Упрощение логических выражений

Для упрощения логических выражений нам понадобятся следующие соотношения алгебры логики:



1. X=X

2. XY=YX – переместительный закон умножения

3. X+Y=Y+X - переместительный закон сложения

4. X(YZ)=(XY)Z – сочетательный закон умножения

5. X+(Y+Z)=(X+Y)+Z - сочетательный закон сложения

6. X(Y+Z)=XY+XZ – первый распределительный закон

7. X+(YZ)=(X+Y)(X+Z) - второй распределительный закон

  

8. (X+Y)=XY – отрицание суммы равно произведению отрицаний слагаемых (для любого числа слагаемых)

  

9. (XY)=X+Y – отрицание произведения равно сумме отрицаний сомножителей (для любого числа сомножителей)

10. X+X=X



11. X+X=И – здесь И означает «истина»

12. XX=X



13. X*X=Л – здесь Л означает «ложь»

14. X*И=X

15. X+Л=X



16. XY=X+Y

 

17. XY=XY+XY

18. X+XY=X



19. X+XY=X+Y

 

20. X+XY=X+Y

 

21. XY=AB+AB

Все данные соотношения можно доказать с помощью таблицы истинности, используя определения логических операций.

Упрощение логического выражения заключается в приведении его к виду, содержащему минимальное количество логических операций. В упрощенном выражении должны, как правило, содержатся только простые логические операции: И, ИЛИ, НЕ. Если в результате упрощения логическое выражение становится равным «Л» (ложь), то такое логическое выражение является тождественно-ложным. Если в результате упрощения логическое выражение становится равным «И» (истина), то такое логическое выражение является тождественно-истинным. А если полученное в результате упрощения логическое выражение может быть равным «Л» или «И» в зависимости от значений входящих в него переменных, то такое выражение называется нейтральным.

Пример 1

 

Дано логическое выражение: (AB)(A(B+C). Упростить данное логическое выражение и определить тип полученного в результате упрощения выражения (тождественно-истинное, тождественно-ложное, нейтральное).

Решение

Упрощаем данное выражение по частям в соответствии с приоритетами логических операций:



1. (AB)=A+B (использовалось соотношение 16)

   

2. (A(B+C)=A+(B+C)=A+B+C

 

       

3. (AB)(A(B+C)=(A+B)(A+B+C)=(A+B)(A+B+C)+(A+B)(A+B+C)=

      

=(A+B)(A+B+C) +ABABC = (A+B)(A+B+C) (использовались соотношения 17,8,13,15)

Рассмотрим полученное логическое выражение:

 

(A+B)(A+B+C)

При A=1, B=0 и любом значении С, значением полученного выражения будет 0 (ложь), а при A=0, C=1 и любом значении В, значением полученного выражения будет 1 (истина).

Следовательно, полученное логическое выражение является нейтральным.

Пример 2

Дано логическое выражение:

Необходимо его упростить, упрощенный вид должен содержать не более трех логических операций.

Решение:

Упрощаем данное выражение по частям в соответствии с приоритетами логических операций:

1. (использовалось соотношение 16)

2. (использовалось соотношение 16)

3. (использовались соотношения 16,8,1)

4. (использовалось соотношение 20)

5. (использовалось соотношение 17)

(использовалось соотношение 8)

(использовались соотношения 12,10,1)

(использовались соотношения 13,15,18)

Ответ: