19. Прямая в пространстве, канонические уравнения

Если известна некоторая точка пространства , принадлежащая прямой, и направляющий векторданной прямой, то  канонические уравнения этой прямой выражаются формулами:

Приведённая запись предполагает, что координаты направляющего вектора не равны нулю. Что делать, если одна или две координаты нулевые, мы рассмотрим чуть позже.

Пример 1

Составить канонические уравнения прямой по точке и направляющему вектору

Решение: Канонические уравнения прямой составим по формуле:

Ответ: 

20. Элементы теории множеств

1. Логические символы

Квантор - заменяет выражение "для любого", "для произвольного", "для какого бы ни было".

Квантор - заменяет выражение "существует", "найдется".

Запись (импликация) означает, что из справедливости высказыванияA вытекает справедливость высказывания B. Если, кроме того, из справедливости высказывания B вытекает справедливость A, то записываем . Если, то высказываниеB является необходимым и достаточным условием для того, чтобы выполнялось высказывание A.

Если предложения A и B справедливы одновременно, то записываем . Если же справедливо хотя бы одно из предложенийA илиB, то записываем .

2. Операции над множествами

Математическое понятие множества элементов принимается в качестве интуитивного. Множество задается правилом или признаком, согласно которому определяем, принадлежит ли данный элемент множеству или не принадлежит.

Множество обозначают символом A = {x}, где x - общее наименование элементов множества A. Часто множество записывают в видеA = {a, b, c, ...}, где в фигурных скобках указаны элементы множества A. Будем пользоваться обозначениями:

                  N - множество всех натуральных чисел;                   Z - множество всех целых чисел;                   Q - множество всех рациональных чисел;                   R - множество всех действительных чисел;                   C - множество всех комплексных чисел;                   Z₀ - множество всех неотрицательных целых чисел.

Запись (или) означает, что элементa принадлежит множеству A.

Запись (или) означает, что элементa не принадлежит множеству A.

21. Функция, область определения, способы задания. Сложная и обратная функции

Определение. Переменная величина y называется функцией переменной x (обозначается ), если каждому значению x соответствует определенное значение - число y.

Совокупность значений независимой переменной x, для которых определяются значения зависимой переменной y (т.е. значения функции y = f(x)) называется областью определения функции (или областью существования функции) и обозначается - Д.

Совокупность значений y, соответствующих всем значениям , называется областью изменения функции и обозначается - Е.

Функция может быть задана различными способами.

1. Табличный способ задания функции заключается в составлении таблицы

в которой заданным значениям независимой переменной x ставятся в соответствие определенные значения функции y.

2. Графический Функция задается в виде графика (рис. 2).

3. Аналитический способ. Функция задается в виде формулы, например:

Функция называется элементарной, если она задана одной формулой посредством конечного числа операций: сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции - над основными элементарными функциями.

Основными элементарными функциями называются:

Пример элементарной функции: 

Пример неэлементарной функции: 

Определение. Пусть область Д симметрична относительно нуля. Функция f(x), , обладающая свойством: f(-x) = f(x) при всех, называется четной функцией.

Определение. Пусть область Д симметрична относительно нуля. Функция f(x), , обладающая свойством: f(-x) = - f(x) при всех, называется нечетной функцией.

Например: функции y = x2, y = cosx - четные, а y = x3, y = sinx - нечетные.

Определение. Функция f(x) называется периодической с периодом T > 0, если существует число T > 0 такое, что y(x + T) = f(x) для всех

Например: y = sinx - периодическая функция с периодом T = 2π.

Определение. Пусть функция z = φ (x) определена в некоторой области Д, а функция y = f(x) определена для всех x в области X, при этом все y = f(x) лежат в области Д. Тогда переменная z через посредство y и сама является функцией от x: z = φ [f(x)], . Полученная функция от функции называется сложной функцией.

Пример.  - сложная функция, так как где U = sinx. При этом x таков, что(область определения функции)