Ekzamen_fizika

В отсутствие затухания свободные колебания в электрическом контуре являются гармоническими, то есть происходят по закону q(t) = q0 cos(ωt + φ0).

Параметры L и C колебательного контура определяют только собственную частоту свободных

колебаний

Амплитуда q0 и начальная фаза φ0 определяются начальными условиями, то есть тем способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия. В частности, для процесса колебаний, который начнется в контуре (рис. 2.2.1) после переключения ключа K в положение

2, q0 = C, φ0 = 0.

При свободных колебаниях происходит периодическое превращение электрической энергии Wэ, запасенной в конденсаторе, в магнитную энергию Wм катушки и наоборот. Если в колебательном контуре нет потерь энергии, то полная электромагнитная энергия системы остается неизменной:

Все реальные контуры содержат электрическое сопротивление R. Процесс свободных колебаний в таком контуре уже не подчиняется гармоническому закону. За каждый период колебаний часть электромагнитной энергии, запасенной в контуре, превращается в джоулево тепло, и колебания становятся затухающими.

8.Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно

длящийся процесс вида в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной

зависимостью от скорости колебаний или её квадрата.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний записывается в виде: (дS2)/(дt2)+2δ(ds/dt)+ω02s=0, где

s- колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс, δ=constкоэффициент затухания, ω0- циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, при δ=0, называется собственной частотой колебательной системы. Решение уравнения рассмотрим в виде: s=e-δtu, где u=u(t), после нахождения первой и второй производной получим ˙u˙+(ω02- δ2)u=0. Решение уравнения зависит от знака коэффициента перед искомой величиной. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положительный: ω2=ω02- δ2, если (ω02- δ2)>0, тогда получим уравнение ˙u˙+ω2u=0, решением которого является функция u=A0cos(ωt+φ). Таким образом решение

дифференциального уравнения в случае малых затуханий s=A0e-δtcos(ωt+φ), где А= A0e-δt — амплитуда затухающих колебаний.

9. Пускай имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m. Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (см. вязкое трение).

Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемой системы запишется так:

где — сила сопротивления, — сила упругости

, , то есть

или в дифференциальной форме

где k — коэффициент упругости в законе Гука, c — коэффициент сопротивления, устанавливающий соотношение между скоростью движения грузика и возникающей при этом силой сопротивления.

Для упрощения вводятся следующие обозначения:

Величину называют собственной частотой системы, — коэффициентом затухания.

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид

или

Сделав замену , получают характеристическое уравнение

Корни которого вычисляются по следующей формуле

10. Время релаксации

Промежуток времени τ, за который амплитуда уменьшается в «е» раз, называется временем затухания (или релаксации), где «е» – основание натурального логарифма, е ≈ 2,718.

11. Под сложением колебаний понимают нахождение закона результирующих колебаний системы в тех случаях, когда эта система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах. Различают два предельных случая – сложение колебаний одинакового направления и сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

На практике (например, в электротехнике) часто приходится иметь дело с колебаниями одинаковой частоты. Любые два таких колебания можно представить в виде: y1 =

A1 sin (ωt + φ1) ; y2 = A2 sin (ωt + φ2) .

Особый интерес представляет случай, когда начальная фаза первого колебания равна 0, а

угол φ определяется из условий

12. БИЕНИЯ - периодич. изменения во времени амплитуды колебания, возникающего при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами. Б. появляются вследствие того, что величина разности фаз между двумя колебаниями с разл. частотами всё время изменяется так, что оба колебания оказываются в какой-то момент времени в фазе, через нек-рое время в противофазе, затем снова в фазе и т. д. Соответственно амплитуда результирующего колебания периодически достигает то максимума, равного сумме амплитуд складываемых колебаний, то минимума, равного разности этих амплитуд (рис.). Напр., Б. возникают при звучании двух камертонов с близкими частотами - звук поочерёдно усиливается и ослабевает, при сложении нормальных колебаний с близкими частотами в связанных линейных осцилляторах.

