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Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет

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y 5x2 1, y 3x2 1, z 2

3x2 y 2 , z 5 3x2 y 2 .

x 5y 2 9, x 4, z x2 4x y2 4, z x2 4x y2 2.

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20.		dxdydz				;V :	x		y		z	1, x 0, y 0, z 0.
20.		x	y	z	4	;V :	2					1, x 0, y 0, z 0.
V		x	y	z			2	4		6
	1
	1
		2	4	6

21. x2 dxdydz;V : z 10(x 3y), x y 1, x 0, y 0, z 0.

22. (8y 12z)dxdydz;V : y x, y 0, x 1, z 3x2 2 y 2 , z 0.

23. 63(1 2 y )dxdydz;V : y x, y 0, x 1, z xy , z 0.

24.	(x y)dxdydz;V : y x, y 0, x 1, z 30x2 60 y 2 , z 0.
	V
25.			dxdydz				;V :	x		y		z	1, x 0, y 0, z 0.
25.			x	y	z	5	;V :	6			16		1, x 0, y 0, z 0.
	V		x	y	z			6	4		16
		1
		1
			6	4	16
26.	xyzdxdydz;V : y x, y 0, x 2, z xy, z 0.
	V

27. y 2 dxdydz;V : z 10(3x y), x y 1, x 0, y 0, z 0.

V
	3z
28. 5x		dxdydz;V : y x, y 0, x 1, z x2	15y 2 , z 0.
28. 5x		dxdydz;V : y x, y 0, x 1, z x2	15y 2 , z 0.
V	2

29. (x2 4 y 2 )dxdydz;V : z 20(2x y), x y 1,, x 0, y 0, z 0.

	V
30.			dxdydz				;V :	x		y		z	1, x 0, y 0, z 0.
30.			x	y	z	6	;V :	8					1, x 0, y 0, z 0.
	V		x	y	z			8	3		5
		1
		1
			8	3	5
31.	x2 zdxdydz;V : y 3x, y 0, x 2, z xy, z 0.
	V

Задача 6. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

1.y 3x , y 4e x , y 3, y 4.

2.x 36 y 2 , x 6 36 y 2 .

3.x2 y 2 72,6y x2 ( y 0).

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4.x 8 y 2 , x 2y.

5.y 3x , y 8e x , y 3, y 8.

6. y		x	, y	1	, x 16.
	2			2x

7.x 5 y 2 , x 4y.

8.x2 y 2 12,6 y x2 ( y 0).

9.y 12 x2 , y 23 12 x2 , x 0, (x 0).

10.y 32 x, y 23x , x 9.

11.y 24 x2 ,23y x2 , x 0, (x 0).

12.y sin x, y cos x, x 0(x 0).

13.y 20 x2 , y 8x.

14.y 18 x2 , y 32 18 x2 .

15.y 32 x2 , y 4x.

16.y 2x , y 5e x , y 2, y 5.

17.x2 y 2 36,32 y x2 ( y 0).

18.y 3 x, y 3x , x 4.

19.y 6 36 x2 , y 36 x2 , x 0, (x 0).

20.y 254 x2 , y x 52 .

21.y x, y 1x , x 16.

22.y 2x , y 7e x , y 2, y 7.

23.y 27 y 2 , x 6y.

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24.x 72 y 2 ,6x y 2 , y 0( y 0).

25.y 6 x2 , y 6 6 x2 .

26.y 32 x, y 23x , x 4.

27.y sin x, y cos x, x 0(x 0.

28.y 1x , y 6e x , y 1, y 6.

29.y 3x, y 3x , x 94.

30.y 11 x2 , y 10x.

31.x2 y 2 12, x6 y 2 (x 0).

Задача 7. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.


	y 2 2 y x2 0, y 2 4 y x2 0, y	x
1.		x		, y 3x.
				, y 3x.
	3
	3
2.	x2 4x y 2 0, x2 8x y 2 0, y 0, y					x	.
	x2 4x y 2 0, x2 8x y 2 0, y 0, y						.
	3
	3
	y 2 6 y x2 0, y 2 8y x2 0, y	x
3.		x	, y 3x.


