Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

626266

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2015

Размер:

7.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2721 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

	1
		; e -точка минимума функции.
		; e -точка минимума функции.
	2
5) y			(2x2 2x 1)e2( x 1)	,
5) y			(x 1)3	,
			(x 1)3

y не существует при x 1.

6) Найдем точки пересечения с осями:

При x 0 y e2 .

При y 0 квадратное уравнение не имеет корней, следовательно график не пересекается с осью Оx.

Задача 9. Провести полное исследование функций и построить их графики.

y3 (2 x)(x2 4x 1).

1)D( y) ; .

2)Функция ни четная, ни нечетная.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

а) вертикальных асимптот нет.

б)

k lim

f (x)

lim

3 (2 x)(x2 4x 1)

(2 x)(x 2 4x 1) x3

b lim (3 (2 x)(x 2 4x 1)

x) lim

x 3

(2 x)2 (x 2 4x 1)2

(2 x)(x 2 4x 1) x 2

lim

2 9x 6x 2 2x3

x 3 (2 x)2 (x 2 4x 1)2 x3 (2 x)(x 2 4x 1) x 2

Следовательно,

y x 2 - наклонная асимптота.

9 12x 3x2

x2 4x 3

3 (2 x)2 (x2 4x 1)2

y 0

x 1,

при

x 2,

y не существует при

x 2

1;3 2 -точка минимума функции,

3; 3 2 - точка максимума функции.

5) y	(4x4 16x3	14x2 8x 10)	,

	3 (2 x)5 (x2 4x 1)5

y 0	x 0,94;
	при	,
	x 0,73

x 2,

y не существует при ,

x 2 3.

6) Найдем точки пересечения с осями: При x 0 y 3 2 .

x 2,

При y 0

x 2 3.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

Задача 10. Провести полное исследование функций и построить их графики.

yesin x cos x .

1)D( y) ; .

2)Функция ни четная, ни нечетная.

а) вертикальных асимптот нет. б) наклонных асимптот нет.

4) функция является периодической

T n, n z. 4

5) y esin x cos x .


	2 cos(x
y e	2 cos(x		4 ) ,
						cos(x )
y					2
		2 sin(x			2
		2 sin(x		4 )e	4
					4

y 0 ,тогда sin(x 4 ) 0,

x k, k z . 4

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

6) y

	2 cos x	e
		4


	4
2 cos x		2 sin x		2 sin x	e
		2 sin x		2 sin x	e
			4		4

2 cos x

cos

2 sin

2 cos x

2 cos

2 cos x

y 0 при

x 4

2n, n z. ,

2n, n z.

2k, k

2n, n z.

x 2k, k z.

y 0 .

При x

2 n;2 k функция вогнута, т.к.

2 n

y 0 .

При x 2 k;

функция выпукла, т.к.

Точки перегиба:

2k; e ,

2n; e 2

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

Задача 1. Найти неопределенные интегралы.

ln(4x 2 1)dx

u ln(4x 2

dv dx

x ln(4x 2 1) 8

v x

4x 2

x ln(4x 2 1) 2

dx x ln(4x 2 1) 2 x

arctg 2x

4x 2

x ln(4x 2 1) arctg 2x 2x C.

Задача 2. Вычислить определенные интегралы.

0												u x 2			4			dv cos 3xdx									1						0
0												u x 2			4			dv cos 3xdx															0
(x 2					4) cos 3xdx															1								(x 2	4) sin 3x
(x 2					4) cos 3xdx							du	2xdx					v		1	sin 3x					3		(x 2	4) sin 3x				2
2												du	2xdx					v		3	sin 3x					3							2
2																				3
	2 0										u x				dv sin 3xdx								2			1						1	0
	2 0										u x				dv sin 3xdx								2			1					0	1	0
																		1
				x sin 3xdx					du dx						v				cos 3x						x cos 3x									cos 3xdx
	3			x sin 3xdx					du dx						v				cos 3x				3			3						3		cos 3xdx
	3			2														3					3			3					2	3		2
			2			2			1							4					2
			2			2			1					0		4					2
							cos 6				sin 3x						cos 6					sin 6.
			3			3	cos 6		9		sin 3x					9	cos 6				27	sin 6.
														2
														2
Задача 3. Найти неопределенные интегралы.
		1 cos x						dx				x sin x t									dt	t		1		C					1			C.
												x sin x t

