Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

626266

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2015

Размер:

7.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2710 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru


Найти линию, проходящую через точку M 0		и обладающую тем свойством, что в любой ее точке M касательный

вектор MN с концом на оси Oy имеет проекцию на ось Oy , равную a .
26. M 0 (1,2), a 1.		27.	29.	M 0	(1,3), a 4.
M 0	(1,4), a 2.	28.	30.	M 0	(1,6), a 3.	31.
M 0	(1,5), a 2.		M 0 (1,1), a 1.

Задача 10. Найти общее решение дифференциального уравнения.

1.y x ln x y .

2.xy y 1.

3.2xy y .

4.xy y x 1.

		1

5. tgxy	y	sin x

6.x2 y xy 1.

7.y ctg 2x 2y

8.x3 y x2 y 1.

9.y tgx 2y .

10.y cth2x 2y .

11.x4 y x3 y 1.

12.xy 2y 0.

13.(1 x2 ) y 2xy

14.x5 y x4 y 1.

15.xy y 1x 0.

16.xy y x 0.

17.thx y|V y .

18.xy y x.

19.y tgx y 1.

20.y tg5x 5y .

21.y th7x 7 y .

22.x3 y x2 y x.

23.cthx y y chx1

x3 .

24. (x 1) y y (x 1).

25.

(1 sin x) y cos x y .

26. xy y 1 . x

27.xy 2 y x22 .

28.cthx y y chx.

29.x4 y y chx.

			2x

30.	y	x2 1 y		2x.
30.	y	x2 1 y		2x.
31.

(1 x2 ) y 2xy 12x3 .

Задача 11. Найти решение задачи Коши.

				3					y		4		1, y(0)
1. 4y				3		y					4											2).
1. 4y						y											2, y (0) 1/(2					2).
2.		y			128y						3							8.				3.
2.		y			128y							, y(0) 1, y (0)						8.				3.
y	3	y																				4.
y		y			64 0, y(0) 4, y (0) 2.																	4.
y		2sin y cos												3					1.
y		2sin y cos													y 0, y(0) 0, y (0)				1.
5.		y						32sin				3
5.		y						32sin						y cos y, y(1) / 2, y (1) 4.
6.		y						98y		3												7.
6.		y						98y			, y(1) 1, y (1) 7.											7.
y	3	y																				8.
y		y			49 0, y(3) 7, y (3) 1.																	8.

		3									4					2			1

4 y			y				16 y						1, y(0)			2		, y (0)		2	.	9.

						При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!
									www.otlichka.ru
y 8sin y cos3 y 0, y(0) 0, y (0) 2.									10.
y 72y3 , y(2) 1, y (2) 6.									11.
y3 y 36 0, y(0) 3, y (0) 2.									12.
y 18sin3		y cos y, y(1) / 2, y (1) 3.							13.
							1	.
4 y3 y y 4		16, y(0) 2			2, y (0)		1		14.
					2, y (0)				14.

						2
y 50y3 , y(3) 1, y (3) 5.									15.
y3 y 25 0, y(2) 5, y (2) 1.									16.
y 18sin y cos3 y 0, y(0) 0, y (0) 3.									17.
y 8sin3	y cos y, y(1) / 2, y (1)					2.			18.
y 32y3 , y(4) 1, y (4) 4.									19.
y3 y 16 0, y(1) 2, y (1) 2.									20.
y 32sin y cos3 y 0, y(0) 0, y (0) 4.									21.
y 50sin3		y cos y y4 1, y(1) / 2, y (1) 5.
22. y 18y3 , y(1) 1, y (1) 3.									23.
y3 y 9 0, y(1) 1, y (1) 3.									24.

y3 y 4( y 4 1), y(0)				2, y (0)		2.			25.
y 50sin y cos3 y 0, y(0) 0, y (0) 5.									26.
y 8y3 , y(0) 1, y (0) 2.									27.
y3 y 4 0, y(0) 1, y (0) 2.									28.
y 2sin3	y cos y, y(1) / 2, y (1)					1.			29.

y3 y y 4	16, y(0) 2		2, y (0)			2.			30.
y 2y3 , y( 1) 1, y ( 1) 1.									31.

y3 y 1 0, y(1) 1, y (1) 1.

