rgr3 / РГР3 задание
.pdfΣx = 0; |
N1 (F )sinα + H A = 0, |
(1) |
|
|
(2) |
Σy = 0; |
−N2 (F ) − N1 (F ) cosα +VA − F = 0, |
|
|
|
(3) |
ΣmA = 0; |
N2 (F ) 2a + N1 (F ) cosα a − F a = 0 |
б) Геометрическая сторона задачи:
Под действием силы F = 200 кН жесткий брус АВС повернется вокруг точки А на малый угол γ <<1 и займет положение АВ1С1 (рисунок 4). При этом стержень 1 удлинится на величину ВВ2 = l1 (F ) , а стержень 2 удлинится на величину СС1 = l2 (F ) :
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 4. |
|
|
|
|
|
|
|
BB1 |
|
AB |
|
||||||||
Из подобия треугольников АВВ1 и АСС1 следует |
= |
. |
|||||||||||||||||||||||||
CC |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AC |
|||
|
|
|
|
|
l1 (F ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
СС1 = l2 (F ) ; ВВ1 = |
, тогда |
|
|
|
|
l1 (F ) |
= |
a |
|
или |
|
|
|
||||||||||||||
cosα |
|
|
cosα l2 (F ) |
2a |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
l (F ) = |
1 |
|
l |
(F ) cosα |
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Уравнение (4) представляет собой условие совместности деформаций |
|||||||||||||||||||||||||||
элементов системы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
tgα = |
a |
= |
3 |
; |
α = 20°33'; |
sinα = 0,35, |
cosα = 0,94 . |
|
|
||||||||||||||||||
2h |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
8 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Длины стержней l = |
|
=8,54м, l |
|
|
= h = 4м. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
sinα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) Физическая сторона задачи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Удлинения стержней 1 и 2 вызваны усилиями N1(P), N2(P), действую- |
|||||||||||||||||||||||||||
щими в этих стержнях. На основании закона Гука: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
l (F ) |
= |
N1 (F )l1 |
= |
3N1 (F ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
EA1 |
|
|
|
EA1 sinα |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
l2 (F ) = |
|
N2 (F )l2 |
= |
2N2 (F ) h |
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
EA2 |
|
|
|
|
EA1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11
Подставим (5) в (4): |
3N1 (F ) |
= |
1 2N2 (F ) h |
cosα |
||
EA sinα |
2 |
|
EA |
|||
|
1 |
1 |
(6) |
|||
|
N1 (F ) = 0, 438N2 (F ) |
|||||
Решим совместно систему уравнений (3) и (6): |
6N |
(F ) +2,81N |
(F ) =600 |
; |
N |
|
(F ) =36,35кН, |
. |
|
|
2 |
1 |
|
|
1 |
|
||
N1 |
(F) =0,438N2 (F) |
|
N2 (F ) =82,98кН |
|
г) Выбираем наиболее напряженный стержень:
σ1 = |
|
N1(F ) |
= |
36,35 |
; |
|
|
|
|
|
А1 |
|
|
||||
|
|
А1 |
|
|
|
|||
σ2 = |
|
N2 (F ) |
= |
82,98 |
= |
165,97 . |
||
|
|
А2 |
А1 / 2 |
|
|
А1 |
Из условий прочности для второго стержня, определим безопасную площадь поперечного сечения:
|
σmax |
|
|
= |
|
σ2 |
|
= |
145,97 ≤[σ]Al = 55 МПа , отсюда |
|||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
А |
= |
165, |
97 103 Н |
= 3,02 10−3 м2 = 30,2см2 . |
|||||||
1 |
|
55 |
106 |
Па |
|
д) Напряжения и удлинения в стержнях равны:
σ |
|
|
= |
|
N |
1 |
(F ) |
= |
|
36,35 103 |
=12,04 МПа; |
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,02 |
10−3 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
2 |
= |
|
N |
2 |
(F ) |
= |
82,98 103 |
= 54,95 МПа. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
А |
|
|
|
|
1,51 10−3 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
l |
|
=σ |
|
|
|
l |
|
|
= |
12,04 106 Па 8,54 |
м |
=149,02 |
10−5 |
м =1, 49мм |
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 E |
|
|
0,69 105 106 Па |
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
l |
|
=σ |
|
|
|
l |
2 |
= |
54,95 106 Па 4м |
= 318,55 |
10−5 |
м = 3,19мм |
|||||||||||||
|
2 |
2 |
|
E |
|
0,69 105 106 Па |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2 Определение температурных напряжений и перемещений.
