626266

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

32x3 y3 )dxdy; D : x 1, y x3 , y x.

48x3 y3 )dxdy; D : x 1, y

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2015

Размер:

7.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2712 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

§ 7.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

1)Определения двойного и тройного интегралов. Их геометрический и физический смысл.

2)Основные свойства двойных и тройных интегралов.

3)Теорема о среднем для двойного и тройного интегралов.

4)Вычисление двойных интегралов двумя последовательными интегрированиями (случай прямоугольной области).

5)Вычисление двойных интегралов двумя последовательными интегрированиями (общий случай).

6)Замена переменных в двойном интеграле.

7)Якобиан, его геометрический смысл.

8)Двойной интеграл в полярных координатах.

9)Тройной интеграл в цилиндрических координатах.

10)Тройной интеграл в сферических координатах.

§7.2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ

1)Пользуясь определением двойного интеграла, доказать, что

xm y n dxdy 0 ,

x2 y2 R2

если m и n — натуральные числа и, по меньшей мере, одно из них нечетно. 2) С помощью теоремы о среднем найти

lim

f (x, y)dxdy ,

2 y2 R2

где f (x, y)

— непрерывная функция.

'3) Оценить интеграл

(x x

dxdydz

(z z )2

, x

2 y

2 z

R2 ,

)2 ( y y )2

т. е. указать, между какими значениями заключена его величина.

4) Вычислить двойной интеграл D f (x, y)dxdy , если область D — прямоугольник a x b, c y d , а

f (x, y) F (x, y).

5)Доказать равенство

	b	d
	f (x)g( y)dxdy f (x)dx g( y)dy,
D	a	c

если область D —прямоугольник a x b, c y d .

6)Доказать формулу Дирихле.

a x a a

dx f (x, y)dy dy f (x, y)dx, a 0.

0 0 0 y

7) Пользуясь формулой Дирихле, доказать равенство

a y a

dy f (x)dx (a x) f (x)dx.

0 0 0

8) Какой из интегралов больше

1	1	1	1	1 x			1 x y
dx dy f (x, y, z)dz или			dx			dy	f (x, y, z)dz,
0	0	0	0		0		0
если		f (x, y, z) 0?

Задача 1. Изменить порядок интегрирования.

	1					0					0							0
1.	dy									fdx dy										fdx.
	2													1
	2		2 y											1				y

	1		0								2							0
2.	dy								fdx dy										fdx.
	0					y					1							2 y2

			y												2 y2
	1		y								2				2 y2
3.	dy		fdx dy													fdx.
	0		0								1					2 y

	1				y						2					2 y
4.	dy							fdx dy								fdx.
	0		0								1					0
	1					0									0			0
5.	dy										fdx dy fdx.
		2					2 x2								1					x
				arcsin y																arccos y
	1/	2		arcsin y												1				arccos y
6.	dy										fdx					dy					fdx.
	0					0					1/						2				0

	1				2 y						0							y
7.	dy									fdx dy								fdx.
	2		0										1					0
	1		0									e				ln y
8.	dy								fdx dy							fdx.
	0					y					1					1

1							2 x2						0			x2
9.	dx										fdy dx fdy.
		2				0							1			0

			3						0					0					0
10.		dx										fdy dx							fdy.
	2
	2						4 x2							3					4 x2 2
	1					1						e		1
11.	dx									fdy dx fdy.
	0			1 x2							1			ln x
					3								2 y
	1				3			y			2		2 y
12.	dy									fdx dy fdx.
	0					0					1			0
	.4					sin y						/ 2		cos y
13.	dy										fdx		dy				fdx.
	0					0						/ 4				0
	1								0				0			0
14.	dx										fdy dx fdy.
	2					(2 x)							1			3
	2					(2 x)							1			3		x
	/ 4						sin y					/ 2			cos y
15.		dy									fdx		dy				fdx.
	0					0						/ 4				0
	1					0					2					0
16.	dy									fdx dy						fdx.
	0								y		1					2 y

