1.2 Максимизация годового дохода Постановка задачи

Вкладчик располагает суммой в размере 50000 руб.

Банки города предлагают следующие проценты по вкладам:

1 банк – 8,5% годовых,

2 банк – 7% годовых,

3 банк – 8% годовых.

Вкладчик хочет распорядиться деньгами следующим образом:

1. Вся сумма должна быть вложена,

2. Не менее 55% суммы должно быть вложено во 2 банк,

3. В 3 банк должно быть вложено по крайней мере столько же, сколько и в 1 банк.

А) Каким образом распределить деньги, чтобы получить максимальный годовой доход?

Б) Каковы интервалы устойчивости процентных ставок банков?

В) Как изменится годовой доход, если вкладчик внесет дополнительные средства?

Решение

I этап: Составление математической модели

Элементы модели

1. Переменные (неизвестные) задачи

Пусть

x₁ (руб.) – количество денег, которые вкладчик вложит в 1 банк,

x₂ (руб.) – количество денег, которые вкладчик вложит во 2 банк,

x₃ (руб.) – количество денег, которые вкладчик вложит в 3 банк.

2. Целевая функция

Т.к. цель задачи – максимизировать общий годовой доход (D), то D будет иметь вид:

D=x₁*8,5%+x₂*7%+x₃*8% (руб.) (**)

3. Ограничения

Из предлагаемых процентных ставок банков видно, что чем больше денег будет вложено в 1 банк, тем больше будет годовой доход. Однако, вкладчик выдвигает ряд требований при вложении денег, что приводит к ограничениям на значения неизвестных x₁, x₂, x₃.

x₁+x₂+x₃=50000, (5)

x₂(x₁+x₂+x₃)*55%, (6)

x₁x₃, (7)

x_i0, i=1,2,3 (8)

Примечание:

• В левой части ограничения (1) записана общая сумма денег, которую вкладчик хочет положить в банк под проценты, она должна быть равна 50000 руб.

• В ограничении (2) фигурирует знак , т.к. во второй банк должно быть вложено не менее 55% от общей суммы денег.

• Аналогично, в ограничении (3) стоит знак , т.к. в 3 банк вкладывается по крайней мере столько же, сколько и в 1 банк.

• Ограничение (4) представляет собой следующее естественное условие: количество денег, вкладываемое в каждый банк, должно быть не отрицательным.

Таблица 5

Неизвестные
x1 (руб.) – количество денег, которые вкладчик вложит в 1 банк, x2 (руб.) – количество денег, которые вкладчик вложит во 2 банк, x3 (руб.) – количество денег, которые вкладчик вложит в 3 банк.
Целевая функция	Ограничения
D=x1*8,5%+x2*7%+x3*8% (руб.)	x1+x2+x3=50000, x2(x1+x2+x3)*55%, x1x3, xi0, i=1,2,3

II этап: Решение задачи на эвм в среде ms Excel

1. Формируем диапазон ячеек с исходными данными А1:В4 (см. рис. 11).

2. Определяем ячейки, в которых будут содержаться переменные (неизвестные) задачи G2:G4 (см.рис. 11).

На начальном этапе присваиваем неизвестным произвольные значения, например, предполагаем, что вклад в каждый банк составил 1 руб. (см. рис. 11).

Рис.11 Оформление задачи в Excel

3. Вводим формулу в ячейку I7, где будет находиться значение целевой функции (см. рис.12).

4. Вводим зависимости для ограничений (см. рис.12).

Рис.12 Ввод целевой функции и ограничений

Примечание: В ячейках E7:E9 занесены левые части ограничений, а в ячейках G7:G9 – правые части.

Примечание: При вводе формул для целевой функции и ограничений необходимо делать ссылки на ячейки со значениями неизвестных G2:G4, а не на ячейки с именами неизвестных E2:E4.

Примечание: Ограничение (4) и знаки неравенств будут учтены в дальнейшем в окне Поиск решения.

6. Для получения численного решения задачи используем инструмент Поиск решения (Сервис/Поиск решения).

Рис.13 Поиск решения

• Выбор целевой ячейки

В окне Установить целевую ячейку указываем адрес ячейки с целевой функцией I7.

В разделе Равной указать Максимальном значению.

Примечание: Для заполнения окна Установить целевую ячейку необходимо поставить курсор в это окно и на листе выделить ячейку, в которой содержится значение целевой функции.

• Выбор ячеек с переменными

В окно Изменяя ячейки вносим адреса ячеек с неизвестными задачи G2:G4.