При изменении температуры в стержнях системы возникают дополнительные усилия N1(t) и N2(t). Разъединим мысленно стержни в узлах и дадим им возможность свободно удлиняться при действии температуры. Тогда удлинения стержней 1 и 2 будут равны:
l (t) =α'l |
|
t = 2,5 10-5 |
8,54 80o =17,088 10−3 м; |
(7) |
|
1 |
1 |
|
|
||
l |
(t) =α'l |
|
t = 2,5 10-5 |
4 80o =8 10−3 м. |
|
2 |
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
Отложив в масштабе значения l1(t) и l2 (t) видим, что стержень 1 нуж- |
|||||
но сжать на величину l1t |
, а стержень 2 растянуть на l2t . В соответствии с |
этим выбираем направления N1(t) – сжимающее 1 стержень и N2(t) – растягивающее 2 стержень.
12
Рисунок 5.
Для определения температурных усилий N1(t) и N2(t) вырежем жесткий стержень АС, который находится в равновесии под действием усилий VA, HA, N1(t), N2(t). Число неизвестных усилий равно четырем, а число возможных уравнений статического равновесия равно трем. Следовательно, задача однажды статически неопределимая. Для раскрытия статической неопределимости рассмотрим, как обычно, три стороны задачи.
а) Статическая сторона задачи:
Σx = 0; |
H A − N1 (t)sinα = 0, |
|
||
Σy = 0; |
V |
+ N |
(t)cosα − N |
(t) = 0, |
|
A |
1 |
2 |
|
|
|
(t) 2a − N1 (t)cosα a = 0 |
||
ΣmA = 0; |
N2 |
2N2 (t) = N1 (t) cosα
N2 (t) =0,47N1 (t)
б) Геометрическая сторона задачи:
Из подобия треугольников АВВ1 и АСС1 следует BB1 = AB .
CC1 AC
Так как СС1 = |
l2 (t) + l2t |
; ВВ1 |
= |
ВВ2 |
= |
l1 (t) − l1t , |
|||
cosα |
|||||||||
l1 (t) − l1t |
|
a |
|
|
|
|
cosα |
||
= |
или |
|
|
|
|
|
|||
cosα ( l2 (t) + l2t ) |
2a |
|
l2t ) cosα - |
|
|||||
2( |
l1 (t) − l1t ) = ( |
l2 (t) + |
|
(8)
то
(9)
уравнение совместности деформаций элементов системы. в) Физическая сторона задачи:
Удлинения стержней 1 и 2, вызванные усилиями N1(t) и N2(t), действующими в этих стержнях, на основании закона Гука равны:
l |
= |
N1 (t)l1 |
; |
l |
2t |
= |
N2 (t)l2 |
(10) |
|
|
|||||||
1t |
|
EA1 |
|
|
EA2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
Подставляя выражения (7) и (10) в уравнение (9), получим:
13
2 |
|
α'l |
t − |
N1 (t)l1 |
|
= |
|
α'l |
|
t + |
N2 (t)l2 |
cosα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
EA1 |
|
|
|
|
EA2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
N1(t) 8,54 |
|
|
|
|
−3 |
|
|
N2 (t) 4 |
|
|
|
|
||||||||||
2 |
17,088 |
10 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
8 |
10 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,936 |
||
|
0,69 |
|
5 |
|
6 |
|
3,02 10 |
−3 |
|
0,69 10 |
5 |
10 |
6 |
1,51 |
10 |
−3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
10 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
или после преобразований |
|
|
|
|
0,000035568N2 (t) +0,000082N1(t) = 26,68 . |
|
|
|
Решив это уравнение совместно с (8), получим: N1(t) = 270,54кН - сжимающее усилие,
l1t
l2t
|
|
|
|
N2 (t) =126,61кН - |
растягивающее усилие. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
г) Напряжения в стержнях 1 и 2 от усилий N1(t) и N2(t) равны: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
σ |
|
(t) = − |
N |
(t) |
= − |
270,54 103 |
= −89,64МПа, |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
3,02 10−3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
2 |
(t) = |
N |
2 |
(t) |
= |
126,61 103 |
= 83,91МПа. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
1,51 |
10−3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) Результирующие удлинения стержней: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
= |
l (t) − |
l |
=α' l |
t − |
N |
|
(t)l |
=17,088 10 |
−3 |
− |
|
270,54 103 8,54 |
= 5,988 |
10 |
−3 |
м, |
|||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
EA |
|
0,69 105 106 3,02 10−3 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
1t |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
l2 (t) − |
l2t |
=α ' l2 |
t + |
N2 (t)l2 |
=12,864 10−3 м. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EA2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверим, выполняется ли равенство (9): |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
l |
= |
|
l |
|
cosα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1t |
|
|
|
2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 5,988 10−3 =12,864 10−3 0,936 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11,976 ≈12,040 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Погрешность вычислений: |
δ = 12,040 −11,976 100% |
= 0,53% <1%, |
что до- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11,976 |
|
|
|
|
|
|
пустимо в технических расчетах.