		2								(1 cos x)dx dt											2
	(x sin x)									(1 cos x)dx dt											t									x sin x

Задача 4. Вычислить определенные интегралы.

1/ 2 8x arctg 2x									1/ 2			8x						1/ 2
						dx										dx		arctg 2xd (arctgx)
		1 4x	2			dx					1		4x		2	dx		arctg 2xd (arctgx)
0		1 4x							0		1		4x					0
0									0									0
				1/ 2			1	arctg 2						1/ 2 ln 2 0					1	2 0 ln 2		2 .
ln		1 4x 2										2x


				0		2								0					2	16		32
				0		2								0					2	16		32
Задача 5. Найти неопределенные интегралы.
		x3 3x2			12					dx.
	(x 4)(x 3)(x 2)									dx.
Разделим дробь
x3 3x 2 12									x3 9x 2 26x 24
x3 3x 2 12									x3 9x 2 26x 24
x3 9x 2 26x 24															1
6x 2 26x 12
		x3 3x2			12													6x2 26x 12

										dx				1							dx
	(x 4)(x 3)(x 2)																(x	4)(x 3)(x 2)

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

Разложим дробь

6x2

26x 12

на простейшие

(x 4)(x 3)(x 2)

6x2 26x 12

A(x 3)(x 2) B(x 4)(x 2) C(x 4)(x 3)

(x 4)(x 3)(x

x 4

x 3

(x 4)(x 3)(x

A(x 2)3 B(x 1)(x 2)2

C(x 1)(x 2) D(x 1) x3

6x2 13x 9.

При x 4 , 2A 4 A 2;

При x 3 , B 12 B 12;

При x 2 , 2C 16 C 8;

26x 12

Отсюда 1

dx 1

(x 4)(x 3)(x

x 4

x 2

x 2ln x 4 12ln x 3 8ln x 2 C.

Задача 6. Найти неопределенные интегралы.

x3 6x2 13x 9

dx.

1)(x 2)3

Разложим дробь

6x 2 13x 9

на простейшие

1)(x 2)3

x3 6x

2 13x 9

(x 1)(x 2)3

x `

(x 2)2

(x 2)

A(x 2)3 B(x 1)(x 2)2

C(x 1)(x 2) D(x 1)

(x 1)

A(x 3)(x 2) B(x 4)(x 2) C(x 4)(x 3) 6x2 26x 12.

При x 1, A 1;

При x 2 , D 1 D 1;

Приравнивая коэффициенты при x3 ,

A B 1 B 0;

Приравнивая коэффициенты при x0 ,

8A 4B 2C D 9 C 0;

Отсюда

(x 2)

dx ln

x 1

2(x 2)

2 C.

x 1

Задача 7. Найти неопределенные интегралы.

x3 5x2 12x 4 dx. (x 2)2 (x2 4)

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

x3 5x 2 12x 4

Разложим дробь

на простейшие

(x 2)2 (x 2 4)

x3 5x 2 12x 4

Cx D

(x 2)2 (x 2 4)

x 2

A(x 2)(x 2 4) B(x

4) (Cx D)(x 2)

2 (x 2 4)

A(x 2)(x2

4) B(x2 4) (Cx D)(x2

4x 4) x3 5x2 12x 4.