Задача 12. Найти общее решение дифференциального уравнения.

1.	y 3y 2y 1 x2 .	2.	6.	y\|V 2y y 2x(1 x).
y y 6x2 3x.		3.	7.	y\|V 2y y x2	x 1.
y y x2 x.		4.	8.	yV y\|V 2x 3.	9.
y\|V 3y 3y y 2x.			3 1 x2 .		10.
5.	y\|V y 5(x 2)2 .		y\|V 2y y 4x2 .		11.

		При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!
				www.otlichka.ru
y y 5x2	1.	12.	y 2y 3x2 x 4.	23.

y\|V 4y 4y 2y x x2 .				y 13y 12y x 1.
13.	7 y y 12x.		14.	24.	y\|V y x.	25.
y 3y 2y 3x2 2x.				y 3y 2y x2 2x 3.
15.	y y 3x2	2x 1.		26.	y 3y 2y x2 2x 3.
16.	y y 4x2	3x 2.		27.	y 5y 6y (x 1)2 .
17.	y\|V 3y 3y y x 3.			28.	y\|V 6y 9y 3x 1.
18.	y\|V 2y y 12x2 6x.			29.	y 13y 12y 18x2	39.
19.	y 4y 32 384x2 .			30.	y\|V y 12x 6.	31.
20.	y\|V 2y y 2 3x2 .			y 5y 6y 6x2 2x 5.
21.	y y 49 24x2 .		22.

Задача 13. Найти общее решение дифференциального уравнения.

1.y 4y 5y 2y (16 12x)e x .

2.y 3y 2y (1 2x)ex .

3.y y y y (3x 7)e2 x .

4.y 2y y (2x 5)e2 x .

5.y 3y 4y (18x 21)e x .

6.y 5y 8y 4y (2x 5)ex .

7.y 4y 4y (x 1)ex .

8.y 2y y (18x 21)e2 x .

9.y y y y (8x 4)ex .

10.y 3y 2y 4xe x .

11.y 3y 2y (4x 9)e2 x .

12.y 4y 5y 2y (12x 16)ex .

13.y y 2y (6x 11)e x .

14.y y 2y (6x 5)ex .

15.y 4y 4y (9x 15)ex .

16.y 3y y 3y (4 8x)ex .

17.y y 4y 4y (7 6x)ex .

18.y 3y 2y (1 2x)e x .

19.y 5y 7 y 3y (20 16x)e x .

20.y 4y 3y 4xe x .

21.y 5y 3y 9y e x (32x 32).

22.y 6y 9y 4xe x .

23.y 7 y 15y 9y (8x 12)ex .

24.y y 5y 3y (8x 4)ex .

25.y 5y 7 y 3y (16x 20)ex .

26.y 2y 3y (8x 14)e x .

27.y 2y 3y (8x 6)ex .

28.y 6y 9y (16x 24)ex .

29.y y 9y 9y (12 16x)ex .

30.y 4y 3y 4(1 x)e x .

31.y y 6y (20x 14)e2 x .

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

Задача 14. Найти общее решение дифференциального уравнения.

1.y 2y 4ex (sin x cos x).

2.y 4y 4y e2 x sin 6x.

3.y 2y 2ex (sin x cos x).

4.y y 2cos 7x 3sin 7x.

5.y 2y 5y sin 2x.

6.y 4y 8y ex (5sin x 3cos x).

7.y 2y ex (sin x cos x).

8.y 4y 4y e2 x sin 3x.

9.y 6y 13y e 3x cos 4x.

10.y y 2cos 3x 3sin 3x.

11.y 2y 5y 2sin x.

12.y 4y 8y ex ( 3sin x 4cos x).