	3
4.	x2 2x y 2 0, x2 4x y2 0, y 0, y x.
	y 2 8y x2 0, y 2 10 y x2 0, y	x
5.		x			, y 3x.

	3
	3
6.	x2 4x y 2 0, x2 8x y 2 0, y 0, y x.

7.y2 4y x2 0, y 2 6y x2 0, y x, x 0.

8.x2 2x y2 0, x2 10x y2 0, y 0, y 3x.

9.y2 6y x2 0, y 2 10y x2 0, y x, x 0.

	x2 2x y 2	0, x2	4x y 2		x
10.				0, y			, y 3x.

					3

	y2 2y x2	0, y 2	4y x2
11.				0, y		3x, x 0.

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x2 2x y 2

0, x2

6x y 2

0, y

, y

12.

3x.

y2 4y x2

0, y 2

6y x2

13.

0, y

3x, x 0.

x2 2x y 2

0, x2

8x y 2

0, y

, y

14.

3x.

15.

y 2 2 y x2

0, y 2

6 y x2

0, y

, x 0.

16.

x2 2x y 2

0, x2

4x y 2

0, y 0, y

y 2 2 y x2

0, y 2

10 y x2 0, y

, y

17.

3x.

18.

x2 2x y 2

0, x2

6x y 2

0, y 0, y

y 2 4 y x2

0, y 2

10 y x2 0, y

, y

19.

3x.

20.x2 2x y 2 0, x2 6x y2 0, y 0, y x.

21.y2 2y x2 0, y2 4y x2 0, y x, x 0.

22.x2 2x y2 0, x2 4x y2 0, y 0, y 3x.

23.y2 6y x2 0, y 2 8y x2 0, y x, x 0.

24.x2 4x y2 0, x2 8x y2 0, y 0, y 3x.

25.y2 4y x2 0, y 2 8y x2 0, y x, x 0.

x2 4x y 2

0, x2

8x y 2

0, y

, y

26.

3x.

y2 4y x2

0, y 2

8y x2

27.

0, y

3x, x 0.

x2 4x y 2

0, x2

6x y 2

0, y

, y

28.

3x.

29.

y 2 2 y x2

0, y 2

10 y x2 0, y

, x 0.

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x2 6x y 2

0, x2

10x y 2

30.

0, y

, y 3x.

31.

y 2 4 y x2

0, y 2

8y x2

0, y

, x 0.

Задача 8. Пластинка D задана ограничивающими ее кривыми, -поверхностная плотность. Найти массу пластинки.

D : x 1, y 0, y 2

4x( y 0); 7x2 y.

D : x2 y 2 1, x2

y 2

4, x 0, y 0(x 0, y 0);

x y

x2 y 2

D : x 1, y 0, y 2

4x( y 0);

7x2

5y.

D : x2 y 2 9, x2

y 2

16, x 0, y 0(x 0, y 0);

2x 5y

x2 y 2

D : x 2, y 0, y 2

2x( y 0);

7x2

2 y.

D : x2 y 2 1, x2

y 2

16, x 0, y 0(x 0, y 0);

x y

x2 y 2

D : x 2, y 0, y 2

( y 0);

7x2

6 y.

D : x2 y 2 4, x2

y 2

25, x 0, y 0(x 0, y 0);

2x 3y

x2 y 2

D : x 1, y 0, y 2

4x( y 0); x 3y2 .

10.

D : x2 y 2 1, x2

y 2

9, x 0, y 0(x 0, y 0);

x y

x2 y 2

11.

D : x 1, y 0, y 2

x( y 0); 3x 6y2 .

12.

D : x2 y 2 9, x

2 y

25, x 0, y 0(x 0, y 0);

2 y x

x2 y 2

13.

D : x 2, y 0, y 2

( y 0); 2x 3y 2 .

14.

D : x2 y 2 9, x

2 y

16, x 0, y 0(x 0, y 0);

2x 5y

x2 y 2

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15.

D : x

, y 0, y 2 8x( y 0); 7x 3y 2 .

16.

D : x2 y 2

9, x2

y 2

16, x 0, y 0(x 0, y 0);

2 y 5x

x2 y 2

17.

D : x 1, y 0, y2

4x( y 0); 7x2

2y.

18.