При сложении двух бегущих в одном направлении волн с близкими частотами и волновыми числами Б. возникают не только во времени, но и в пространстве. Складывая, напр., волны с равными амплитудами

получаем результирующую волну

с частотой и волновым числом , к-рыеблизки к частоте и волновому числу любой из компонент. Амплитуда волны модулирована в пространстве и времени

медленно меняющейся огибающей с частотой и волновым числом. Частота Б. равна разности частот складываемых компонент .

13. Рассмотрим два векторных колебания, описываемых уравнениями:

r1 = A1·cos(w1·t + 1);

r2 = A2·cos(w2·t + 2).

Заметим, что с течением времени направление векторов не изменяется, а изменяется только их амплитуда. Очевидно также, что вектор A1параллелен r1, а

вектор A2 параллелен r2. Задача: найти r = r1 + r2. Рассмотрим только случай взаимноперпендикулярных колебаний (см. рис. 11.9 ).

Вдоль вектора r1 направим ось Х, вдоль r2 - ось Y. Очевидно, результирующий вектор r перемещается в плоскости XY. ривая, описываемая концом вектора r, называется фигурой Лиссажу. Эта фигура вписывается в четырехугольник со сторонами 2·A1 и 2·A2, а ее вид зависит от соотношения частот, фаз и амплитуд складываемых колебаний.

Рассмотрим случай синхронных взаимно-перпендикулярных колебаний:

Спроецировав уравнения (11.7) и (11.8) на оси координат и проведя суммирование проекций, получим:

Исключив с помощью тригонометрических преобразований t из (11.9) и (11.10), получим математическое выражение фигуры Лиссажу, которое представляет собой уравнение эллипса:

. (11.11)

Вид эллипса определяется величиной сдвига фаз . В общем случае, когда отлична от 0, полуоси эллипса повернуты относительно осей X и Y.

Если сдвиг фаз = 0, то как следует из уравнения (11.11) будет справедливо следующее выражение:

(х/А1 - y/A2)2 = 0 или y = А2·x/А1.

Т.е. фигура Лиссажу представляет из себя прямую линию с углом наклона к оси X (tg = А2/А1). Если = , то y = - А2·x/А1.

Если = , то имеем классическое уравнение эллипса, полуоси которого параллельны осям координат:

х2/А12 + y2/A22 = 1.

Если = и А1 = А2 = A, то эллипс превращается в окружность радиуса A.

14.Рассмотрим случай сложения несинхронных взаимно перпендикулярных колебаний. Пусть w1 не равняется w2, но частоты исходных колебаний относятся как целые

числа: w1/w2 = n1/n2. Рассмотрим следующий пример:

x= A1·sin w·t;

y= A2·sin (2·w·t).

Для нахождения вида фигуры Лиссажу используем метод графического исключения t. Изобразим на одном графике зависимости x(t) и y(t). Отметим на этом графике положение точек в некоторые последовательные моменты времени. Затем перенесем эти точки на плоскость XY. В результате получим фигуру Лиссажу типа восьмерки (см. рис. 11.10). Если взять колебания с разными начальными фазами, то при таком же соотношении частот также получим фигуры Лиссажу типа восьмерки, но не симметричные относительно осей координат. При = , фигура Лиссажу примет вид параболы (см. рис. 11.11).

Существует правило частот Лиссажу, по которому можно определить отношение частот складываемых колебаний. Об этом судят по числу точек пересечения фигуры прямыми, параллельными осям координат:

wy/wx = nx/ny.

Откуда это следует? Обозначим за - минимальное время, в течение которого полностью описывается фигура Лиссажу. Очевидно, что равно наименьшему кратному периодов колебаний Tx и Ty, совершающихся вдоль осей X и Y. За один период конец вектора r пересечет ось X 2 раза. Следовательно, за время число пересечений этой оси будет равно nx = 2· /Ty. Аналогично ny = 2· /Tx. Следовательно, ny/nx = Ty/Tx = wx/wy.

Метод фигур Лиссажу широко используется для определения соотношения частот и фаз складываемых колебаний (например, в радиотехнике для градуировки генераторов). Чувствительность фигуры Лиссажу к разности фаз используется для исследования фазовых соотношений в цепях переменного тока.