Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

626266

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2015

Размер:

7.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 2723 24 25 26 27 > Следующая >>>

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

u v uv

ctg 2x

u v u v 2

ctg 2x

Пусть v 2

ctg 2x

ln v ln cos 2x v cos 2x.

u v 0,

cos 2x 0,

u C1 ,

z C1 cos 2x.

y C1 cos 2xdx

C1 sin 2x C2 .

C sin 2x C

C cos 2x C

x C

4 1

Задача 11. Найти решение задачи Коши.

y 72y3 , y(2) 1, y (2) 6.

y z( y),

Замена:

y z ( y) z( y).

z y z 72 y 3 ,yz z 72 y 3 ,

z z 72 y 3 y,

12 z 2 18 y 4 C1 ,

z 2 36 y 4 2C1.

z 2 ( y )2 ( y )2 36 y 4 2C1. 36 36 2C1 C1 0.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

y 36 y 4 ,

y dydx 36 y 4 ,

	dy			dx,
	2			dx,
	6 y
		1			x C ,
		6 y			x C ,
		6 y						2
								2
	y				1				.

						6(x C2 )
x 2, y 1, 1										1	C			13	.
x 2, y 1, 1										6(2 C2 )	C	2			.
												2	6
													6
y					1		.

			6x 13

Задача 12. Найти общее решение дифференциального уравнения.

y 3y 2y 1 x2 .

yОН yОО yЧН .

3 32 2 0-характеристическое уравнение.

1 0, 2

1, 3

ОО

e x

-общее решение однородного уравнения.

y ( Ax 2 Bx C)x,

ЧН

Ax 3 Bx 2 Cx,

ЧН

y 3Ax 3 Bx 2 C,

y 6 Ax 2B,

y 6 A,

6 Ax 2 4Bx 2C 18Ax 6B 6 A 1 x 2 ,

6 Ax 2 x(18A 4B) 6 A 6B 2C 1 x 2 .

6 A 1 A

18A 4B 0 B

6 A 6B 2C 1 C 3.

Отсюда yЧН x

3 - частное решение неоднородного уравнения.

Общее решение

C C

e x

e 2 x

x2 3x.

OН

Задача 13. Найти общее решение дифференциального уравнения.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

y 4y 5y 2y (16 12x)e x .

yОН yОО yЧН .

3 42 5 0-характеристическое уравнение.

1 2, 2,3 1,

yОО C1e2 x (C2 C3 x)ex -общее решение однородного уравнения.

yЧН ( Ax B)x 2 e x ,

yЧН ( Ax 3 Bx 2 )e x ,

y ( Ax 3 Bx 2 3Ax 2 2Bx)e x ,

y ( Ax 3 Bx 2 6 Ax 2 4Bx 6 Ax 2B)e x ,

y ( Ax 3 Bx 2 9 Ax 2 6Bx 18Ax 6B 2B)e x ,

10 Ax 3 x 2 (48A 10B) x(34B 42 A) 6 A 14B 16 12x.

42A 34B 12 A 167 ,

6 A 14B 0 B 163 .

Отсюда yЧН 161 7x3 3x2 e x - частное решение неоднородного уравнения.

Общее решение

yOН C1e2 x (C2 C3 x)e x 161 7x3 3x2 e x .

Задача 14. Найти общее решение дифференциального уравнения.

y y 2cos 7x 3sin 7x.

yОН yОО yЧН .

2 0 -характеристическое уравнение.

1 0, 2 1,

yОО C1 C2 e x -общее решение однородного уравнения.

yЧН Acos 7x B sin 7x, y 7 Asin 7x 7B cos 7x,

y 49 Acos 7x 49B sin 7x,

49 A cos 7x 49B sin 7x 7 Asin 7x 7B cos 7x 2 cos 7x 3sin 7x, (7B 49 A) cos 7x ( 7 A 49B) sin 7x 2 cos 7x 3sin 7x.

7B 49 A 2,

7 A 49B 3

A 17 ,350 .