При x 2 ,

8B 8 B 1;

Приравнивая коэффициенты при x3 , A C 1 A 0;

Приравнивая коэффициенты при x , 4A 4C 4D 12 C 1;

Приравнивая коэффициенты при x0 , 8A 4B 4D 4 D 2;

x 2

Отсюда

arctg

Задача 8. Вычислить определенные интегралы.

1 t 2

/ 2

cos x sin x

cos x

2dt

1 t 2

(1 sin x)

2dt

dx 1 t 2

sin x

1 t 2

2(1 2t t

2 )

1 t

dt.

(1 t)4

2(1 2t t 2 )

Разложим дробь

на простейшие

t 4 )

2 4t 2t 2 )

(1 t)4

t)2

(1 t)4

(1 t 3 )

A(1 t)3 B(1 t)2 C(1 t) D

(1 t)4

A(1 t)3 B(1 t)2 C(1 t) D 2 4t 2t 2 .

При t 1, D 4;

Приравнивая коэффициенты при t 3 , A 0;

Приравнивая коэффициенты при t 2 , 3A B 2 B 2;

Приравнивая коэффициенты при t , 3A 2B C 4 C 0;

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

						1		4						2							4			2		1		4			4			1
						1		4						2							4			2		1		4			4			1
Отсюда																		dt											1				2		.
Отсюда											4						2	dt				3							1				2		.
											4						2					3
						0	(1 t)						(1	t)						3(1 t)				1 t		0		3 8			3			6
						0	(1 t)						(1	t)						3(1 t)				1 t		0		3 8			3			6
Задача 9. Вычислить определенные интегралы.
arctg3								dx							tgx t									2t			3		dt
arctg3															tgx t												3
																			dt	sin 2x

																									2
				(3tgx 5) sin 2x																									2t
	/ 4			(3tgx 5) sin 2x											dx 1 t 2								1 t				1 (3t 5)		2t			(1 t 2 )
	/ 4														dx 1 t 2												1 (3t 5)		1 t	2		(1 t 2 )
1			3				dt																						1 t
1			3				dt
									.
		2			t(3t 5)				.
			1
			1					A				B				A(3t 5) Bt					,
	t(3t 5)							t		3t 5											,
	t(3t 5)							t		3t 5								t(3t 5)
	A(3t 5) Bt								1.

При t 0 , A 15 ; При t 53 , B 53 ;

	1	3	1	3		1	ln				3	1
	1	3	1	3		1					3	1
Отсюда					dt			t	ln	3t 5			(ln 3	ln14	0	ln 8)
Отсюда					dt			t	ln	3t 5			(ln 3	ln14	0	ln 8)
	10	1 t		3t 5		10					1	10
											1

101 ln 1424 101 ln 127 .

Задача 10. Вычислить определенные интегралы.

							x
24 cos8							x	dx (1 cos x)4 dx (1 2 cos x cos 2														x)2 dx
24 cos8								dx (1 cos x)4 dx (1 2 cos x cos 2														x)2 dx
0						2		0						0
0								0						0

(1 3cos x 6 cos 2 x 4 cos 3 x cos 4																				x)dx
	0
			35						7				1									2
						3cos x					cos 2x			cos 4x			dx 4 (1 sin						x) cos xdx
						3cos x					cos 2x			cos 4x			dx 4 (1 sin						x) cos xdx
		0	8						2				8							0
	35								7				1

					x 3sin x														4 (1 sin		2	x)d (sin x)
											sin 2x				sin 4x
											sin 2x				sin 4x
	8								4				32					0		0
		35		4(sin x					1	sin 3 x)				35		.