13.y 2y 10ex (sin x cos x).

14.y 4y 4y e2 x sin 5x.

15.y y 2cos 5x 3sin 5x.

16.y 2y 5y 17sin 2x.

17.y 6y 13y e 3x cos x.

18.y 4y 8y ex (3sin x 5cos x).

19.y 2y 6ex (sin x cos x).

20.y 4y 4y e2 x sin 4x.

21.y 6y 13y e 3x cos 5x.

22.y y 2cos 7x 3sin 7x.

23.y 2y 5y cos x.

24.y 4y 8y ex (2sin x cos x).

25.y 2y 3ex (sin x cos x).

26.y 4y 4y e2 x sin 4x.

27.y 6y 13y e 3x cos 8x.

28.y 2y 5y 10cos x.

29.y y 2cos 4x 3sin 4x.

30.y 4y 8y ex (sin x 2cos x).

31.y 4y 4y e2 x sin 6x.

Задача 15. Найти общее решение дифференциального уравнения.

1.	y 2y 2ch2x.	2.	13.	y y ch2x.		14.
y y 2sin x 6cos x 2ex .			y 25y 20cos 5x 10sin 5x 50e5x .
3.	y y 2ex cos x.	4.	15.	y 16y 48e4 x	64cos 4x 64sin 4x.
y 3y 2ch3x.		5.	16.	y 2y 2sh2x.		17.
y 4y 8sin 2x 32cos 2x 4e2 x .			y 36y 24sin 6x 12cos 6x 36e6 x .
6.	y y 10sin x 6cos x 4ex .		18.	y 25y 25(sin 5x cos 5x) 50e5x .
7.	y 4y 16ch4x.	8.	19.	y 3y 2sh3x.		20.
y 9y 18sin 3x 18e3x .			y 49y 14sin 7x 7 cos 7x 98e7 x .
9.	y 4y 24e2 x 4cos 2x 8sin 2x.		21.	y 36y 36e6x	72(cos 6x sin 6x).
10.	y 5y 50ch5x.	11.	22.	y 4y 16sh4x.		23.
y 16y 16cos 4x 16e4 x .			y 64y 16sin 8x 16cos 8x 64e8x .
12.	y 9y 9e3x 18sin 3x 9cos 3x.		24.	y 49y 14e7 x	49(cos 7x sin 7x).

		При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!
				www.otlichka.ru
25.	y 5y 50sh5x.	26.	y 100y 20sin10x 30cos10x 200e10x .
y 81y 9sin 9x 3cos 9x 162e9 x .			30 y 81y 162 e9 x 81sin 9x.	31.
27.	y 64y 128cos 8x 64e8x .		y 100y 20e10x 100cos10x.
28.	y y 2shx.	29.

Задача 16. Найти решение задачи Коши.

1. y 2 y

, y(0) 3, y (0)

cos x

y 3y

9e3x

, y(0) ln 4, y (0) 3(1 ln 2).

1 e3x

4 y

8ctg 2x, y

3, y

6 y

, y(0) 1 2 ln 2, y (0)

6 ln 2.

1 e 2 x

y 9 y 18y

9e3x

, y(0) 0, y (0) 0.

1 e 3x

6. y

, y

3, y

sin x

, y(0) 2, y (0) 0.

cos(x / )

y 3y

9e 3x

, y(0) 4 ln 4, y (0) 4(3ln 4 1).

3 e 3x

y y 4ctgx, y( / 2) 4, y ( / 2) 4.

10.

6 y

, y(0) 1 3ln 3, y (0)

10 ln 3.

2 e 2 x

11.

y 6 y 8y

4e 2 x

, y(0) 0, y (0) 0.

12.

2 e2 x

9 y

, y( / 6) 4, y ( / 6)

3 / 2.

sin 3x

13.

y 9 y

, y(0) 1, y (0) 0.

14.

cos 3x

e x

, y(0) ln 27, y (0) ln 9 1.

15.