3.3 Определение напряжений и перемещений, вызванных неточностью изготовления стержня 1.
Так как стержень 1 изготовлен длиннее, чем предусмотрено схемой, то при сборке системы жесткий стержень АС займет положение АС1 (рисунок 6). При этом в стержне 1 возникнет сжимающее усилие N1(δ) , а в стержне 2 –
растягивающее усилие N2 (δ) . Стержень АС1 находится в равновесии под
действием усилий VA, HA, N1(δ), N2(δ). Задача, как и в предыдущих случаях, однажды статически неопределима. Для раскрытия статической неопределимости рассматриваем снова три стороны задачи.
14
Рисунок 6. а) Статическая сторона задачи.
Σx = 0; |
H A − N1 (δ)sinα = 0, |
|
|
|
|||
Σy = 0; |
V |
+ N |
(δ)cosα − N |
2 |
(δ) |
= 0, |
|
|
A |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(δ)cosα a − N2 (δ) 2a = 0 |
(11) |
||||
ΣmA = 0; |
N1 |
|
б) Геометрическая сторона задачи |
|
|
|
|
|
|
BB1 |
|
|
AB |
|
|||||||||||
|
Из подобия треугольников АВВ1 и АСС1 следует |
|
= |
. |
|||||||||||||||||||
CC |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AC |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВВ2 |
|
|
δ1 − |
|
l1δ |
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
Так как ВВ1 |
= |
|
= |
|
, СС1 = |
l2δ , |
|
то |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
δ1 − l1δ |
|
a |
|
1 |
|
|
|
cosα |
cosα |
|
|
|
|
|
||||||||
|
= |
= |
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
l2δ cosα |
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
2(δ1 − l1δ ) = |
|
l2δ cosα - |
|
|
|
(12) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
уравнение совместности деформаций элементов системы. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
в) Физическая сторона задачи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Укорочение стержня 1 и удлинение стержня 2, вызванные усилиями |
||||||||||||||||||||||
N1(δ), N2(δ), действующими в этих стержнях, на основании закона Гука рав- |
|||||||||||||||||||||||
ны: |
|
|
|
|
|
|
N1 (t)l1 |
|
|
|
|
|
N2 (t)l2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
l |
= |
; |
l |
2t |
= |
|
|
|
|
(13) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1t |
|
|
EA1 |
|
|
|
EA2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Подставляя выражения (13) в (12), будем иметь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N1 (δ)l1 |
|
N2 (δ)l2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
δ1 − |
|
= |
cosα . |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
EA1 |
|
|
|
|
EA2 |
|
|
|
|
|
|
||
Решив это уравнение совместно с (11), получим: |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
N1(δ) 8,54 |
|
|
|
|
|
|
|
|
N2 (δ) 4 |
|
|
|
|||||||
2 |
0, 0015 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,936 |
0,69 10 |
5 |
10 |
6 |
3,02 |
10 |
−3 |
0,69 |
|
5 |
6 |
1,51 |
10 |
−3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
10 10 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3N1(δ) 0,94 −6N2 (δ) = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда N1(δ) =14,22кН - сжимающее усилие, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N2 (δ) = 30,28кН - |
|
растягивающее усилие. |
||||||||||||
ны: |
г) Монтажные напряжения в стержнях 1 и 2 от усилий N1(δ), N2(δ) рав- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