	8								3			0		8
	8								3			0		8

Задача 11. Вычислить определенные интегралы.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

9																						9 2x												t 2																																				t 2
																						9 2x
			9 2x																																																		t
			9 2x																			2x 21																															t
													dx																	12t										12 t																			dt					12
			2x										dx																											12 t						(t		2								1)	2		dt					12			(t	2			1)			2
6			2x						21										dx																			dt								(t										1)											(t				1)
																			dx									(t 2				1)						dt

					t tga
																	12 tg 2 cos 2																					ada 12 sin 2 ada 6 (1 cos 2a)da

		dt								da
		dt					cos 2 a

																																															9 2x																											9 2x
																																															9 2x																											9 2x				9
6arctgT 3sin(2arctgt )																																							6artctg																			3sin							2arctg
6arctgT 3sin(2arctgt )																																							6artctg							2x												3sin							2arctg									2x 21
																																														2x										21																		2x 21				6


																																														1																					1			) 2 3sin							2
6arctg												3 3sin(2arctg 3) 6arctg																																		1				3sin(2arctg																	1										2


																																														3																					3									3

3sin															3														3			3							3	.
3sin												3			3												2					3					2			.
												3															2										2
Задача 12. Вычислить определенные интегралы.
3						dx															x 3tgt																		/ 4										3dt
3																					x 3tgt																		/ 4
																												3dt
																		dx
	(9 x						2		)		3 / 2																														(9 9tg							2			t)				3 / 2		cos			2		t
0	(9 x								)																	cos						2	t						0		(9 9tg										t)						cos					t
																										cos							t
					/ 4									3																/ 4																						/ 4
					/ 4									3																/ 4
		3							cos							t	dt							3									cos tdt										3		sin t														2			.
	27								2							t	dt						27										cos tdt												sin t																	.
	27					0			cos							t							27								0										27														0			18
Задача 13. Найти неопределенные интегралы.
																																																													1
3 (1 x )																dx x													6		3			(1						x )2 dx																1 x					1
3 (1 x )																dx x													6		3			(1						x )2 dx																1 x					2 t 2
														2															11


				x6 x5																																												dx 4t(t 2 1) 3 dt

																																																																											2
															11														1							2																														2						t	2		2
4																																														dt 4 t(t

								2																																2				3																	2
								2								3 3																								2				3																	2					3 3
						(t				1)										1							t		2						t(t							1)																					1)									2	1		dt
																											t						1																																				t				1
						7														3							3													6						1										5
						7																					3



4						t 3 dt 4														10					t 10 C															5		3 1												C.
																				10																				5										x

Задача 14. Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

y (x 2)3 , y 4x 8.

2	2
S 2 (4x 8 (x 2)3 )dx 2 (4x 8 x3 6x 2 12x 8)dx
0	0
2		1			2		1
2
2 (6x 2	x3 8x)dx 2(2x3		x 4	4x 2 )		4 23		24	8 22	8.
2 (6x 2	x3 8x)dx 2(2x3	4	x 4	4x 2 )	0	4 23	2	24	8 22	8.
0		4			0		2
0

Задача 15. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями.

			3
x 2		2 cos	3	t,
x 2		2 cos		t,

y	2 sin 3 t,

x 1(x 1).

S y(t)x (t)dt.

Пределы интегрирования найдем из решения неравенства

2n;

2 2 cos

1 t

2n .

S ABDE / 4

S S ABCDE

2 sin 3 t 6

2 cos 2 t ( sin t)dt 1 1

/ 4

12 sin 4

t cos 2 tdt 1 12

/ 4

(cos 4t 4 cos 2t 3)

(1 cos 2t)dt 1

/ 4

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2721 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.03.2025121.29 Кб15ballov-75211.rtf
#
05.08.2019164.54 Кб156-16.docx
#
01.05.202566.61 Кб36. Экономическая часть.docx
#
23.09.201942.43 Кб760-82.docx
#
01.04.202599.33 Кб361-66_2novoe.doc
#
16.05.20157.64 Mб30626266.pdf
#
25.09.2019240.63 Кб1464-70, 115.docx
#
22.09.2019604.67 Кб1866-100.doc
#
01.04.2025573.66 Кб166-73.docx
#
23.09.201979.32 Кб177-12.docx
#
01.07.202584.99 Кб17-Нормир. нов.doc