B 1332450

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!

www.otlichka.ru

Отсюда y

cos 7x

133

sin 7x - частное решение неоднородного уравнения.

ЧН

350

2450

Общее решение

e x

cos 7x

133

sin 7x.

OН

350

2450

Задача 15. Найти общее решение дифференциального уравнения.

y y 2sin x 6cos x 2ex .

yОН yОО yЧН .

2 0 -характеристическое уравнение.

1 0, 2 1,

yОО C1 C2 e x -общее решение однородного уравнения.

yЧН Acos x B sin x Сe x , y Asin x B cos x Ce x , y Acos x B sin x Ce x ,

Acos x B sin x Ce x Acos x B sin x Ce x 2 sin x 6 cos x 2e x , 2Ce x 2 sin x 6 cos x 2e x .

2C 2 C 1.

Отсюда yЧН e x - частное решение неоднородного уравнения.

Общее решение

yOН C1 C2 e x ex .

Задача 16. Найти решение задачи Коши.

y 4y 4ctg 2x, y( / 4) 3, y ( / 4) 2.

yОН yОО yЧН .

2 4 0 -характеристическое уравнение.

1 0, 2

ОО

C C

e 4 x

-общее решение однородного уравнения.

u y1 v y2

u y

v y

f (x),

1 v e 4 x 0,

0 v ( 4e 4 x ) 4ctg 2x

e 4 x

4e 4 x ,

4 x

e 4 x

4e 4 x ctg 2x,

4ctg 2x

4e 4 x

2 0 4ctg 2x 4ctg 2x.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

u					1					4e 4 x ctg 2x																			ctg 2x,
												4e 4 x
v 2										4ctg 2x											e4 x ctg 2x.
v 2										4e 4 x											e4 x ctg 2x.
										4e 4 x
u ctg 2xdx																			1	ln sin x C3 ,
u ctg 2xdx																			2	ln sin x C3 ,
																			2
v e4 x ctg 2xdx																								1			e		4 x ctg 2x							1	e4 x ctg 2x C4 .
v e4 x ctg 2xdx																								2			e		4 x ctg 2x								e4 x ctg 2x C4 .
																								2											4
y					1		ln sin x C														1	e4 x ctg 2x									1		e4 x ctg 2x C								,
y							ln sin x C										3					e4 x ctg 2x											e4 x ctg 2x C								,
ЧН					2												3				2									4										4
					2																2									4
y					1		ln sin x						1			ctg 2x C													e 4 x C						,
y							ln sin x									ctg 2x C												3	e 4 x C					4	,
ЧН					2								4															3						4
					2								4

					3 3							1									2		C 3					C 4 e ,
y															ln
y												2			ln
		4										2							2
													1																1
y					2						2							ctg														4e C							4	,
y					2						2							ctg														4e C								,
													2								4									2
			4										2								4				2 sin					2
																									2 sin					4
																														4
C						e			,
C	4				8				,
	4


				25					4 ln		2

C											2			.
C	3								8					.
	3

Общее решение

																										25 4 ln						2			e
					1			ln sin x						1				ctg 2x								25 4 ln						2			e
yOН					1									1																		2						.
yOН					2								4																	8								.
					2								4																	8

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

Задача 1. Найти сумму ряда.

								6															6													1					1
																															3											.
	n	2																	(n			4)(n 6)									3							6			n 4	.
n 7	n		10n 24													n 7			(n			4)(n 6)										n 7			n			6			n 4
Сумма ряда S lim Sn , где Sn - сумма n первых членов ряда.
														n
											1					1				1					1				1						1						1		1		1		1	1
Sn	3 1																														...
Sn	3 1																														...														n 5
											3					2 4									3 5										n			8 n 6					n 7		n 5	n 6		n 4
3 1						1					1							1			.
3 1																					.
										n 5						n
				2						n 5						n			4
Сумма ряда
											1					1							1								3		9
S 3lim								1																				3							.
S 3lim								1								5						n						3							.
		n										2 n				5						n			4						2 2
Задача 2. Исследовать на сходимость ряд.

	ln			n			2	3n
	ln			n				3n					.

			n2
n 2			n2					n

При любых значениях n выполняется неравенство																																					ln			n2	3n		1	.
																																											n
																																							n2		n
																																							n2		n
				1
Ряд				1				является расходящимся (гармонический ряд), значит расходится и исследуемый ряд.
Ряд				n
	n 2			n
Задача 3. Исследовать на сходимость ряд.