2 e x

y 4y 4ctg 2x, y( / 4) 3, y ( / 4) 2.

16.

2 y

, y(0) 1 8ln 2, y (0) 14 ln 2.

3 e x

17.

y 6 y 8y

4e2 x

, y(0) 0, y (0) 0.

1 e 2 x

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

18.

y 16 y

, y( / 8) 3, y ( / 8) 2 .

sin 4x

19.

y 16 y

, y(0) 3, y (0) 0.

20.

cos 4x

y 2 y

4e 2 x

, y(0) ln 4, y (0) ln 4 2.

1 e 2 x

22.

21.

ctg

, y( ) 2, y ( )

2 y

, y(0) 1 3ln 3, y (0)

5ln 3.

2 e x

23.

y 3y 2 y

e x

, y(0) 0, y (0) 0.

24.

2 e x

4 y

, y( / 4)

2, y ( / 4)

25.

sin 2x

4 y

, y(0)

2, y (0) 0.

26.

cos 2x

e x

, y(0) ln 27, y (0) 1 ln 9.

27.

2 e x

y y 2ctgx, y( / 2) 1, y ( / 2) 2.

28.

2 y

, y(0) 1 2 ln 2, y (0)

3ln 2.

1 e x

29.

y 3y 2 y

e x

, y(0) 0, y (0) 0.

30.

1 e x

, y( / 2)

1, y ( / 2) / 2.

31.

sin x

, y(0) 1, y (0) 0.

cos x

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

§6.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

1)Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда.

2)Теоремы сравнения.

3)Признаки Даламбера и Коши.

4)Интегральный признак сходимости ряда.

5)Теорема Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда.

6)Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

7)Понятие равномерной сходимости. Признак Вейер штрасса.

8)Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.

9)Теоремы о почленном интегрировании и почленном дифференцировании функционального ряда.

10)Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

11)Теорема о равномерной сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы ряда.

12)Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

13)Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора.

14)Разложение по степеням x бинома (1 x)m .

15)Условия разложимости функции в ряд Тейлора.

16) Разложение по степеням x функций e, cos x,sin x, ln(1 x) .

§ 6.2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ

1) Ряды

an и

bn сходятся. Доказать, что ряд

cn сходится,

если an cn bn .

n 1

Указание. Рассмотреть неравенства 0 cn an

bn an .

2) Ряд

an (an

сходится. Доказать, что ряд

a2 n

тоже сходится. Показать, что обратное

n 1

утверждение неверно.

3) Ряды

a2 n и

b2 n сходятся. Доказать, что ряд

тоже сходится.

n 1

b2 .

n 1

Указание. Доказать и использовать неравенство

4) Ряды

a2 n и

b2 n сходятся. Доказать, что ряд

(an bn )2

тоже сходится.

n 1

5) Пусть ряд

an сходится и lim

1. Можно ли утверждать, что сходится ряд

bn ?

n 1

n b

n 1

Рассмотреть пример

( 1)

n 1

6) Пусть ряд

fn (x)

сходится равномерно на отрезке a;b . Доказать, что ряд

fn (x) также

n 1

сходится равномерно на этом отрезке.

7) Может ли функциональный ряд на отрезке:

а) сходиться равномерно и не сходиться абсолютно, б) сходиться абсолютно не сходиться равномерно?

Рассмотреть примеры:

									При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!
											www.otlichka.ru
				n
а)		( 1)			, отрезок a;b произвольный;
а)					, отрезок a;b произвольный;
	n1 n x2

б)	x(1 x)n отрезок 0;1
	n1
8)	Показать, что функция

f (x)			sin nx
f (x)
		n1		10n
всюду непрерывна.
9) Доказать, что ряд							sin n2 x		сходится равномерно в интервале ( ; ) .Можно ли его почленно
9) Доказать, что ряд								2
						n1	n	2
							n
дифференцировать в этом интервале?
10) Доказать, что если ряд cn e nx										сходится в точке	x0 ; то он сходится абсолютно x x0 .
							n1

§ 6.3. РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задача 1. Найти сумму ряда.

