Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

626266

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2015

Размер:

7.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2722 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

12	/ 4				1				1
12		( cos 4t			1		cos 2t		1		cos 6t 1)dt 1
16		( cos 4t			2		cos 2t				cos 6t 1)dt 1
16	/ 4				2				2
	/ 4
12		1		1				1					/ 4
12		1		1				1					/ 4
			sin 4t			sin 2t				sin 6t		t		1 1,7.
			sin 4t			sin 2t				sin 6t		t		1 1,7.
16		4		4				12					/ 4

Задача 16. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями в полярных

координатах.

r 4cos, r 2(r 2).

4 cos 3 2, cos 3 12 .

		2n 3			2n, n Z
	3			3
Отсюда			2n			2n
							, n Z ,
	9		3	9		3

S 1 2 r 2 ()d , 2 1

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

S 6 1	0	16 cos 2 3d 24	0	(1 6 cos )d 24(	1 sin 6)	0
	0		0



2	/ 3		/ 3		6	/ 3
	/ 3		/ 3

24(0 0 1 0) 8 . 3 6

Задача 17. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.

y 1 x2 arcsin x,0 x 89 .

1 x

1 x 2

1 ( y )2 dx,

8 / 9

(x 1)2

8 / 9

1 x 2 x 2 2x 1

8 / 9

2 2x

1 x

8 / 9		8 / 9			8 / 9
8 / 9	2 dx	8 / 9		dx	8 / 9	2	8 / 9
	2 dx	2		dx		2


	1 x					1 x	0
0	1 x	0	1 x		0	1 x	0


					4 2	.
2(	2 / 9	2) 2	2 / 9 2	2	4 2
2(	2 / 9	2) 2	2 / 9 2	2
					3

Задача 18. Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.

x 4(cos t t sin t),y 4(sin t t cos t), 0 t 2.

x 4( sin t sin t t cos t) 4t cos t, y 4(cos t cos t t sin t) 4t sin t.

b
l	(xt )2 ( yt )dt,
a
2		2	2 2 22
2		2
l	16t 2 cos 2 t 16t 2 sin 2 tdt 4tdt 2t 2			8.
0	0		0
0	0

Задача 19. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.

2e4 / 3 ,

/ 2 / 2.

L 2 ( )2 d;

83 e4 / 3 .

/ 2

100

4e8 / 3

e8 / 3 d

e4 / 3 d

/ 2

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

10		3	e4 / 3	/ 2
	3	4		/ 2

2		2
3	e	3	.

Задача 20. Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.

x2	y 2		z 2	1, z 4, z 0.
				1, z 4, z 0.
16	9	64

Поперечным сечением является эллипс.

x 2			y	2		1.
	z 2				z 2	1.
	z 2				z 2
16 1		9 1
16 1		9 1
	64			64
	64			64

								z 2
Площадь эллипса S(z) ab 12						1				.
Площадь эллипса S(z) ab 12						1				.
							64
							64
Объем
	z 2			2		z 3		5				125
	z 2					z 3		5				125

									12		5		52 .
V 12 1		dz 12	z						12		5		52 .
	64				192			0				192
	64				192			0				192

Задача 21. Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций,

относительно оси вращения Оx .

y 2x x2 , y x 2.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

	b
V y 2 dx.
	a
	2										2
V (2x x 2 x 2)2 dx (x 2 3x 2)2 dx
	1										1
2														1			3				13							2
2
(x		4		3				2								5			4					3		2
			6x			13x			12x 4)dx						x			x					x		6x		4x
			6x			13x			12x 4)dx						x			x					x		6x		4x
1														5			2				3							1
1														5			2				3							1
	32				104					1		3	13
		24					24		8						6 4							.
		24					24		8						6 4							.
	5				3					5		2	3							30

Задача 22. Варианты 1-10. Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, сечение которой имеет форму

равнобочной трапеции (рис.4.1). Плотность воды, 1000 кг м3 ,ускорение свободного падения положить

равным g =10 м с 2 .

Указание. Давление на глубине x равно gx .

a 6,6м,b 10,8м, h 4,0м.


dF gh		a b		hdh.
dF gh		2		hdh.
		2
		4			6,6 10,8	4		3
		4				4		3
F g	a b		h2 dh 1000 10			h2 dh 87000	h		4	1856000H.
F g			h2 dh 1000 10			h2 dh 87000				1856000H.
2		0			2	0	3		0
		0				0

F 18,56kH.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ представить в виде (x, y) C).

y y

1 x 2

1 0.

y 2

y y

1 x 2

y 2

1 x 2

1 y 2

1 x 2

1 y 2 arcsin x C,

C arcsin x 1 y 2 .

Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

x 2 y

2x y

1 2

Введем замену

u y ux y u u x.

u x

1 2u

2 u

1 u 2

2 u

1 u 2

1 u

2arctgu

ln C,

1 u 2

y 2

ln C.

2arctg

x 2

Задача 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

y x 2 y 3 . 4x y 3

x x1 k ,y y1 n

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

y x1 2 y1 k 2n 3
1	4x1	y1 4k n 3

k 2h 3 0 Пусть 4k h 3 0,

k 1h 1.

