |
|
1 |
|
|
4 |
3 |
|
||||
V dy dx dz dy 4 ydx 24 y 4 y |
|
|
|
y |
|
dy 12 y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
| |
45. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
0 |
1 |
y |
2 |
0 |
0 |
1 |
y |
2 |
0 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
0 |
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача 11. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
x2 y 2 8x, x2 y 2 11x,
z 
x2 y 2 , z 0, y 0( y 0).
При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru
Цилиндрические координаты:
x 3r cos ,y 2r sin ,z z.
|
0 |
|
|
11cos |
|
r |
0 |
|
|
11cos |
|
|
|
|
0 |
|
273 |
0 |
|||
V d |
|
rdr dz |
d |
|
r |
2 dr 273 |
|
cos3 d |
(3cos cos 3)d |
||||||||||||
|
4 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
8 cos |
|
0 |
|
|
|
8 cos |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|||
|
273 |
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
273 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3sin |
|
sin 3 |
| |
|
|
|
0 |
3 |
|
|
|
182. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 12. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
y 2x2 1, y 1, z x2 5y 2 3, z x2 5y2 6.
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
x2 5 y2 3 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|||||
V dx |
|
|
|
|
|
dz dx 3dy 3 |
|
2 |
|
3 |
|
|||||||||||||||
|
dy |
|
|
(2 2x |
|
)dx 6 x |
|
x |
|
| |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
2 x |
2 |
1 |
|
x |
2 |
5 y |
2 |
6 |
1 |
2 x |
2 |
1 |
1 |
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Проекция на XOY.
При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru
Задача 13. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
z 3
x2 y 2 , z 10 x2 y 2 .
Цилиндрические координаты:
x r cos ,y r sin ,z z.
2 |
2 |
10 r 2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
||
V d rdr |
dz d (10r r 3 |
3r 2 )dr 8 d 8 |
16 . |
||||||
| |
|||||||||
0 |
0 |
|
3r |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
Задача 14. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
z 22(x2 y 2 ) 3, z 3 44y.
Цилиндрические координаты:
x r cos ,y r sin ,z z.
|
|
2 |
|
2 sin |
3 44r sin |
2 |
2 sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
V |
d rdr |
dz |
d |
|
r(3 44r sin 22r 3 3)dr |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
22r |
2 |
3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
2 sin |
|
|
|
|
|
|
2 |
88 |
|
|
|
|
11 |
2 |
|||||||
d |
( 44r 2 |
sin 22r 3 )dr |
sin 4 |
d |
(cos 4 4 cos 2 3)d |
|||||||||||||||||||
3 |
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
11 |
|
1 |
sin 4 d 2 sin 2 3 |
2 |
|
11 |
|
6 3 ) |
11 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
(0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||