Математические ожидания функций дискретных случайных переменных

Пусть – некоторая функция отx. Тогда– математическое ожиданиезаписывается как

, (3)

где суммирование производится по всем возможным значениям x. В табл. 3 показана последовательность практического расчета математического ожидания функции отx.

Таблица 3

x	Вероятность	Функция от x	Функция, взвешенная по вероятности
1	2	3	4
…	…	…	…
Всего

Предположим, что xможет приниматьnразличных значений отдос соответствующими вероятностями отдо. В первой колонке записываются все возможные значенияx. Во второй – записываются соответствующие вероятности. В третьей колонке рассчитываются значения функции для соответствующих величинx. В четвертой колонке перемножаются числа из колонок 2 и 3. Ответ приводится в суммирующей строке колонки 4.

Рассчитаем математическое ожидание величины . Для этого рассмотрим пример с числами, выпадающими при бросании одной кости. Использовав схему, приведенную в табл. 3, заполним табл. 4.

Таблица 4

1	2	3	4
1	1/6	1	0,167
2	1/6	4	0,667
3	1/6	9	1,500
4	1/6	16	2,667
5	1/6	25	4,167
6	1/6	36	6,000
Всего			15,167

В четвертой ее колонке даны шесть значений , взвешенных по соответствующим вероятностям, которые в данном примере все равняются 1/6. По определению, величинаравна, она приведена как сумма в четвертой колонке и равна 15,167.

Математическое ожидание x, как уже было показано, равно 3,5, и 3,5 в квадрате равно 12,25. Таким образом, величинане равна, и, следовательно, нужно аккуратно проводить различия междуи.

Правила расчета математического ожидания

Существуют три правила расчета математического ожидания и они одинаково применимы для дискретных и непрерывных случайных переменных.

Правило 1.Математическое ожидание суммы нескольких переменных равно сумме их математических ожиданий. Например, если имеются три случайные переменныеx,yиz, то

. (4)

Правило 2.Если случайная переменная умножается на константу, то ее математическое ожидание умножается на ту же константу. Еслиx– случайная переменная иa– константа, то

. (5)

Правило 3.Математическое ожидание константы есть она сама. Например, еслиa– константа, то

. (6)

Следствиеиз трех правил:

.

Независимость случайных переменных

Две случайные переменные xиyназываются независимыми, если

(7)

для любых функций и. Из независимости следует как важный частный случай, что.

Теоретическая дисперсия дискретной случайной переменной

Теоретическая дисперсия является мерой разброса для вероятностного распределения. Она определяется как математическое ожидание квадрата разности между величиной xи ее средним, т.е. величины, где– математическое ожиданиеx. Дисперсия обычно обозначается какили, и если ясно, о какой переменной идет речь, то нижний индекс может быть опущен:

. (8)

Из можно получить–среднее квадратическое отклонение– столь же распространенную меру разброса для распределения вероятностей; среднее квадратическое отклонение случайной переменной есть квадратный корень из ее дисперсии.

Проиллюстрируем расчет дисперсии на примере с одной игральной костью. Поскольку , тов этом случае равно. Мы рассчитаем математическое ожидание величины, используя схему, представленную в табл. 5. Дополнительный столбецпредставляет определенный этап расчета. Суммируя последний столбец в табл. 5, получим значение дисперсии, равное 2,92. Следовательно, стандартное отклонение () равно, то есть 1,71.

Таблица 5

1	2	3	4	5
1	1/6	–2,5	6,25	1,042
2	1/6	–1,5	2,25	0,375
3	1/6	–0,5	0,25	0,042
4	1/6	0,5	0,25	0,042
5	1/6	1,5	2,25	0,375
6	1/6	2,5	6,25	1,042
Всего				2,92

Одним из важных приложений правил расчета математического ожидания является формула расчета теоретической дисперсии случайной переменной, которая может быть записана как

. (9)

Это выражение иногда оказывается более удобным, чем первоначальное определение.