D : x2 y 2

1, x2

y 2

16, x 0, y 0(x 0, y 0);

x 3y

x2 y 2

19.

D : x 2, y 2 4x, y 0( y 0);

7x2

20.

D : x2 y 2

1, x2

y 2

4, x 0, y 0(x 0, y 0);

x 2 y

x2 y 2

21.

D : x 2, y 0, y 2

2x( y 0);

7x2

22.

D : x2 y 2

1, x2

y 2

9, x 0, y 0(x 0, y 0);

2x y

x2 y 2

23.

D : x 2, y 0, y 2

( y 0);

7x2

8y.

24.

D : x2 y 2

1, x2

y 2

25, x 0, y 0(x 0, y 0);

x 4 y

x2 y 2

25.

D : x 1, y 0, y 2

4x( y 0); 6x 3y2 .

26.

D : x2 y 2

4, x2

y 2

16, x 0, y 0(x 0, y 0);

3x y

x2 y 2

27.

D : x 2, y 0, y 2

( y 0); 4x 6 y 2 .

28.

D : x2 y 2

4, x2

y 2

9, x 0, y 0(x 0, y 0);

y 4x

x2 y 2

29. D : x 12 , y 0, y 2 2x( y 0); 4x 9 y 2 .

30. D : x2 y 2	4, x2 y 2	9, x 0, y 0(x 0, y 0);	y 2x	.

			x2 y 2

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31. D : x

, y 0, y 2 16x( y 0); 16x

9 y 2

Задача 9. Пластинка D задана ограничивающими ее кривыми, -поверхностная плотность. Найти массу

пластинки.

D : x2

y 2

1; y 2 .

15.

D :

y 2

1, x 0, y 0; 30x3 y 7 .

D :1

y 2

2; y 0; y

16.

D :1

y 2

3; y 0; y

D :

y 2

1, y 0; x2 y.

17.

D : x2

y 2

1, y 0; 7x4 y.

D :

y 2

1, y 0;

7x2 y

18.

D : x2

y 2

1, y 0; 35x4 y3 .

D :1

y 2

4; y 0; y

;

19.

D :

y 2

1; x2 .

D :

y 2

1, x 0; 7xy 6 .

20.

D :1 x2

y 2

9; y 0; y 4x;

D :

y 2

1; 4 y 4 .

21.

D :

y 2

1, x 0; 11xy 8 .

D :1

y 2

4; x 0; y

22.

D :1

y 2

5; x 0; y 2x;

D :1

y 2

4; y 0; y

;

23.

D :1

y 2

5; x 0; y

;

10. D :

y 2

1, x 0, y 0; x3 y.

24.

D :

y 2

1, x 0, y 0; x5 y.

11.

D :

y 2

1, x 0, y 0; 6x3 y3 .

25.

D :

y 2

1; x4 .

12.

D :1

2 25; x 0; y

;

26.

D : x2

y 2

1, x 0, y 0; 15x5 y3 .

13. D :

y 2

1; x2 y 2 .

27.

D :1

y 2

36; x 0; y

14.

D :

y 2

1; x 0, y 0; 5xy 7 .

28.

D :

y 2

1, x 0, y 0; 6xy 9 .

100

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29.

D :

y 2 1, x 0, y 0; 105x3 y9 .

31. D :1

y 2

3; x 0; y

;

30.

D :1

y 2

3; x 0; y

27 y

Задача 10. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

1.y 162x, y 2x, z 0, x z 2.

2.y 5x, y 53x , z 0, z 5 5 3x .

3. x2 y 2 2, y x, y 0, z 0, z 15x.

4.x y 2, y x, z 12y, z 0.

5.x 202 y , x 52 y , z 0, x y 12 .

	5	y		5y		5
6. x			, x		, z 0, z		(3 y).
	2			6		6

7. x2 y 2 2, x y, x 0, z 0, z 30y.

8.x y 2, x y , z 125x , z 0.

9.y 172x, y 22x, z 0, x z 12 .


10.	y	5	x	, y	5x	, z 0, z	5(3 x )	.
10.	y			, y		, z 0, z		.
		3			9		9

11.x2 y 2 8, y 2x, y 0, z 0, z 1511x .

12.x y 4, y 2x, z 3y, z 0.

