1.Введение

1.1. Крутильные колебания – один из возможных видов колебаний, возникающих в различных упругих системах, при которых отдельные элементы этих систем в процессе колебаний испытывают деформации кручения.

1.2. К наиболее распространенным в технике принадлежат крутильные колебания различных валов со связанными с ними массами. В частности, крутильные колебания испытывают коленчатые валы поршневых двигателей внутреннего сгорания, подвергающиеся действию периодически изменяющихся моментов сил, приложенных к каждому колену вала.

1.3. В настоящей работе крутильные колебания используются для определения моментов инерции различных тел. Момент инерции – аналог массы. Масса – мера инертности тел при поступательном движении, момент инерции – мера инертности тел при вращательном движении. Величина момента инерции относительно какой-либо оси определяется пространственным распределением масс тела – геометрией масс. Аналитическое вычисление величины момента инерции проводится путем интегрирования выражения

,

где  – плотность вещества в элементе объема dV, находящемся на расстоянии r от оси вращения. При сложной форме поверхности, ограничивающей тело, и неравномерном распределении плотности аналитический подсчет величины момента инерции является сложной задачей. В этих случаях момент инерции можно определить экспериментально.

1.4. Цель работы: изучение вращательного и колебательного движения на примере крутильного маятника и определение момента инерции произвольного тела (образца).

2. Основные понятия

2.1. Метод определения момента инерции, используемый в работе, основан на зависимости периода крутильных колебаний маятника (рис.1), подвешенного на проволоке, от упругих свойств материала проволоки и момента инерции самого маятника.

2.2. Крутильный маятник совершает вращательное движение, поэтому к нему может быть применен основной закон динамики вращательного движения

, (1)

где J – момент инерции маятника относительно оси, совпадающей с проволочным подвесом,

М – момент силы упругости относительно той же оси,

–угловое ускорение.

При малых углах поворота  момент упругой силы определяется по закону Гука

, (2)

где k – коэффициент крутильной жесткости проволоки.

Из (1) и (2) получаем дифференциальное уравнение гармонических колебаний крутильного маятника

. (3)

Уравнение (3) можно представить в виде

, (4)

где – собственная частота гармонических колебаний крутильного маятника.

Рис.1

Решение дифференциального уравнения (4) имеет вид

, (5)

где _max – угловая амплитуда гармонических колебаний,

₀ – начальная фаза гармонических колебаний.

Период гармонических колебаний крутильного маятника равен

. (6)

2.3. Для определения коэффициента жесткости k и момента инерции J ненагруженного маятника используют тело – эталон с известным моментом инерции, например, диск (сплошной цилиндр), момент инерции которого вычисляется по формуле

, (7)

где m – масса, R – радиус диска.

Запишем систему двух уравнений для периода колебаний ненагруженного маятника Т₀ и нагруженного эталоном (диском) Т₁

(8)

Решив эту систему, найдем момент инерции ненагруженного маятника J₀ и коэффициент крутильной жесткости k

(9)

2.4. Зная константы крутильного маятника, можно определить момент инерции произвольного тела J_{ОБРАЗЕЦ}. Для этого нужно измерить период крутильных колебаний маятника с образцом Т₂ и рассчитать момент инерции из выражения

(10)

. (11)

Или, подставив в выражение (11) найденные из (9) величины J₀ и k,

, (12)

где момент инерции эталона определяется по формуле (7).