2 y1

4x1 y1

1 2

Введем замену

u y ux

y u u x .

u u x

1 2u

4 u

u x

1 2u u

4 u

(1 u)2

4 u

dx1

(u 1)2

1 u

u 2

2u 1

(u 1)2

u 2 2u 1

u 1

(u 1)2

u 1

( y x)

x 1

(x 1)2

y x

Задача 4. Найти решение задачи Коши.

y y cos x 12 sin 2x, y(0) 0.

y P(x) y f (x) ,

Пусть y uv.

Разделим переменные в этом дифференциальном уравнении относительно функции v , находим

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

v e P( x)dx

e cos xdx e sin x .

sin 2x

esin x sin 2xdx esin x sin x cos xdx

sin x t

et dt

sin x

cos xdx

u t

du dt

tet

et dt

tet et C sin xesin x esin x C.

v et

y e sin x (sin xesin x esin x

C),

y(0) 0 0 1 (0 1 1 C) C 1.

y e sin x (sin xesin x esin x

1).

Задача 5. Решить задачу Коши.

y 2 dx (xy 1)dy 0, y|x 1 e.

y 2

(xy 1) 0,

y 2

Пусть x uv.

u v uv ,

u v uv

y 2

u v

Разделим переменные в этом дифференциальном уравнении относительно функции v , находим

1) v vy 0, dydv vy ,

dvv dyy , ln v ln y v 1y . 2) u v y12 0,

u 1y y12 , dudy 1y , du dyy ,

uln y C,

x 1y (ln y C) -общее решение ДУ.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

y|x 1 e C e 1;

x 1y (ln y e 1) -частное решение ДУ.

Задача 6. Найти решение задачи Коши.

3(xy y) y 2 ln x, y(1) 3.

y 2 ln x

y uv,

u v uv

u 2 v 2 ln x

1) Пусть v

dvdx vx , dvv dxx ,

ln v ln x v 1x .

2) u v

u 2 v2 ln x

u 2 ln x

ln x

dx,

u 2

x 2

ln x 1

ln x 1 Cx

y(1) 3 C 2 / 3.

y	3	.

	3ln x 2x 3

Задача 7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

( y 2 y sec2 x)dx (2xy tgx)dy 0.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

P(x, y) y 2			y sec2 x,
Q(x, y) 2xy tgx,
P	2 y sec2			x 2 y		1
y	2 y sec2			x 2 y		cos 2 x,
y						cos 2 x,
Q	2 y		1		,
x	2 y	cos 2			,
x		cos 2		x
P	Q .
y	x

u(x, y)		(2xy tgx)dy	xy 2 ytgx (x),
U	y 2	y sec2 x y 2	y sec2 x (x).
x

(x) 0,

(x) C.

u(x, y) xy 2 ytgx C.

Задача 8. Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую,

проходящую через точку.

y xy, M (0,1).

y k const k xy,

y kx , т.е. гипербола.

Задача 9. Найти линию, проходящую через точку M 0 , если отрезок любой ее касательной между точкой

касания и осью Oy делится на точке пересечения с осью абсцисс в отношении a : b (считая от оси Oy ).

M 0 (1,2), a : b 2 :1.

y y0 y (x x0 ) уравнение касательной.

( y; x) -координаты произвольной точки, принадлежащие касательной.

По условию

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru


AB		2	,
			,
BM		1
AOB и BCM подобны.
	AB			OB		,
	BM			BC		,
	BM			BC
	xB				2	xB 2x 2xB x B	2	x(1).
	x xB				1	xB 2x 2xB x B	3	x(1).
	x xB				1		3

Точка B(xB ;0) принадлежит касательной, поэтому подставим координаты координаты точки B(xB ;0) в

уравнение касательной.

y y (x xB ), xB x yy (2).

Подставим (1) в (2).

	2	x x						y	,
3		x x						y	,
3								y
	y					1	x,
	y						x,
	y				3
	dy			3			dx	,
				3				,
	y						x
ln y 3ln x ln C y x3C.
M					(1,2) 1 23 C C						1	.
M			0		(1,2) 1 23 C C							.
			0							8
										8
									x	3
Отсюда, y										уравнение искомой линии.
Отсюда, y										уравнение искомой линии.
									2

Задача 10. Найти общее решение дифференциального уравнения.

y ctg 2x 2y 0.

y z(x),

Замена:

y z (x).

z ctg 2x 2z 0,

z 2 z 0. ctg 2x

Предположим, что z uv.

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2722 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.2025564.46 Кб05fan_ru_5495_f11e1a981b9e1edd2ddc2a681c6455b8.docx
#
05.08.2019164.54 Кб96-16.docx
#
01.05.202566.61 Кб06. Экономическая часть.docx
#
23.09.201942.43 Кб660-82.docx
#
01.04.202599.33 Кб061-66_2novoe.doc
#
16.05.20157.64 Mб28626266.pdf
#
25.09.2019240.63 Кб1364-70, 115.docx
#
22.09.2019604.67 Кб1166-100.doc
#
01.04.2025573.66 Кб166-73.docx
#
23.09.201979.32 Кб127-12.docx
#
16.05.201547.79 Кб2671-80.docx