Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1302 вуза, 5107 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

626266

.pdf
Скачиваний:
28
Добавлен:
16.05.2015
Размер:
7.64 Mб
Скачать
☆

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

Задача 10. Найти производную.

y

 

 

shx

.

 

 

 

 

 

1

chx

 

y

chx(1 chx) sh2 x

.

 

(1 chx)2

 

 

 

 

Задача 11. Найти производную.

y xsin x3 .

y

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xsin x

 

 

3cos(x3 )

x2 ln x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 12. Найти производную.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

4x 1

 

 

 

1

 

 

arctg

 

 

4x

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16x2 8x

3

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

4(16x 2 8x 3) (4x 1)(32x 8)

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(16x 2

8x 3)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4x

 

1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

64x 2

 

32x 4

 

4

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

64x 2

32x 4

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

(16x 2 8x 3)2

 

 

 

 

(4x 1)2

 

 

(16x 2 8x

3)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

2 16x 2 8x 1

 

 

 

 

 

64x 2

 

32x 4 16x 2

 

8x 3

 

48x 2 24x 7

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(16x 2

8x 3)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(16x 2

8x 3)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 13. Найти производную.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 2arcsin

 

 

 

 

 

 

 

9x2

24x 12,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18x 24

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 4

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3x 4)2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3x 4)2

1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

9x 2 24x 1)2

 

 

 

9x 2 24x 16 4

 

 

 

 

(3x 4)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9x 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3x 4)

9x 2

24x 12

(3x 4)

 

 

9x 2 24x 12

9x 2

24x

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12 (9x 12)(3x 4)

 

 

 

 

 

 

27x 2

72x 36

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3x 4)

 

9x 2

24x 12

 

(3x 4)

 

 

9x 2

24x 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 14. Найти производную.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

ln(tgx ctg ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

tgx ctg

 

cos 2

 

x

sin cos 2

x(tgx ctg )

Задача 15. Найти производную

y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t

2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y tg 1

t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

yt

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

xt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x (t)

 

 

 

 

 

t

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t

2

 

1 t

 

 

2

1 t cos 2

1 t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t 2

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

2t

 

1 t cos 2

1 t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра t t0 .

 

 

1

 

 

2

 

1

 

 

4

 

x

 

t

 

 

 

 

t

 

,

2

 

4

 

 

 

1

 

 

 

 

1 3

 

 

 

 

2

 

 

y

2

t

 

3

t ,t0 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

x(t

0 ) 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(t0 ) 0.

 

 

 

 

 

 

x t t 3

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y t t 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y (t

0

) 1,

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 0 1(x 0),

y x - уравнение касательной,

y 0 1(x 0)

y x - уравнение нормали.

Задача 17. Найти производную n -го порядка.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

y a3x .

y 3a3x ln a,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 9a3x ln 2 a,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y (n)

3n a3x (ln a)(n) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 18. Найти производную указанного порядка.

 

 

 

 

 

 

 

 

y (2x2

 

7) ln(x 1),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

4x ln( x 1)

 

 

2x 2

7

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

4 ln(x 1)

 

 

 

4x

 

 

 

 

4x(x 1) (2x 2 7)

 

4 ln(x 1)

 

4x

 

 

2x 2 4x 7

,

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 1)2

 

 

 

1

 

(x 1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

4(x 1) 4x

 

 

 

(4x 4)(x 1)2

2(x 1)(2x 2

4x 7)

 

 

 

x

 

 

1

 

 

 

(x

 

1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 1)4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

(x 1)2

(x 1)3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y|V

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

1)2

 

 

 

(x

1)3

 

 

(x

1)4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yV

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

120

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 1)

3

 

(x 1)4

 

(x

1)5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 19. Найти производную второго порядка

y

от функции, заданной параметрически.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t

2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t

 

 

 

 

 

1 t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 20. Показать, что функция y удовлетворяет данному уравнению.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

y sin x , xy y cos x . x

y

x cos x sin x

.

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

x cos x sin x

 

sin x

cos x,

 

x

x

 

 

 

x cos x sin x sin x cos x, x

cos x cos x, 0 0.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

Задача 1. Построить графики функций с помощью производной первого порядка.

yx2 (x 2)2 .

1)D( y) ; .

2)Функция ни четная, ни нечетная.

3)y 2x(x 2)2 2x2 (x 2) 4x(x 2)(x 1) .

 

x 2,

При y 0

 

, x 1,

 

 

 

x 0

(0;0)- точка минимума, (2;0)- точка минимума, (1;1)- точка максимума.

Задача 2. Построить графики функций с помощью производной первого порядка.

y 1 3 x2 2x.

1)D( y) ; .

2)Функция ни четная, ни нечетная.

3) y

 

2x 2

 

.

 

 

 

 

 

 

(x2 2x)2

33

 

 

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

При y 0 , x 1; y не существует в точках x 0 и x 2 .

(-1;2)- точка максимума.

Задача 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на заданных отрезках.

y 2x2

108

59, 2,4 .

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

ОДЗ x 0 .

 

 

 

 

 

 

y 4x

108

 

 

4x3

108

.

