Контрольные вопросы по теме 5:

1. Найти производную следующих функций:

а) ; б); в); г);

д) ; е); ж); з).

2. Составить уравнение касательной к графику функции :

а) в точке ; б) в точке пересечения с осью ординат.

3. Найти производную n-го порядка функций: а) ; б).

4. Объём продукции (усл. ед.) цеха в течение рабочего дня представляет функцию, где– время (ч.) найти производительность труда через 2 часа после начала работы.

5. Применяя правило Лопиталя, найти:

а) ; б); в).

6. Найти интервалы монотонности следующих функций:

а) ; б).

7. Исследовать на экстремум следующие функции:

а) ; б).

8. Найти наибольшее и наименьшее значения функций:

а) на отрезке;

б) на промежутке.

9. Исследовать функции и построить их графики:

а) ; б).

10.Расходы на рекламу влияют на валовой доходпо полученному эмпирически закону, где– доход в отсутствие рекламы. При каких значенияхоптимальные расходы на рекламу могут превысить весь доход в отсутствие рекламы?

11.Используя понятие дифференциала, вычислить: а) ; б).

12. Определить области существования функций:

а) ; б); в).

12. Построить линии уровня следующих функций:

а) ; б); в); г).

12. Найти частные производные первого порядка и дифференциал от следующих функций: а) ; б); в).

13. Найти производную по направлению функциив точкев направлении, образующим уголс осью абсцисс, еслиравен.

14. Найти критические точки функций и проверить в них выполнение достаточного условия экстремума:

а) ; б);

в) ; г).

12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на полукруге единичного радиуса с центром в начале координат и расположенном в правой полуплоскости.

13. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на треугольнике с вершинами в точках.

14. Методом наименьших квадратов найти эмпирическую формулу для функции, заданной следующей таблицей:

x	–0,2	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0
y	3,2	2,9	1,8	1,6	1,2	0,7

Изобразить графически таблично заданную и соответствующую линейную функции. По формуле вычислить значение переменной y при .

12. Определить оптимальное распределение ресурсов для функции выпуска , если затраты на факторыx и y линейны и задаются ценами .

Тема 6. Интегральное исчисление

Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределённого интеграла. Неопределённый интеграл от основных элементарных функций. Интегрирование заменой переменного и по частям. Интегрирование рациональных, некоторых иррациональных функций и тригонометрических выражений. Понятие определённого интеграла, его геометрический и экономический смысл. Свойства определённого интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменного и формула интегрирования по частям в определённом интеграле. Геометрические приложения определённого интеграла. Несобственные интегралы.

Основные термины: первообразная, неопределённый интеграл, определённый интеграл, формула Ньютона–Лейбница, несобственный интеграл. Контрольные вопросы по теме 6:

1. Какая функция называется первообразной функцией для данной?

2. Что такое неопределённый интеграл от функции?

3. Вычислить интегралы:

а) ; б); в); г);

д) ; е); ж).

4. Используя метод замены переменного, вычислить интегралы:

а) ; б); в);

г) ; д).

5. Используя метод интегрирования по частям, найти интегралы:

а) ; б); в);

г) ; д).

6. Найти интегралы от рациональных функций:

а) ; б); в);

г) ; д).

7. Вычислить площадь, ограниченную синусоидой наи осью абсцисс.

8. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций .

9. Вычислить определённые интегралы:

а) ; б); в);

г) ; д).

10. Вычислить несобственные интегралы:

а) ; б).

11. Производительность труда рабочего в течение дня задаётся функцией (ден.ед./ч.), где– время (ч.) от начала работы,. Найти функцию, выражающую объём продукции (в стоимостном выражении) и его величину за рабочий день.