	1 cos										.
n 1									n
																								1
Сравним этот ряд с рядом																								1		.
Сравним этот ряд с рядом																								2		.
																				n 1				n
																								1 cos									1
Мы можем сделать это, т.к. lim																														n			1	.
Мы можем сделать это, т.к. lim																											1/ n2						2	.
																					n						1/ n2						2
Интегральный признак Коши
dx									1		dx										1 D										1

1 x2		lim							0 x2						lim								\| lim									1				1.
1 x2				D					0 x2								D x						1					D			D
					1
Ряд					1				сходится, значит сходится и исследуемый ряд.
Ряд					2				сходится, значит сходится и исследуемый ряд.
		n 1				n

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

Задача 4. Исследовать на сходимость ряд.

(n!)2 .

n 1

Воспользуемся признаком Даламбера

					4n 1
lim	a	n 1		lim	((n 1)!)2
lim				lim	4n
n	a		n	n	4n
			n

(n!)2

lim	4 4n (n!)2		4 lim	1		0 1.

n 4n ((n 1)!)		2	n (n 1)		2

Ряд сходится.

Задача 5. Исследовать ряд на сходимость.

n 3n 2

n 1

Радикальный признак Коши

n 2

n 2 3

lim

lim n 3

lim n 3n

2n 1

	1 2 / n	3	1
lim				1.

n	2 1/ n		8

Ряд сходится.

Задача 6. Исследовать на сходимость ряд.

	1
	1	.

	3n 1 ln n
n 2
			1
Сравним данный ряд с рядом			1	.

			3n ln n
		n 2	3n ln n

Мы можем сделать это, руководствуясь предельным признаком сравнения.

lim

(3n 1) ln n

lim

3n ln n

n (3n 1) ln n

3n ln n

Интегральный признак Коши

1 lim ln(ln x) |

1 lim (ln(ln D) ln(ln 2)) .

1 lim d (ln x)

3x ln x 3 D

ln x

3 D

Ряд

расходится, значит расходится и исследуемый ряд.

3n ln n

n 2

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

Задача 7. Исследовать на сходимость ряд.

sin n

n .

( 1)n

n 1

sin n

n .

Рассмотрим ряд из модулей

При любых значениях n выполняется неравенство

sin(n

n )

n n

Рассмотрим ряд . n1 n n

Интегральный признак Коши

1 D

lim

2 lim

1 2.

x 1

Ряд

сходится, значит наш знакопеременный ряд обладает абсолютной сходимостью.

Задача 8. Вычислить сумму ряда с точностью .

n 1

( 1)

, 0,001.

Сумма ряда: S Sn

Rn , где Rn

остаток ряда. По условию задачи Rn

0,001. Для

знакопеременных рядов остаток ряда по модулю меньше первого отброшенного члена.

0,001.

(2n 2)3

Последнее неравенство выполняется при n=5, значит достаточно оставить первые пять членов ряда

	( 1)	n1	1	1	1	1		1
									0,488.
	2n 3		2	64	216	512	1000
n1

Задача 9. Найти область сходимости ряда.

1 n 1

nln 1 x . n1

Ряд будет сходится при ln(1 x) 1.Причем при ln(1 x) 1- условно имеем ln(1 x) 1. Следовательно 1 x e x e 1.

	( 1)	n1
x e 1			сходится условно.
	n
n1

Область сходимости x e 1; .

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

Задача 10. Найти область сходимости ряда.

(x 5)n3n .

n 1

Радикальный признак Коши

x 5

lim

(x 5)n

lim

U n

3 x 5 3 8 x 2.