			2
1.			2									.

		n2	14n	48
	n9	n2	14n	48
			18
2.			18										.


	n9	n2	13n 40
			4
3.			4								.

		n2	12n	35
	n8	n2	12n	35
			36
4.			36						.


	n 8 n2		11n 28
			6
5.			6							.


	n 7 n2		10n 24
			54
6.			54			.


	n 7 n2		9n 18
			8
7.			8		.


	n 6 n2		8n 15
			72
8.			72					.


	n 6 n2		7n 10
			10
9.			10	.

			6n 8
	n 5 n2		6n 8
			90
10.			90				.


	n 5 n2 5n 4

		12
11.		12				.


	n 4 n2	4n 3
		18
12.		18		.

		n
	n 4 n2	n	2
		16
13.		16					.


	n 0 n2	4n 3
		36
14.		36								.


	n 0 n2	7n 10
		30
15.		30												.


	n 10 n2	14n 48
		54
16.		54									.

		11n
	n 9 n2	11n			28
		36
17.		36										.

		12n
	n 9 n2	12n			35
		72
18.		72						.


	n 8 n2	9n 18
		12
19.		12											.

		10n
	n 8 n2	10n			24
		18
20.		18							.


	n 7 n2	7n 10

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

			60
21.			60						.

	n	2
n 7	n		8n 15
n 7
			36
22.			36					.

	n	2
n 6	n		5n 4
n 6
			48
23.			48			.

	n	2
n 6	n		6n 8
n 6
			54
24.			54		.

	n	2
n 3	n		n 2
n 3
			6
25.			6				.

	n	2	4n
n 5	n		4n	3
n 5
			18
26.			18	.

	n	2	n 2
n 3	n		n 2
n 3

Задача 2. Исследовать на сходимость ряд.

					sin					2			n						n
1.					sin								n						n					.

															n
	n 1								n						n
					arctg 2n
2.																				.
2.									n			3								.
	n 1								n
	n 1
										arctgn															2
3.										arctgn																		.


	n 1				n n 1 n 2
	n 1
				ln n
4.				ln n									.
4.													.
	n 1	3						n7
					3 sin n
5.					3 sin n																.
5.																					.
	n 1				n ln n
	n 1
		1 cos n
6.																						.
6.						n			3		2											.
	n 1					n					2
	n 1
					n 2 cos n
7.																											.
7.										2n						2		1									.
	n 1									2n								1
	n 1
					3			sin n
8.					3			sin n														.
8.																						.
	n 2				3			n3 n
			sin							2		n
9.			sin									n				.
9.			2													.
	n 1				n				1
	n 1

						ln								n			2				3n
10.						ln								n							3n					.


	n 2												n2 n
					1 cos n
11.																							.
11.							n			2			2										.
	n 1						n						2
	n 1

			24
27.			24			.

	n	2	4n 3
n 1	n		4n 3
n 1
			36
28.			36	.

	n	2	n 2
n 2	n		n 2
n 2
			72
29.			72		.

	n	2	6n 8
n 0	n		6n 8
n 0
			54
30.			54				.

	n	2	5n 4
n 0	n		5n 4
n 0
			72
31.			72				.

	n	2	5n 4
n 1	n		5n 4
n 1


										2
12.					n cos										n		.
12.				3													.
	n 1				n					5
	n 1
					n ln n
13.					n ln n									.
13.			2											.
	n 2				n			3
										n		2				3
14.																									.
14.					n	3																			.
	n 1				n			2 cos n
	n 1
				3						cos						n
15.				3						cos						n				.


	n 1							4		n3
								ln n
16.								ln n													.

					n	3
	n 1				n			n 1
	n 1
									2
17.					sin				n				.
17.							n		2				.
	n 1						n
	n 1
					arctg							3			n
18.					arctg										n			.
18.		4																.
	n 1				n					3
	n 1

