4 Спектральная плотность мощности

Построим и изобразим на рисунках 8, 9 и 10 параметрическую оценку нормированной спектральной плотности мощности для трёх рассматриваемых моделей АР(3), СС(3) и АРСС(3, 3) соответственно. Саму оценку спектральной плотности мощности будем искать в виде:.

На тех же рисунках изобразим выборочную оценку нормированной спектральной плотности мощности для исходного процесса и для соответствующего смоделированного процесса. Такую оценку найдём из преобразования Фурье , используя первые 50 значений соответствующих оценок корреляционных функций вместо бесконечного числа. Все оценки спектральной плотности мощности нормируются на соответствующие оценки дисперсий.

Рисунок 8 – Спектральная плотность мощности для модели АР(3)

Рисунок 9 – Спектральная плотность мощности для модели СС(3)

Рисунок 10 – Спектральная плотность мощности для модели АРСС(3, 3)

Цветографическая схема та же, что и на рисунках 5 – 7: красным отмечена оценка нормированной спектральной плотности мощности для исходного процесса, зелёным – параметрическая оценка для модели, а синим – выборочная оценка для соответствующего смоделированного процесса.

5 Моделирование

Итак, лучшая модель получилась АРСС(3, 3). Приведём на рисунке 8 фрагменты реализаций исходного и построенного процесса из 100 первых отсчётов (не бракованных, конечно).

Рисунок 11 – Фрагмент реализации случайного процесса модели АРСС(3, 3)

На этом рисунке красным цветом показана реализация исходного процесса, синим – смоделированного. Кроме того, для наглядности голубым цветом отмечено выборочное среднее исходного процесса, а зелёным – прямые вида. Видно, что характер реализаций совпадает.

6 Анализ смоделированных процессов

Наконец, приведём итоговую таблицу 4, в которую соберём все статистические и теоретические сведения, необходимые для наглядного анализа трёх лучших моделей.

Таблица 4 – Итоговый анализ построенных моделей

Параметры процесса	Исходный процесс	АР(3)		СС(3)		АРСС(3, 3)
		Теория	Выборка	Теория	Выборка	Теория	Выборка
Минимум	-45.3730		-65.3317		-56.5194		-64.7280
Максимум	68.3770		67.1167		72.4522		75.2665
Среднее	10.1545	10.1545	10.1294	10.1545	10.0735	10.1545	9.9608
Дисперсия	333.8049	333.8049	321.0027	333.8049	336.8887	333.8049	336.8630
Стандартное отклонение	18.2703	18.2703	17.9165	18.2703	18.3545	18.2703	18.3538
Нормированная корреляционная функция
r(0)	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000
r(1)	-0.0801	-0.0801	-0.0606	-0.0801	-0.0855	-0.0801	-0.0956
r(2)	-0.3737	-0.3737	-0.3717	-0.3737	-0.3908	-0.3737	-0.3873
r(3)	0.1666	0.1666	0.1479	0.1666	0.1877	0.1666	0.1799
r(4)	0.0073	0.1180	0.1110	0.0000	0.0130	0.0073	0.0039
r(5)	0.0031	-0.1114	-0.1048	0.0000	-0.0226	0.0031	-0.0044
r(6)	-0.0162	-0.0175	-0.0118	0.0000	0.0097	-0.0162	-0.0061
r(7)	0.0285	0.0556	0.0489	0.0000	0.0090	0.0045	0.0028
r(8)	-0.0024	-0.0097	-0.0208	0.0000	0.0069	0.0007	-0.0050
r(9)	-0.0271	-0.0219	-0.0167	0.0000	-0.0070	0.0004	0.0065
r(10)	0.0121	0.0113	0.0226	0.0000	-0.0142	-0.0006	0.0057
СКО	0.0000	0.0262	0.0241	0.0020	0.0037	0.0015	0.0026

Выводы

Задачи моделирования случайных процессов возникают на практике довольно часто. Это, прежде всего, связано с экономикой её экономическими процессами. Модели авторегрессии и скользящего среднего позволяют моделировать случайные процессы, подобные исходному, по уже имеющейся реализации такого исходного процесса. Общая модель, предложенная Боксом и Дженкинсом, включает как параметры авторегрессии, так и параметры скользящего среднего. Она позволяет добиться максимального подобия новых смоделированных процессов.

В этой работе было проведено исследование подобного рода моделирования для некоторого исходного неизвестного эргодического процесса. В ходе работы была проанализирована выборка из отсчётов исходного процесса, построены все смешанные модели АРСС до третьего порядка включительно, проведён поиск наилучшей модели и моделирование нового случайного процесса по ней. При этом написана универсальная программа, позволяющая строить, вообще говоря, смешанные модели любых порядков.

Методы исследования, использующиеся в работе, могут быть применены на практике для реального статистического анализа и моделирования любого эргодического случайного процесса. Подобные методы моделирования актуальны на сегодняшний день и находятся на стадии исследования.