0

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮГосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С. П. КОРОЛЕВА» (СГАУ)

Кафедра технической кибернетики

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ АВТОРЕГРЕССИИ И СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО курсовая работа по дисциплине «Теория случайных процессов» Вариант № 3

Выполнил:студент Гайдель А. В., гр. 637Проверил:профессор Храмов А. Г.Оценка:

Самара 2009

Задание

Дана реализация стационарного в широком смысле эргодического случайного процесса с дискретным временем (стационарная случайная последовательность, временной ряд) – выборка из 5000 последовательных значений (отсчётов) процесса.

1. Оценить моментные функции случайного процесса, рассчитав выборочное среднее, выборочную дисперсию и выборочную нормированную корреляционную функцию. Оценить радиус корреляции случайного процесса. Изобразить графически оценку нормированной корреляционной функции.

2. Построить модели авторегрессии (АР), модели скользящего среднего (СС) и смешанные модели авторегрессии и скользящего среднего (АРСС) до третьего порядка включительно: АРСС (M,N),M = 0, 1, 2, 3;N = 0, 1, 2, 3. Каждую из построенных моделей записать в явном виде с численными значениями параметров.

3. Рассчитать теоретические нормированные корреляционные функции выходной последовательности для каждой из построенных выше моделей. На основе сравнения выборочной и теоретических нормированных корреляционных функций выбрать наиболее адекватную модель АРСС случайного процесса. Построить графики теоретических нормированных корреляционных функций для трёх наилучших из классов АР, СС и АРСС.

4. Построить и изобразить графически параметрическую оценку спектральной плотности для трёх наилучших моделей.

5. Смоделировать случайный процесс АРСС с использованием наилучшей модели. Сравнить графически фрагменты реализаций исходного и смоделированного процессов.

6. Построить оценки моментных функций смоделированного процесса, сравнить их с оценками моментных функций исходного процесса и с теоретическими моментными функциями, соответствующими выбранной модели АРСС.

Аннотация

В данной курсовой работе проводится всестороннее исследование выборки из отсчётов некоторого неизвестного стационарного эргодического случайного процесса и моделирование нового процесса, подобного исходному, с использованием моделей авторегрессии и скользящего среднего различных порядков. Модели АРСС исследуются на качество, проводится построение графиков спектральной плотности мощности для исходного и смоделированных процессов. Для наглядности большинство результатов изображено графически и в виде таблиц. Программа, приведённая в приложении к курсовой работе, может служить основой для исследования любого стационарного эргодического случайного процесса и построения моделей АРСС любых порядков.

Содержание

Задание 2

Аннотация 3

Содержание 4

1 Оценка моментных функций 5

2 Построение моделей 6

3 Анализ моделей 9

4 Спектральная плотность мощности 13

5 Моделирование 15

6 Анализ смоделированных процессов 16

Выводы 18

Список использованных источников 19

Приложение A. Текст программы 20

1 Оценка моментных функций

Пусть дана выборка изотсчётов стационарного в широком смысле эргодического дискретного случайного процесса. Оценим моментные функции этого процесса.

Выборочное среднее – оценка математического ожидания – рассчитывается по формуле:, где– соответствующие компоненты вектора.

В нашем случае, выполнив расчеты, получаем . Здесь и далее все данные расчётов приводятся с определённой разумной степенью точности.

Формула для расчёта выборочной дисперсии имеет вид: , но мы воспользуемся исправленной дисперсией, рассчитывающейся по формуле, так как она является лучшей (несмещённой) оценкой дисперсии нашего процесса.

После несложных расчётов получаем: .

В соответствии с оценкой дисперсии выберем формулу для оценки корреляционной функции :. Это исправленная выборочная корреляционная функция.

В таблицу 1 запишем 11 первых неотрицательных значений этой функции, помня что :

Заметим, что , чего и следовало ожидать.

Оценим также и нормированную корреляционную функцию, которая поможет количественно оценить корреляцию сечений: .

Её первые значения также занесём в таблицу 1.

Таблица 1 – Первые значения выборочных корреляционных функций

	0	1	2	3	4	5
	333.8049	-26.7346	-124.7274	55.6273	2.4389	1.0393
	1.0000	-0.0801	-0.3737	0.1666	0.0073	0.0031
	6	7	8	9	10
	-5.4030	9.4987	-0.7981	-9.0512	4.0367
	-0.0162	0.0285	-0.0024	-0.0271	0.0121

Заметим, , что опять же вполне логично.

Оценим радиус корреляции случайного процесса по формуле, только вместоиспользуем, абудем полагать не слишком большим по сравнению с размером выборки во избежание чрезмерной ошибки:.

В результате вычислений, полагая , получаем:.

Изобразим графически на рисунке 1 оценку корреляционной функции:

Рисунок 1 – Оценка нормированной корреляционной функции