		5	y		5y			5
13.	x			, x		, z 0, z			(3 y).
		6			18		18

14.x 192y, x 42y, z 0, z y 2.

15.x2 y 2 8, x 2 y , x 0, z 3011y , z 0.

16.x y 4, x 2 y , z 35x , z 0.

17.y 63x, y 3x, z 0, x z 3.

18.y 56 x, y 185 x, z 0, z 185 (3 x ).

19.x2 y 2 18, y 3x, y 0, z 0, z 511x .

20.x y 6, y 3x, z 4y, z 0.

21.x 73y, x 23y, z 0, z y 3.


22.	y	5	y	, x	5y	, z 0, z	5(3 y )	.
22.	y			, x		, z 0, z		.
		3			9		9

23.x2 y 2 18, x 3y , x 0, z 0, z 1011y .

24.x y 6, x 3y , z 45x , z 0.

25.y 15x, y 15x, z 0, z 15(1 x).

26.x2 y 2 50, y 5x, y 0, z 0, z 311x .

27.x y 8, y 4x, z 3y, z 0.

28.x 162y, x 2y, z 0, z y 2.

29.x 15 y, x 15y, z 0, z 15(1 y ).

30.x2 y 2 50, x 5y , x 0, z 0, z 611y .

31.x 172 y , x 22 y , z 0, z y 12 .

Задача 11. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.


1.	x2 y 2 2 y, z	5	x2 , z 0.
1.	x2 y 2 2 y, z		x2 , z 0.
	4

2.	x2 y 2 y, x2 y 2 4 y, z			x2 y 2 , z 0.

3.	x2 y2 8 2x, z x2 y2 64, z 0(z 0).

4.x2 y 2 4x 0, z 8 y2 , z 0.

5.x2 y 2 6x, x2 y 2 9x, z x2 y 2 , z 0, y 0( y 0).

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6. x2 y2 62 y, z x2 y2 36, z 0(z 0).

7.	x2 y 2 2 y, z	9	x2 , z 0.
		4


8.	x2 y 2 2 y, x2 y 2 5y, z			x2 y 2 , z 0.

9.x2 y 2 22 y 0, z x2 y2 4, z 0(z 0).

10.x2 y 2 4x, z 10 y2 , z 0.


11. x2 y 2	7x, x2 y 2	10x, z	x2 y 2 , z 0, y 0( y 0).

12.x2 y2 82 y, z x2 y2 64, z 0(z 0).

13.x2 y 2 2 y, z 134 x2 , z 0.

14.x2 y 2 3y, x2 y 2 6 y, z x2 y 2 , z 0.

15.x2 y2 62x, z x2 y2 36, z 0(z 0).

16.x2 y2 22 y, z x2 y2 4, z 0(z 0).

17.x2 y 2 4x, z 12 y2 , z 0.


18. x2 y 2	8x, x2 y 2	11x, z	x2 y 2 , z 0, y 0( y 0).

19.x2 y 2 42x, z x2 y 2 16, z 0(z 0).

20.x2 y 2 4y, z 4 x2 , z 0.

21.x2 y 2 4y, x2 y 2 7 y, z x2 y 2 , z 0.


22.	x2 y2	4 2 y, z x2		y2 16, z 0(z 0).
23.	x2 y 2	2x 0, z	17	y 2 , z 0.
23.	x2 y 2	2x 0, z	4	y 2 , z 0.
			4

24.	x2 y 2	9x, x2 y 2	12x, z		x2 y 2 , z 0, y 0( y 0).

25.x2 y 2 22x 0, z x2 y2 4, z 0(z 0).

26.x2 y 2 4y, z 6 x2 , z 0.


27. x2 y 2	10x, x2 y 2	13x, z	x2 y 2 , z 0, y 0( y 0).

28.x2 y2 22x, z x2 y2 4, z 0(z 0).

29.x2 y 2 2x, z 214 y 2 , z 0.

30.x2 y 2 5y, x2 y 2 8y, z x2 y 2 , z 0.

31.x2 y 2 2x 0, z 254 y 2 , z 0.

Задача 12. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

1.	y 5x2 2, y 7, z 3y2 7x2 2, z 3y 2 7x2 5.
2.	y 5x2 2, y 4x2 7, z 4 9x2 5y2 , z 1 9x2 5y2 .
3.	x 5y2 2, x 3, z 3x2 y2	1, z 3x2 y2 5.