	1			0					2		0									1	x	3						2 2 x
	dy				fdx dy								fdx.							1	x							2 2 x
17.	dy				fdx dy								fdx.						25.	dx				fdy dx					fdy.
	0		y				1
	0		y				1			2 y2										0	0						1		0

				y3																	2 4 x2															4 x2
	1			y3			2			2 y										3	2 4 x2								2							4 x2
18.	dy				fdx dy fdx.														26.	dx								fdy dx										fdy.
																				0				0												0
	0			0			1				0									0				0								3				0
	0			0			1				0
																				1		0					2						0
	3				0						2						0			1		0					2						0
	3				0						2						0			dx						fdy dx							fdy.
19.	dx							fdy dx										fdy.	27.	dx						fdy dx							fdy.
	0																			0				x			1						2 x
					4 x2 2						3						4 x2			0				x			1						2 x
					4 x2 2						3						4 x2

																														2 x2
	1				0					0				0						1	x						2			2 x2
20.	dy						fdx dy							fdx.					28.	dx				fdy dx										fdy.
	2			(2 y )						1				3	y					0	0						1		0

																															2 y2
	1			y				e		1												y
	1			y				e		1										1		y					2
21.	dy				fdx dy fdx.														29.	dy					fdx dy								fdx.
	0		0				1			ln y										0	0						1						0

			x2									2 x2								1		x					2			2 x
	1		x2				2					2 x2								1		x					2			2 x
22.	dx				fdy dx									fdy.					30.	dx				fdy dx									fdy.
	0			0			1				0									0	0						1		0
	0			0			1				0

	/ 4									/ 2													4 x2														4 x2
	/ 4			sin x						/ 2			cos x							3			4 x2						0						2		4 x2
23.	dx						fdy			dx							fdy.		31.	dx							fdy		dx									fdy.
										/ 4										2				0												0
	0				0					/ 4				0						2				0					3							0
	1				0						0			0
24.	dy							fdx dy fdx.
		2				2 y2					1					y

Задача 2. Вычислить.

(12x2 y 2

16x3 y3 )dxdy; D : x 1, y x2 , y

(9x2 y 2 48x3 y3 )dxdy; D : x 1, y

x, y x2 .

(36x2 y 2

96x3 y3 )dxdy; D : x 1, y 3 x, y x3 .

(18x2 y 2

32x3 y3 )dxdy; D : x 1, y x3 , y 3

(27x2 y 2

48x3 y3 )dxdy; D : x 1, y x2 , y 3

x (x 0).

(18x2 y 2

32x3 y3 )dxdy; D : x 1, y 3

x, y x2 (x 0).

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

9. (4xy 16x2 y 2 )dxdy; D : x 1, y x2 , y x.

10. (12xy 9x2 y 2 )dxdy; D : x 1, y x, y x2 .

11. (8xy 9x2 y 2 )dxdy; D : x 1, y 3 x, y x3 .

12. (24xy 18x2 y 2 )dxdy; D : x 1, y x3 , y 3 x.

13. (12xy 27x2 y 2 )dxdy; D : x 1, y x2 , y 3 x (x 0).

14. (8xy 18x2 y 2 )dxdy; D : x 1, y 3 x, y x2 (x 0).

		4		9
		4		9
15.			xy		x2 y 2		dxdy; D : x 1, y	x3 , y x.
15.			xy	11	x2 y 2		dxdy; D : x 1, y	x3 , y x.
	D	5		11
	D
		4
		4
16.			xy 9x		2 y 2	dxdy; D : x 1, y			x, y x3 .
16.			xy 9x		2 y 2	dxdy; D : x 1, y			x, y x3 .
	D	5
	D

17. (24xy 48x3 y3 )dxdy; D : x 1, y x2 , y x.

18. (6xy 24x3 y3 )dxdy; D : x 1, y x, y x2 .

19. (4xy 16x3 y3 )dxdy; D : x 1, y 3 x, y x3 .

20. (4xy 16x3 y3 )dxdy; D : x 1, y x3 , y 3 x.

21. (44xy 16x3 y3 )dxdy; D : x 1, y x2 , y 3 x (x 0).

22. (4xy 176x3 y3 )dxdy; D : x 1, y 3 x, y x3 (x 0).