Примечание: Для ввода неизвестных можно нажать кнопку Предположить.

Примечание: Для заполнения окна Изменяя ячейки необходимо поставить курсор в это окно и на листе выделить ячейки, в которых содержатся значения переменных.

• Внесение ограничений

Для ввода ограничений необходимо перейти в поле Ограничения и нажать кнопку Добавить. В появившемся диалоговом окне Добавление ограничения, последовательно, для каждого неравенства в разделе Ссылка на ячейку указать адрес ячейки, соответствующей левой части ограничения, а в разделе Ограничения – адрес правой части ограничения.

Рис. 14Ввод ограничения 1

Рис. 15Ввод ограничения 2

Рис. 16Ввод ограничения 3

• Параметры модели

Для установки параметров модели необходимо нажать кнопку Параметры и в появившемся диалоговом окне Параметры поиска решения поставить галочки напротив переключателей Линейная модель и Неотрицательные значения (см. рис. 17).

Рис. 17Параметры поиска решения

Примечание: Полученная модель будет являться линейной, т.к. целевая функция и неравенства для ограничений являются линейными.

• Решение задачи

После ввода всех данных необходимо нажать кнопку Выполнить.

На экране появится диалоговое окно Результаты поиска решения (см. рис. 18). Для отображения решения нужно выбрать переключатель Сохранить найденное решение и в окне Тип отчета выделить строку Устойчивость.

Получение данных по устойчивости требуется для проведения анализа решения задачи.

Рис. 18Результаты поиска решения

Ответ

В результате решения задачи был получен следующий ответ: В первый банк необходимо вложить 11250 руб., во второй банк – 27500 руб., в третий банк – 11250 руб. =(11250,27500,11250).

При этом максимальный годовой доход составит 3781,25 руб. =3781,25.

Рис. 19результат решения задачи

Анализ решения

Используя данные отчета по устойчивости (см. рис. 20) проанализируем полученное решение.

Рис. 20Отчет по устойчивости

Таблица 6

Раздел Изменяемые ячейки

Столбец	Значение	Комментарии и примеры.
Ячейка	Адреса ячеек с неизвестными
Имя	Имена неизвестных
Результирующее значение	Оптимальные значения неизвестных, полученные в ходе решения задачи.
Целевой коэффициент	Коэффициенты, стоящие при неизвестных в целевой функции.	В данной задаче – % ставки банков.
Допустимое увеличение Допустимое уменьшение	Числа, показывающие, на сколько максимально можно увеличить или уменьшить % ставки банков при сохранении оптимального плана. Целевая функция при этом может измениться.	Проводя анализ данных, можно сделать следующие выводы: Годовой процент 1 банка может колебаться в пределах (8%+1Е+30%, 8%-0,5%), 2 банка – (7%+1,25%,7%-1Е+30%), 3 банка – (8%+0,5%, 8%-2,5%), Пример: Предположим, что годовой процент 1 банка увеличился на 1% и составил 8,5%+1%=9,5%. Т.к. для 1 банка увеличение годового процента не ограниченно, то оптимальный план в задаче остался прежним =(11250, 27500,11250), при этом доход D увеличился и составил =3893,75 руб.

Таблица 7

Раздел Ограничения

Столбец	Примечание	Комментарии и примеры
Ячейка	Адреса ячеек с левыми частями ограничений
Результирующее значение	Значения левых частей ограничений в результате решения задачи
Теневая цена	Теневая цена показывает насколько изменится годовой доход при увеличении правой части ограничения на 1 единицу. +, где - теневая цена.	Пример: Предположим, что правая часть 1-ого ограничения увеличилась на 1, т.е. вкладчик вложил 50001 руб. Тогда годовой доход изменится следующим образом: D==3781,25+0,075625= 3893,8279 руб.
Ограничение правая часть	Правые части ограничений
Допустимое увеличение	Число, показывающие, на сколько можно увеличить правые части ограничений сохранении теневой цены. При этом значение целевой функции изменится следующим образом: +, где -величина увеличении ресурса, - теневая цена.	Пример: Если дополнительно вложить еще =10000 руб., то годовой доход изменится следующим образом: D==3781,25+10000*0,075625=4537,5 руб.
Допустимое уменьшение	Число, показывающие, на сколько можно уменьшить правые части ограничений при сохранении теневой цены. При этом значение целевой функции изменится следующим образом: -, где -величина увеличении ресурса, - теневая цена.	Пример: Если уменьшить сумму вклада до 40000руб., =10000 руб., то годовой доход составит: D==3781,25-10000*0,075625=3025 руб.