4.	x 2y 2 3, x 7 y 2 6, z 1		x2 16y 2 , z 3	x2 16y 2 .
5.	y 6x2 8, y 2, z x x2 y2 1, z x x2 y 2 5.

8.y 6x2 1, y 5, z 2x2 x y2 , z 2x2 x y 2 4.

9.x 5y 2 1, x 3y 2 1, z 2 x2 6y 2 , z 1 x2 6 y 2 .

10.x 3y 2 7, x 4, z 2 6x2 y 2 , z 3 6x2 y 2 .

11.y 5x2 3, y 2, z 2x2 3y 6y2 1, z 2x2 3y 6y2 2.

12.y x2 5, y x2 3, z 4 5x2 8y 2 , z 1 5x2 8y 2 .

13.x 3y 2 5, x 2, z 2 x2 16 y 2 , z 8 x2 16y 2 .

14.x y 2 2, x 4y 2 3, z 16 x2 y 2 2, z 16 x2 y 2 1.

15.y 2x2 1, y 1, z x2 5y 2 3, z x2 5y2 6.

16.y x2 2, y 4x2 3, z 2 x2 y 2 , z 1 x2 y 2 .

17.x 4y 2 1, x 3, z x2 7 y2 1, z x2 7 y2 2.

18.x 7 y 2 6, x 2y2 3, z 3 5x2 8y2 , z 2 5x2 8y2 .

19.y 1 2x2 , y 1, z x2 2y y2 2, z x2 2y y2 1.

20.y x2 7, y 8x2 2, z 3 12y2 5x2 , z 2 12y 2 5x2 .

21.x 2y 2 3, x 5, z 1 9x2 4y 2 , z 4 9x2 4y 2 .

22.y 3x2 4, y 7, z 5 2x2 3y 2 , z 1 2x2 3y 2 .

23.x 5y 2 2, x 4y 2 7, z 4 2x2 3y 2 , z 1 2x2 3y 2 .

24.x 2y 2 5, x 3, z 5 x2 25y 2 , z 2 x2 25y 2 .

25.y 3x2 5, y 2, x 3 5x2 y 2 , z 1 5x2 y 2 .

26.y 3x2 5, y 6x2 4, z 2 10x2 y2 , z 2 10x2 y2 .

27.x 4y2 2, x 6, z x2 4y2 y 1, z x2 4y2 y 4.

28.x 3y2 2, x 4y2 5, z 4 7x2 9y2 , z 1 7x2 9y2 .

29.y 2x2 5, y 3, z 2 x2 4y 2 , z 1 x2 4y 2 .

30.y 2x2 3, y 7x2 6, z 1 5x2 6y 2 , z 3 5x2 6y2 .

31.y 2x2 7, y 5, z 1 2x2 3y2 , z 4 2x2 3y2 .

Задача 13. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

						9z
																							16	x2 y 2
1.	z		9 x2 y 2 ,						x2 y 2 .										5.	z											,2z x2 y 2 .
						2
																					9


		15 x2 y 2						17
		15 x2 y 2						17					2				2		6.	z	3 x			2	y		2	, z		10 x				2	y	2	.
2.	z				, z					x			2	y			2	.	6.	z	3 x				y			, z		10 x					y		.
2.	z	2			, z				2	x				y				.
		2							2																								x		2 y		2
																				z		25 x				2	y			2	, z						2
										x	2	y			2				7.	z		25 x				2	y			2	, z							.
3.	z		4 x2 y 2 , z							x		y				.																			99
3.	z		4 x2 y 2 , z								255					.																			99
											255								8.	z	100 x2 y										2 , z 6, x2 y 2								51.

4.	z		64 x2	y 2			, z 1, x2						y 2				60.
4.	z		64 x2	y 2			, z 1, x2						y 2				60.		(внутри цилиндра)
																			(внутри цилиндра)
(внутри цилиндра)
(внутри цилиндра)																					21 x2 y 2											23	x2 y 2 .
																					21 x2 y 2											23
																			9.	z									, z
																			9.	z					2				, z			2
																									2							2

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