1. Пусть . Каждое значение X заключено между двумя положительными целыми числами:, где— это целая часть X.

Отсюда следует: , поэтому

.

Если , то. Поэтому, согласно пределу, имеем:

.

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .

2. Пусть . Сделаем подстановку, тогда

.

Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.

Следствия

1. 

2. 

3. 

4. 

5. для ,

6. 

Доказательства следствий

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

25. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства

Бесконечно малая

Последовательность называется бесконечно малой, если. Например, последовательность чисел— бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки , если.

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо.

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то,.

Бесконечно большая

Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при.

Последовательность называется бесконечно большой, если.

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки , если.

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо

Свойства бесконечно малых

• Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

• Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.

• Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

• Если — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то— бесконечно большая последовательность.

26.Непрерывная функция. Свойства непрерывных функций.Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.

Свойства

Локальные

Функция, непрерывная в точке , является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.

• Если функция непрерывна в точкеи(или), то(или) для всех, достаточно близких к.

• Если функции инепрерывны в точке, то функцииитоже непрерывны в точке.

• Если функции инепрерывны в точкеи при этом, то функциятоже непрерывна в точке.

• Если функция непрерывна в точкеи функциянепрерывна в точке, то ихкомпозиция непрерывна в точке.

Глобальные

• Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.

• Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.

• Областью значений функции , непрерывной на отрезке, является отрезокгде минимум и максимум берутся по отрезку.

• Если функция непрерывна на отрезкеито существует точкав которой.

• Если функция непрерывна на отрезкеи числоудовлетворяет неравенствуили неравенствуто существует точкав которой.

• Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.

• Монотонная функция на отрезке непрерывна в том и только в том случае, когда область ее значений является отрезком с концамии.

• Если функции инепрерывны на отрезке, причемито существует точкав которойОтсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы однунеподвижную точку.

27. Точки разрыва. Точки разрыва - Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условийнепрерывности функции, а именно:

1. функция определена в точке и ее окрестности;

2. существует конечный предел функции в точке;

3. это предел равен значению функции в точке , т.е.

Если в точке существуют конечные пределы и , такие, что , то точка называется точкой разрыва первого рода.

Если хотя б один из пределов или не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода.

Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции в точке : или функция не определена в точке , то точка называется точкой устранимого разрыва.