(δ) |
|
|
30, 28 103 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
(δ) = − |
= − |
= −10,03МПа, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
10−3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
3,02 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
(δ) |
|
|
14, 22 103 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
2 |
(δ) = |
|
2 |
|
|
= |
1,51 10−3 |
= 9, 42МПа. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) Перемещения стержней 1 и 2 равны: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
l |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
N |
(δ)l |
|
|
|
|
|
|
|
30, 28 103 8,54 |
|
|
= 0,00026м = 0,026см, |
|||||||
|
=δ |
|
− |
=δ |
|
− |
1 |
|
|
1 |
= 0,0015 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
EA |
|
0,69 105 106 |
3,02 |
10−3 |
||||||||||||||||||||||
1δ |
|
1 |
|
1δ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
N2 (δ)l2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
l2δ |
= l2δ = |
|
= 0,00055м = 0, 055см. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
EA2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверим, выполняется ли равенство (12):
2 l1δ = l2δ cosα
2 0,026 = 0,055 0,936
0,052 = 0,052
3.4 Определение усилий, напряжений и перемещений стержней Для определения усилий, напряжений и перемещений стержней систе-
мы пользуемся принципом независимости действия сил. а) Усилия в стержнях равны:
N1 = N1(F) + N1(t) + N1(δ) = 36,35 −270,54 −30,28 = −264,47 КН, N2 = N2 (F) + N2 (t) + N2 (δ) =82,98 +126,61+14,22 = 223,81 КН.
Проверка:
ΣmА = 0; N2 2а + N1 cosα а − F a = 223,81 6 −264,47 0,936 3 −600 = =1342,86 −1345,81 = −2,95;
Погрешность вычислений: δ = 1342,86−2,95 100% = −0,22% <1%, что допустимо в технических расчетах.
б) Напряжения в стержнях равны:
σ1 =σ1(F) +σ1(t) +σ1(δ) =12,04 −89,643 −10,03 = −87,63 МПа, σ2 =σ2 (F) +σ2 (t) +σ2 (δ) =54,95 +83,906 +9,42 =148,28 МПа.
в) Перемещения в стержнях равны:
l1 = |
l1 (F ) + |
l1t + |
l1δ |
=149, 02 |
10−5 +5, 988 10−3 + 0, |
00026 = 7, 74 10−3 м, |
l2 = |
l2 (F ) + |
l2t + |
l2δ |
= 318,55 |
10−5 +12,864 10−3 + |
0, 00055 =16,59 10−3 м. |
г) Геометрическая проверка
16
Рисунок 7.
Вычисленные перемещения l1 и l2 , отложенные в масштабе (рисунок 7), должны удовлетворять условию совместности деформаций системы, т.е.
должно соблюдаться равенство |
BB1 |
= |
AB |
или |
l1 |
= |
а |
= 1 |
, откуда |
|
|
|
|||||||
|
CC1 |
|
AC |
|
сosα l2 |
|
2а 2 |
|
7,74 10−3 = − 0,5
0,94 16,59 10 3
0,5 = 0,5
ВЫВОДЫ:
1)В статически неопределимых системах в отличие от статически определимых систем:
а) изменение температуры и неточность изготовления элементов системы приводят к появлению температурных и монтажных усилий и напряжений;
б) температурные и монтажные усилия и напряжения пропорциональны вызвавшим их факторам;
в) усилия по элементам системы распределяются пропорционально относительным жесткостям элементов.
2)Суммарные напряжения во втором стержне оказались значительно выше допускаемых. Снизить эти напряжения можно различными способами, например:
а) уменьшить δ первого стержня; б) создать +δ второго стержня;
в) увеличить рабочую температуру второго стержня; г) увеличить сечения стержней, сохранив заданное соотношение пло-
щадей и др..
17