 

 

x2

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

При y 0 , x 3 2;4 ;

 

y не существует при

x 0 2;4 .

y(2) 3,

 

 

 

 

 

 

 

 

y(3) 5, y(4) 0.

max y y(2) 3;

2;4

min y y(3) 5;

2;4

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

Задача 4. При подготовке к экзамену студент за t дней изучает

t

ю часть курса, а забывает

 

t k

t ю часть. Сколько дней нужно затратить на подготовку, чтобы была изучена максимальная часть курса?

k=1/2, 2 / 81.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S(t)

 

t

 

2

 

t

 

 

2t

 

 

2

 

t;

 

 

 

t 1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

81

 

 

2t 1

81

 

 

 

 

S (t) 2

2t 1 2t

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

2

.

(2t 1)2

 

 

 

 

 

1)2

 

 

 

 

81

 

(2t

 

81

S (t) 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2t 1)2

81,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t1 5 не удовлетворяет условию задачи.

t2 4.

Точка t2 является точкой минимума.

Ответ: 4 дня.

Задача 5. Исследовать поведение функций в окрестностях заданных точек с помощью производных высших порядков.

y 4x x2 2cos(x 2), x0 2.

y 4 2x 2sin(x 2), y (2) 0; y 2 2 cos(x 2), y (2) 0; y 2sin(x 2), y (2) 0;

y|V 2 cos(x 2), y|V (2) 2.

Т.к. y|V 0, то в точке x0 2 функция имеет максимум.

Задача 6. Найти асимптоты и построить графики функций.

y 17 x 2 . 4x 5

 

 

 

5

5

 

1)

D( y)

;

 

 

 

 

; .

 

 

 

 

 

4

 

4

 

2) Функция ни четная, ни нечетная.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

17 x 2

а)

lim

 

 

,

 

 

 

x

5

 

 

0

4x 5

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17 x2

lim

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

x

5

0

 

4x 5

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

5

 

-вертикальная асимптота.

4

 

 

 

 

 

 

 

 

б) k lim

f (x)

lim

17 x2

 

1

.

 

 

 

x

x

x x(4x 5)

 

4

 

 

 

 

 

 

17 x2

 

 

x

 

 

68 5x

 

5

 

b lim( f (x) kx) lim

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x 5

 

 

4

 

x 16x 20

 

16

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

y

1

x

 

5

- наклонная асимптота.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) y

2x(4x 5) 4(17 x2 )

 

4x2 10x 68

.

 

 

 

 

 

(4x 5)2

 

 

 

 

 

(4x

5)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y не существует при x 54 .

5) Найдем точки пересечения с осями:

При x 0 y 175 .

При y 0 x 4,12 .

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

Задача 7. Провести полное исследование функций и построить их график.

yx2 3x 3 . x 1

1)D( y) ;1 1; .

2)Функция ни четная, ни нечетная.

3)

а) lim

 

x2 3x 3

,

 

x 1

 

 

x 1 0

 

 

 

lim

x2

3x 3

,

 

 

x 1

 

x 1 0

 

 

 

 

 

x 1-вертикальная асимптота.

б) k lim

f (x)

lim

x2 3x 3

1.

x

x(x 1)

 

x

x

 

 

 

 

x2

3x 3

 

 

 

 

2x 3

 

b lim( f (x) kx) lim

 

 

 

 

x

lim

 

 

2 .

 

 

 

 

 

x

x

 

x 1

 

 

 

x

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

y x 2 - наклонная асимптота.

 

 

 

4) y

(2x 3)(x 1) (x2

3x 3)

 

x(x 2)

.

 

 

(x 1)2

 

 

 

(x 1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0,

y 0 при

x 1

y не существует при x 1.

0; 3 -точка максимума функции.

2;1 -точка минимума функции.

5)

y

(2x 2)(x 1)2

2(x 1)(x2

2x)

 

2

 

,

(x 1)4

 

(x 1)

3

 

 

 

 

 

y не существует при x 1.

6) Найдем точки пересечения с осями: При x 0 y 3 .

При y 0 квадратное уравнение не имеет корней, следовательно график не пересекается с осью Оx.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

Задача 8. Провести полное исследование функций и построить их графики.

y2(e x 1) .

1)D( y) ;1 1; .

2)Функция ни четная, ни нечетная.2( x 1)

3)

 

e

2( x 1)

а) lim

 

 

,

 

 

x 1 0

2(x 1)

e2( x 1)

lim , x 1 0 2(x 1)

x 1-вертикальная асимптота.

б)

k

lim

f (x)

lim

e2( x 1)

 

,

 

 

 

x

 

2(x 1)x

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

 

 

e2( x 1)

 

 

 

k lim

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x

 

 

 

x

2(x 1)x

 

 

 

b lim

 

e2( x 1)

0. .

 

 

 

 

 

 

 

2(x 1)

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

y 0 - горизонтальная асимптота.

 

 

y

1

 

 

2(x 1)ee( x 1) e2( x 1)

 

(2x 1)e2( x 1)

 

4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

2

 

 

 

 

 

(x 1)2

 

 

 

2(x 1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 0

при x 0,5 ,

 

 

 

 

 

 

 

y не существует при x 1.

 

 

 
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности