Грама. Определитель Грамма, его геометрический смысл

   Пусть - система векторов в евклидовом (унитарном) пространстве.

   Матрицей Грама данной системы векторов называется матрица вида: .

       Матрице Грама поставим в соответствие ее определитель: .

Свойства определителя Грама:

1. 

2.  - линейно зависимы.

3.  Для,- квадрат длины вектора.

,- квадрат площади.

,- квадрат объема.

,- квадрат объема-мерного параллелепипеда, со сторонами.

    4. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта не меняет определитель Грама.

Для доказательства этого установим, что если к одному из векторов прибавить линейную комбинацию остальных, состоящую из одного вектора, то определитель не изменится. 

Умножим первый столбец на и прибавим к-тому столбцу:

 

умножим первую строку на и прибавим к-той строке, получим определитель Грама:

.

Что и требовалось доказать.

Используя это обстоятельство, мы ортогонализируем систему векторов методом Грама-Шмидта: 

, где.Следовательно

  .

 

При этом, для ,- квадрат площади,

для ,- квадрат объема исходного параллелепипеда.

Чтобы найти высоту  , опущенную изна основаниедостаточно вычислить.

Скалярное произведение в произвольном базисе

 

Пусть - базис евклидова пространства,

                       ,

рассмотрим скалярное произведение:

 

=

                                       (*)

Если записать (*) в матричном виде, то получим:

.

Если базис - ортонормированный, то, то

 

.

 

Ортогональное дополнение подпространства m из l

 

Пусть  - евклидово (унитарное) пространство, подпространство. Векторназываетсяортогональным  к  подпространству,  если  для всех.

                    Множество всех  векторов ортогональных  к  подпространству называется ортогональным дополнением и обозначается.

Очевидно,  М^┴ является подпространством пространства, причем для  размерности подпространств   и размерность пространства связаны соотношением

                                   .

Действительно,  выберем базис  подпространства, дополним его до базиса, получим. Ортогонализируем  данный базис методом Грамма-Шмидта, получим:- базис пространства,

 - базис подпространства,- базис  подпространства  ортогонального дополнения.

Говорят, что пространство является прямой ортогональной суммой своих подпространств и  :

Прямая сумма подпространств

Пространство являетсяпрямой суммой подпространств, если

1. любой вектор представляется в виде, где

2. представление единственно.

Обозначается   .

Если пространство евклидовои выполняется дополнительно условие

3.  при,

то прямая сумма состоит из попарно ортогональных подпространств (ортогональная сумма) и обозначается так

Билет 12+13

Теорема. Пусть -- линейный оператор в евклидовом (унитарном) пространстве. Сопоставим ему билинейную (полуторалинейную) функцию,. Это соответствие является биекцией между операторами и билинейными (полуторалинейными) функциями.

Рассмотрим билинейную (полуторалинейную) функцию , заданную формулой. Тогда матрица для функциив ортонормированном базисе-- это матрица, т.е.. Будем говорить, что функцияопределяетсопряженный оператор . Более подробно

Определение. Сопряженным оператором к оператору называется такой оператор, который удовлетворяет равенству.

Определение. Оператор называетсясамосопряженным или симметричным (эрмитовым), если , т.е.. Операторназываетсякососимметричным ( косоэрмитовым), если , т.е.. Операторназываетсяортогональным (унитарным для ), если.

Теорема. Пусть -- ортонормальный базис в евклидовом (унитарном) пространстве, и-- линейный оператор. Операторявляется самосопряженным (эрмитовым) тогда и только тогда, когда его матрица в базисесимметрична(эрмитова).

Теорема. Пусть -- ортонормальный базис в евклидовом (унитарном) пространстве, и-- линейный оператор. Операторявляется кососимметричным (косоэрмитовым) тогда и только тогда, когда его матрица в базисекососимметрична(косоэрмитова).

Лемма. Если -- инвариантное подпространство для самосопряженного операторав евклидовом (унитарном) пространстве, тотоже инвариантно относительно.

Лемма. Пусть -- самосопряженный оператор на-мерном евклидовом пространстве. Тогда длясуществует собственный вектор.

Теорема. Для всякого самосопряженного оператора в-мерном евклидовом (унитарном) пространствесуществует ортонормальный базис, состоящий из собственных векторов оператора, т.е. в таком базисе матрица оператора диагональна. Матрицаоператораодна и та же во всех таких канонических базисах, с точностью до перестановки диагональных элементов. Верно и обратно.

Замечание. В унитарном пространстве все собственные числа для самосопряженного операторавещественны,.

Если (-- евклидово или унитарное пространство) -- собственные векторы с разными собственными значениямидля самосопряженного оператора, то, так как.

Следствие. Для всякой (эрмитовой) квадратичной функции в-мерном евклидовом (унитарном) пространствесуществует ортонормальный базис, в котором(). При этом, системане зависит от выбора базиса, с точностью до перестановок.