23. (xy 4x3 y3 )dxdy; D : x 1, y x3 , y x.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

24. (4xy 176x3 y3 )dxdy; D : x 1, y x, y x3 .

	25
	25
25. 6x2 y 2		x3 y3	dxdy; D : x 1, y x2	, y x.
25. 6x2 y 2	3	x3 y3	dxdy; D : x 1, y x2	, y x.
D	3

26. (9x2 y 2 25x4 y 4 )dxdy; D : x 1, y x, y x2 .


27.	3x2 y 2
	D
28.	(9x2 y 2

50
50
	x4 y 4	dxdy; D : x 1, y 3	x, y x3 .
	x4 y 4	dxdy; D : x 1, y 3	x, y x3 .
3

25x4 y 4 )dxdy; D : x 1, y x3 , y 3 x.

29. (54x2 y 2 150x4 y 4 )dxdy; D : x 1, y x2 , y 3 x (x 0).

30. (xy 9x5 y5 )dxdy; D : x 1, y 3 x, y x2 (x 0).

31. (54x2 y 2 150x3 y3 )dxdy; D : x 1, y x3 , y x.

Задача 3. Вычислить.

1. ye xy / 2 dxdy; D : y ln 2, y ln 3, x 2, x 4.

2. y 2 sin	xy			, y	x	.
		dy; D : x 0, y
	2
D			2

3. y cos xydxdy; D : y 2 , y , x 1, x 2.

4. D

5. D

6. D

y 2 e xy / 4 dxdy; D : x 0, y 2, y x.

y sin xydxdy; D : y 2 , y , x 1, x 2.

y 2 cos xy2 dxdy; D : x 0, y 2 , y 2x .

4 ye2 xy dxdy; D : y ln 3, y ln 4, x 12 , x 1.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

8.	4 y 2 sin xydxdy; D : x 0, y						, y x.
		D			2
		D
9.	y cos 2xdxdy; D : y			, y , x					1		, x 1.
9.	y cos 2xdxdy; D : y		2	, y , x				2			, x 1.
		D	2					2
		D
10.		y 2 e xy / 8 dxdy; D : x 0, y 2, y						x		.
10.		y 2 e xy / 8 dxdy; D : x 0, y 2, y						2		.
		D						2
		D
11.		12 y sin 2xydxdy; D : y , y						, x 2, x 3.
		D		4		2
		D

12. y 2 cos xydxdy; D : x 0, y , y x.

13. ye xy / 4 dxdy; D : y ln 2, y ln 3, x 4, x 8.

	4 y 2 sin 2xydxdy; D : x 0, y
14.	4 y 2 sin 2xydxdy; D : x 0, y									2 , y 2x.
	D
15.	2 y cos 2xydxdy; D : y			, y			, x 1, x 2.
	D			4			2
	D
	y 2 e xy / 2 dxdy; D : x 0, y
16.	y 2 e xy / 2 dxdy; D : x 0, y				2, y x.
	D
17.	y sin xydxdy; D : y , y 2 , x													1	, x 1.
17.	y sin xydxdy; D : y , y 2 , x													2	, x 1.
	D													2
	D

18.	y 2 cos 2xydxdy; D : x 0, y							, y									x		.
18.	y 2 cos 2xydxdy; D : x 0, y							, y											.
	D						2								2
	D
19.	8e4 xy dxdy; D : y ln 3, y ln 4, x													1	, x							1	.
19.	8e4 xy dxdy; D : y ln 3, y ln 4, x													4	, x								.
	D													4	2
	D

20.	3y 2 sin	xy	dxdy; D : x 0, y						4					, y						2	x.
20.	3y 2 sin	2	dxdy; D : x 0, y				3							, y							x.
	D	2					3								3
	D
21.	y cos xydxdy; D : y , y 3 , x													1	, x 1.