					2						cos n												n .
19.											cos n
19.
	n 1									4 n7 5
								1 sin n
20.								1 sin n																.
20.																								.
	n 1				n 1 n																	2
	n 1
									2			n
21.					sin					2						.
21.										2						.
	n 1							n
	n 1
								ln n
22.								ln n											.


	n 1						n5 n


					1
23.					1							.



	n 2 n2 ln n 3										ln2 n
		2		cos n
24.		2		cos n				.


	n 2			n2 n
			arcctg		2	n
25.			arcctg			n				.
25.										.
	n 1		n n 1
	n 1
			2 cos n
26.			2 cos n						.


	n 2		4 n4 1
			1 sin n
27.			1 sin n				.
27.							.
	n 1		n n 2
	n 1

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

						arctgn
29.						arctgn						.

						n 2 n2
	n 1					n 2 n2
									2
30.			cos n								.
30.		3									.
	n 1			n			n
	n 1

								n		3	2
31.													.
31.				n	2		2						.
	n 1			n			2		sin n
	n 1

		2
28. sin			n		n .
28. sin					n .
n	n			n

Задача 3. Исследовать на сходимость ряд.

															1
															1
1.	n 1 cos																				.
1.	n 1 cos																				.
	n 1													n 1
		1									1
2.		1					tg				1			.
2.							tg							.
	n 1 n 4											n
					2		5
3.	ln				n		5				.
3.	ln				2		4				.
	n 1				n		4
	n 1
		1													1
4.		1							sin						1				.
4.									sin										.
	n 1			n			4						n			1
		1														1
5.		1				arctg										1						.
5.						arctg																.
	n 2 n 1												3			n					1
					2		3
6.	ln				n		3				.
6.	ln				2		n				.
	n 2				n		n
	n 2

					n 1

7.	e n3							1 .

	n 1
													n		1
8.			n		arcsin								n		1					.
8.			n		arcsin								3							.
	n 2											n				2
	n 2
					1
					1
	n e							1 .
9.	n e				2			1 .

	n 1
					1										1
10.					1					sin					1			.
10.										sin								.
	n 1	5 n 1															n

					1
11.					1					arctg																.
			3
			3
	n 1						n										4						n
															n 1
12.	3					n tg																			.
12.	3					n tg								n		3									.
	n 2													n			n
	n 2
									1												1
13.									1						sin						1							.
13.															sin													.
	n 2	3					n 5												n			1
									1																n 3
14.									1						arctg										n 3							.

																											2		5
		3					n 2																		n		2
	n 1	3					n 2																		n
									1								1
																	1
15.															e								1 .


	n 1						n 3
	n 1
										n		2			1
16.	ln																				.
16.	ln							n		2	n 2										.
	n 1							n			n 2
	n 1
																		1
17.	3					n arctg												1						.
17.	3					n arctg												3						.
	n 1																	n
	n 1
					3				2
18.				n					2				.
18.				3									.
	n 1			n					1
	n 1

19.	n3tg 5 .
	n 3											n
															n 1
20.																															.


	n 2			3				n		1 n 4 n3																				1


21.		1 cos															.
	n 1														n
											3
											3				n
22.	sin																			.

											n5						2
	n 1										n5						2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2710 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.2025564.46 Кб05fan_ru_5495_f11e1a981b9e1edd2ddc2a681c6455b8.docx
#
05.08.2019164.54 Кб96-16.docx
#
01.05.202566.61 Кб06. Экономическая часть.docx
#
23.09.201942.43 Кб660-82.docx
#
01.04.202599.33 Кб061-66_2novoe.doc
#
16.05.20157.64 Mб28626266.pdf
#
25.09.2019240.63 Кб1364-70, 115.docx
#
22.09.2019604.67 Кб1166-100.doc
#
01.04.2025573.66 Кб166-73.docx
#
23.09.201979.32 Кб127-12.docx
#
16.05.201547.79 Кб2671-80.docx