Исследуем сходимость на концах интервала

x 8 ( 1)n расходится, т.к.

lim

lim1 1 0.

n 1

x 2 1n расходится, т.к. lim

lim1 1 0.

n 1

Область сходимости x 8; 2 .

Задача 11. Найти область сходимости ряда.

	1		n
	1	4 x 2 .
	n	4 x 2 .
n 1	n

Радикальный признак Коши

lim

U n

x 2

1 0 x 2.

Область сходимости x ;2 .

Задача 12. Найти сумму ряда.

n 3

n 1

x2 S(x).

n(n 1)

n(n

n 1

;

xn 1

n 1

x n 1

x 1

ln 1 x .

1 x

S(x)

ln(1 x).dx

x ln

1 x

x ln

1 x

x ln

1 x

x (1 x) ln

1 x

n 3

1 .

x3 (x2

x3 ) ln(1 x)

n(n 1)

n 1

	1	x	1 ;

	x
1

	1
x ln(1 x) 1		dx

	1 x

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

Задача 13. Найти сумму ряда.


(n 1)x6n x5 (n 1)x6n5																																										x5 S(x).
n0																							n0
																																															1											1					1		1
F (x)									S(x)dx															(n 1)x6n5 dx																							1			x6n6								1	x6	x6n			1	x6	1	.
F (x)									S(x)dx															(n 1)x6n5 dx																										x6n6									x6	x6n				x6		.
																					n0																										6 n0											6		n0			6		1 x6
S(x)						dF						1						6x5 (1 x6 ) 6x																							5 x6											x5					.
S(x)																															(1 x6 )2																			(1 x6 )2							.
						dx 6																									(1 x6 )2																			(1 x6 )2
																						1															1 .
(n 1)x6n																																		x


																(1 x6 )2
n0																(1 x6 )2
Задача 14. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням x .
																																1
										1												5
																																4
4 16 5x																																4
												1														x							.
												1														x							.
										2									16
Воспользуемся известным разложением.
(1 x)m 1 mx																								m(m 1)														x2				m(m 1)(m 2)														x3 ...
(1 x)m 1 mx																																						x2																		x3 ...
																												2!										3											3!
								1																																											2			21							3
																																																						21
			5					4											1				5																16						5										64			5
			5					4											1				5																						5													5
1						x						1																			x																	x												x		...
1						x						1																			x																	x												x		...
		16																	4				16																2!						16									3!				16
1				5			x					75								x 2										875						x3 ...
1							x													x 2																x3 ...
			64							8192																		219
										1							5												75											875				x3
4 16 5x										1							5							x					75						x2					875						...
4 16 5x										2							7							x					14						x2					20						...
										2					2													2											2
Задача 15. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
0,2		e			x								0,12																			x
	1	e							dx												1							e

			x																													x			dx.
0			x												0				x													x
e x		1 x									x2										x3						...
e x		1 x																									...
												2!										3!

0,2		1				1								x			2								x		3														0,2							x				x	2
		1				1								x											x																							x				x
									1
						x			1						2!										3!						... dx												1									3!			... dx .
0	x					x									2!										3!																0						2!					3!
							x 2								x3													0,2
																																	\|		0,2 0,01 0 0,190.

	x					2 2!							3 3!										...
						2 2!							3 3!																			0

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 2723 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.03.2025121.29 Кб05ballov-75211.rtf
#
05.08.2019164.54 Кб96-16.docx
#
01.05.202566.61 Кб06. Экономическая часть.docx
#
23.09.201942.43 Кб660-82.docx
#
01.04.202599.33 Кб061-66_2novoe.doc
#
16.05.20157.64 Mб28626266.pdf
#
25.09.2019240.63 Кб1364-70, 115.docx
#
22.09.2019604.67 Кб1166-100.doc
#
01.04.2025573.66 Кб166-73.docx
#
23.09.201979.32 Кб127-12.docx
#
16.05.201547.79 Кб2671-80.docx