														2
	D													2
	D
22.	y 2 e xy / 2 dxdy; D : x 0, y 1, y											x	.
22.	y 2 e xy / 2 dxdy; D : x 0, y 1, y												.
	D						2
	D
23.	y sin 2xydxdy; D : y			, y		3					, x					1		, x 3.
23.	y sin 2xydxdy; D : y			, y							, x				2			, x 3.
	D	2			2										2
	D

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!

www.otlichka.ru

y 2

24.

cos xydxdy; D : x 0, y

, y 2x.

25.

6 ye xy / 3 dxdy; D : y ln 2, y ln 3, x 3, x 6.

y 2

26.

sin

dxdy; D : x 0, y

, y x.

27.

y cos 2xdxdy; D : y

, y

, x

, x 2.

28.

y 2 e xy / 8 dxdy; D : x 0, y 4, y 2x.

29.

3y sin xydxdy; D : y

, y 3 , x 1, x 3.

y 2

30.

cos

dxdy; D : x 0, y

2 , y 2x.

31.

12 ye6 xy dxdy; D : y ln 3, y ln 4, x

, x

Задача 4. Вычислить.

x 0, y 1, y x,

2 y 2 e xy dxdydz;V

z 0, z

x2 z sin(xyz)dxdydz;V

x 2, y , z 1,

x 0, y 0, z 0.

3. y 2 ch(2xy)dxdydz;V

x 0, y 2, y 4x,

z 0, z 2.

x 1, y 2, z 1,

2 ze2 xyz dxdydz;V

0, z 0.

x 0, y

x 1, y 2x, y 0,

x2 sh(3xy)dxdydz;V

z 0, z 36.

x 1, y , z 2,

y 2 z cos xyzdxdydz;V

x 0, y 0, z 0.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

0, y 1, y

cos

xy dxdydz;V

z 0, z

x2 z sin

xyz

x 1, y 2 , z 4,

dxdydz;V

0, y 0, z 0.

x 0, y 2, y 4x,

y 2 e xy dxdydz;V

z 0, z 1.

2 y 2 zexyz dxdydz;V

x 1, y 1, z 1,

10.

x 0, y 0, z 0.

x 0, y 1, y x,

11.

y 2 ch(2xy)dxdydz;V

z 0, z 8.

x 2, y 1, z 1,

12.

2 zsh(xyz)dxdydz;V

0, y 0, z 0.

x 0, y 2, y 2x,

13.

y 2 e xy / 2 dxdydz;V

z 0, z 1.

y 2 z cos

xyz

x 3, y 1, z 2 ,

14.

dxdydz;V

0, y 0, z 0.

x 0, y 1, y x,

15.

y 2 cos

dxdydz;V

z 0, z 2

x 1, y 1, z 1,

16.

2x2 zsh(xyz)dxdydz;V

0, y 0, z 0.

x 0, y 1, y 2x,

17.

y 2 cos( xy)dxdydz;V

z 0, z .

18.

2x2 zsh(2xyz)dxdydz;V x 2, y 2 , z 2 ,

x 0, y 0, z 0.

x 1, y x, y 0,

19.

2 sh(2xy)dxdydz;V

z 0, z 8.

2 z sin

xyz

x 1, y 4, z ,

20.

dxdydz;V

0, y 0, z 0.

									При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!
									www.otlichka.ru
							x 0, y 1, y x,
21.	y 2 ch(xy)dxdydz;V								z 0, z 2.
	V								z 0, z 2.
								x 1, y 1, z 1,
22.	y 2 zch(xyz)dxdydz;V								0, y 0, z 0.
	V							x	0, y 0, z 0.
	x2							x 2, y x, y 0,
23.	x2	sin			xy dxdydz;V				z 0, z .
	V		2						z 0, z .
	y 2 z cos			xyz				x 9, y 1, z 2 ,
24.				xyz			dxdydz;V
24.							dxdydz;V
	V				9			x 0, y 0, z 0.
25.	x2	sin( xy)dxdydz;V : x 1, y 2x, y 0, z 0, z 4 .
	V
		xyz
26.	y 2 zch					dxdydz;V : x 2, y 1, z 2, x 0, y 0, z 0.
26.	y 2 zch				2	dxdydz;V : x 2, y 1, z 2, x 0, y 0, z 0.
	V				2
	V