Пусть -- ортогональный (унитарный) оператор в евклидовом (унитарном) пространстве. Тогда, т.е.. Если-- собственное значения, то, так как.

Лемма. Ортогональный (унитарный) оператор невырожден.

Теорема.Следующие свойства линейного оператора в-мерном евклидовом (унитарном) пространстве равносильны.

-- ортогональный (унитарный) оператор.

В любом ортонормальном базисе матрица оператораортогональна (унитарна, т.е.).

В некотором ортонормальном базисе матрица оператораортогональна (унитарна).

Оператор переводит любой ортонормальный базис в ортонормальный базис.

Оператор переводит некоторый ортонормальный базис в ортонормальный базис.

Лемма. Если -- ортогональный (унитарный) оператор в евклидовом (унитарном) пространстве, и-- инвариантное дляподпространство в, то ортогональное дополнениетакже является инвариантным подпространством для.

Лемма. Пусть -- ортогональный оператор без собственных векторов в-мерном евклидовом пространстве. Тогда в ортонормальном базисе его матрицаимеет вид.

Теорема. Для всякого ортогонального (унитарного) оператора в-мерном евклидовом (унитарном) пространстве существует ортонормальный базис, в котором матрица оператора имеет вид:

для евклидова случая и , где, для унитарного пространства.

Определение. Пусть -- самосопряженный оператор в-мерном евклидовом пространстве. Он определяет билинейную функцию, заданную формулой. Операторназываетсяположительно определенным, если -- положительно определенная симметрическая функция, т.е.для любого вектора.

Лемма. Для всякого невырожденного оператора в-мерном евклидовом пространствепроизведениеявляется положительно определенным самосопряженным оператором.

Лемма. Самосопряженный оператор в-мерном евклидовом пространствеявляется положительно определенным тогда и только тогда, когда все собственные значения дляположительны.

Лемма. Для всякого невырожденного положительно определенного самосопряженного оператора в-мерном евклидовом пространствесуществует такой невырожденный положительно определенный самосопряженный оператор, что.

Теорема.[о полярном разложении] Всякий невырожденный линейный оператор в-мерном евклидовом пространствеможет быть разложен в произведение, где-- ортогональный оператор, а-- самосопряженный положительно определенный оператор.

Билет 14

Билинейные функции

Определение.Пусть-- линейное пространство над полем. Тогда отображениеназываетсябилинейной функцией, если

для любых векторови любых чисел,

для любых векторови любых чисел.

Определение.Матрицейбилинейной функциив базисеназывается матрица, где.

Теорема.Пусть-- базис-мерного линейного пространства. Тогда для любой квадратной матрицыпорядкасуществует, причем единственная, билинейная функцияна пространствес матрицейв базисе. При этом значения, гдеи, могут быть найдены по формуле.

Замечание.Билинейные функцииобразуют линейное пространство. Линейная комбинация двух функций-- это функция, заданная формулой.

Если зафиксировать базис в пространстве , то мы получаем изоморфизм из пространства билинейных функций в пространствоквадратных матриц порядканад полем.

Лемма.Пустьи-- матрицы размераисоответственно. Тогда.

Теорема.Еслии-- матрицы билинейной функциив разных базисахипространства, то, гдематрица перехода от базисак, т.е..

Определение.Билинейная функцияназываетсясимметрической, еслидля любых векторов.

Билинейная функция называетсякососимметрической, еслидля любых векторов.

Теорема.Если матрицабилинейной функциив некотором базисе симметрическая (кососимметрическая), т.е.(), то функцияявляется симметрической (кососимметрической) билинейной функцией.

Если билинейная функцияявляется симметрической (кососимметрической), то ее матрицав любом базисе симметрическая (кососимметрическая).

Определение.Пусть-- линейное пространство над полем. Функцияназываетсяполуторалинейной, если

для любых векторови любых чисел,

для любых векторови любых чисел.

Для полуторалинейной функции имеем .

Определение.Полуторалинейная функцияназываетсяэрмитовой, если.

Теорема.Если матрицаполуторалинейной функциив некотором базисе эрмитова, т.е., то функцияявляется эрмитовой полуторалинейной функцией.

Если полуторалинейная функцияявляется эрмитовой, то ее матрицав любом базисе эрмитова, т.е..

Определение.Рангомбилинейной функцииназывается рангее матрицыв некотором базисе.

Замечание.При умножении на невырожденную матрицу ранг не меняется, поэтому определение ранга функции корректно. Заметим, чтотогда и только тогда, когда.

Определение.Ядросимметрической билинейной функции-- это множестводля любого.

Теорема.Ядро симметрической билинейной функциина-мерном линейном пространствеявляется подпространством размерности.